Rationell kartläggning

Inom matematiken , i synnerhet underområdet algebraisk geometri , är en rationell karta eller rationell kartläggning ett slags partiell funktion mellan algebraiska varieteter . Den här artikeln använder konventionen att sorter är irreducerbara .

Definition

Formell definition

Formellt är en rationell karta $f\colon V\to W$ mellan två varianter en ekvivalensklass av par $(f_{U},U)$ där $f_{U}$ är en morfism av varianter från en icke-tom öppen mängd $U\subset V$ till $W$ och två sådana par $(f_{U},U)$ och $({f'}_{U'},U')$ anses likvärdiga om $f_{U}$ och ${f'}_{U'}$ sammanfaller i korsningen $U\cap U'$ (detta är i synnerhet vacuum sant om korsningen är tom, men eftersom $V$ antas vara irreducerbar är detta omöjligt). Beviset för att detta definierar en ekvivalensrelation bygger på följande lemma:

Om två morfismer av sorter är lika på någon icke-tom öppen uppsättning, så är de lika.

$f$ sägs vara birational om det finns en rationell karta $g\colon W\to V$ som är dess invers, där sammansättningen tas i ovanstående mening.

algebraisk geometri ligger i sambandet mellan sådana kartor och kartor mellan funktionsfälten V $\displaystyle V}$ och $W$ . Även en översiktlig granskning av definitionerna avslöjar en likhet mellan den för rationell karta och den för rationell funktion; i själva verket är en rationell funktion bara en rationell karta vars räckvidd är den projektiva linjen. Sammansättning av funktioner tillåter oss sedan att "dra tillbaka" rationella funktioner längs en rationell karta, så att en enda rationell karta $f\colon V\to W$ inducerar en homomorfism av fälten $K(W)\to K(V)$ . I synnerhet är följande sats central: funktorn från kategorin projektiva varieteter med dominerande rationella kartor (över ett fast basfält, till exempel ${\displaystyle \mathbb {C} } )$ till kategorin ändligt genererade fältförlängningar av basfältet med omvänd inkludering av tillägg som morfismer, som associerar varje sort till dess funktionsfält och varje karta till den associerade kartan över funktionsfält, är en motsvarighet av kategorier .

Exempel

Rationella kartor över projektiva rum

Det finns en rationell karta $\mathbb {P} ^{2}\to \mathbb {P} ^{1}$ som skickar ett förhållande $[x:y:z]\mapsto [x:y]$ . Eftersom punkten $[0:0:1]$ inte kan ha en bild, är denna karta bara rationell och inte en morfism av varianter. Mer generellt finns det rationella kartor $\mathbb {P} ^{m}\to \mathbb {P} ^{n}$ som skickar för $m>n$ som skickar en $m$ -tuppel till en $n$ -tuppel genom att glömma de sista koordinaterna.

Inklusioner av öppna undersorter

På en ansluten variant ${\displaystyle X} är$ inkluderingen av en öppen undervarietet $i:U\to X$ en birational ekvivalens eftersom de två varianterna har ekvivalenta funktionsfält. Det vill säga att varje rationell funktion $f:X\to \mathbb {P} ^{1}$ kan begränsas till en rationell funktion $U\to \mathbb { P} ^{1}$ och omvänt, en rationell funktion $U\to \mathbb {P} ^{1}$ definierar en rationell ekvivalensklass $(U,f )$ på $X$ . Ett utmärkt exempel på detta fenomen är birationalekvivalensen av $\mathbb {A} ^{n}$ och $\mathbb {P} ^{n}$ , därav $K(\mathbb {P} ^{n})\cong k(x_{1},\ldots ,x_{n})$ .

