Vändbar kärve

I matematik är en inverterbar kärva en koherent kärva S på ett ringmärkt utrymme X , för vilket det finns en invers T med avseende på tensorprodukten av O _X -moduler. Det är motsvarigheten i algebraisk geometri till den topologiska föreställningen om en linjebunt . På grund av deras interaktion med Cartier-divisorer spelar de en central roll i studiet av algebraiska varianter .

Definition

En inverterbar kärve är en lokalt fri kärva S på ett ringmärkt utrymme X , för vilket det finns ett inverst T med avseende på tensorprodukten av O _X -moduler, det vill säga vi har

$S\otimes T\$

isomorf till O _X , som fungerar som identitetselement för tensorprodukten. De viktigaste fallen är de som kommer från algebraisk geometri och komplex geometri . För utrymmen som (lokalt) Noetherian-scheman eller komplexa grenrör , kan man faktiskt ersätta "lokalt fritt" med "sammanhängande" i definitionen.

De inverterbara skivorna i dessa teorier är i själva verket linjebuntarna på lämpligt sätt. Faktum är att den abstrakta definitionen i schemateorin av invertibel kärve kan ersättas med villkoret att vara lokalt fri från rang 1 . Det vill säga, tillståndet för en tensorinvers antyder då, lokalt på X , att S är buntformen av en fri rank-1-modul över en kommutativ ring . Exempel kommer från bråksideal i algebraisk talteori , så att definitionen fångar den teorin. Mer generellt, när X är ett affint schema Spec(R) , kommer de inverterbara skivorna från projektiva moduler över R , av rang 1.

Picard-gruppen

Huvudartikel: Picard-gruppen

Ganska generellt bildar isomorfismklasserna av inverterbara remsor på X själva en abelsk grupp under tensorprodukt. Denna grupp generaliserar den ideala klassgruppen . I allmänhet är det skrivet

$\mathrm {Pic} (X)\$

med Pic Picard -funktionen . Eftersom det också inkluderar teorin om den jakobiska varianten av en algebraisk kurva , är studiet av denna funktion en stor fråga inom algebraisk geometri.

Den direkta konstruktionen av inverterbara skivor med hjälp av data på X leder till konceptet Cartier divisor .

Se även

• Vektorbuntar i algebraisk geometri
• Linjebunt
• Första Chern-klassen
• Picard-gruppen
• Birkhoff-Grothendiecks sats

• Avsnitt 0.5.4 i   Grothendieck, Alexandre ; Dieudonné, Jean (1960). "Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas" . Publications Mathématiques de l'IHÉS . 4 . doi : 10.1007/bf02684778 . MR 0217083 .