Täcker utrymmen på öppna delmängder

Att täcka utrymmen på öppna delmängder av en mängd ger gott om exempel på rationella kartor som inte är birationella. Till exempel Belyis sats att varje algebraisk kurva $C$ tillåter en karta $f:C\to \mathbb {P} ^{1}$ som förgrenar sig vid tre punkter. Sedan finns det ett tillhörande täckande utrymme $C|_{U}\to U=\mathbb {P} ^{1}-\{p_{1},p_{2 },p_{3}\}$ som definierar en dominant rationell morfism som inte är birationell. En annan klass av exempel kommer från hyperelliptiska kurvor som är dubbla omslag av $\mathbb {P} ^{1}$ förgrenade vid ett ändligt antal punkter. En annan klass av exempel ges genom att ta en hyperyta $X\subset \mathbb {P} ^{n}$ och begränsa en rationell karta $\mathbb {P } ^{n}\to \mathbb {P} ^{n-1}$ till $X$ . Detta ger ett förgrenat skydd. Till exempel den kubiska ytan som ges av försvinnande lokus $Z(x^{3}+y^{3}+z^{3}+w^ {3})$ har en rationell karta till $\mathbb {P} ^{2}$ som skickar $[x:y :z:w]\mapsto [x:y:z]$ . Denna rationella karta kan uttryckas som grad $3$ fältförlängning

k(x,y,z)\to {\frac { k(x,y,z)[w]}{(x^{3}+y^{3}+z^{3}+w^{3})}}

Upplösning av singulariteter

Ett av de kanoniska exemplen på en birational karta är singulariteternas upplösning . Över ett fält med karakteristik 0 har varje singularis $X$ en associerad icke-singular variant $Y$ med en birational karta $\pi :Y\to X$ . Denna karta har egenskapen att den är en isomorfism på $U=X-{\text{Sing}}(X)$ och fibern över ${\ text{Sing}}(X)$ är en normal korsningsdelare. Till exempel, en nodalkurva som $C=Z(x^{3}+y^{3}+z^{ 3}-xyz)\subset \mathbb {P} ^{2}$ är birational till $\mathbb {P} ^{1}$ eftersom det topologiskt är en elliptisk kurva med en av cirklarna sammandragna. Därefter ges birational kartan genom normalisering .

Birational ekvivalens

Två varianter sägs vara birationellt ekvivalenta om det finns en birational karta mellan dem; denna sats säger att birational ekvivalens av varieteter är identisk med isomorfism av deras funktionsfält som förlängningar av basfältet. Detta är något mer liberalt än begreppet isomorfism av varieteter (vilket kräver en globalt definierad morfism för att bevittna isomorfismen, inte bara en rationell karta), eftersom det finns varianter som är birationella men inte isomorfa.

Det vanliga exemplet är att $\mathbb {P} _{k}^{2}$ är birational till varianten $X$ som finns i $\mathbb {P} _ {k}^{3}$ som består av uppsättningen projektiva punkter $[w:x:y:z]$ så att $xy- wz=0$ , men inte isomorf. Faktum är att två linjer i $\mathbb {P} _{k}^{2}$ skär varandra, men linjerna i $X$ definieras av $w=x =0$ och $y=z=0$ kan inte skära varandra eftersom deras skärningspunkt skulle ha alla koordinater noll. För att beräkna funktionsfältet för $X$ går vi vidare till en affin delmängd (som inte ändrar fältet, en manifestation av det faktum att en rationell karta endast beror på dess beteende i vilken öppen delmängd av dess domän) som $w\neq 0$ ; i projektivt rum betyder detta att vi kan ta $w=1$ och därför identifiera denna delmängd med det affina $xyz$ -planet. Där är koordinatringen för $X$

A(X)=k[x,y,z]/(xy-z)\ kong k[x,y]

via kartan $p(x,y,z)+(xy-z)A (X)\mapsto p(x,y,xy)$ . Och bråkfältet av den senare är bara $k(x,y)$ , isomorft till det för $\mathbb {P} _{k}^{2}$ . Observera att vi inte vid något tillfälle producerade en rationell karta, även om det är möjligt att göra det genom att spåra genom beviset för satsen.

Se även

Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90244-9 , MR 0463157 , avsnitt I.4.