Diofantisk approximation

Bästa rationella approximationer för π (grön cirkel), e (blå diamant), ϕ (rosa avlång), (√3)/2 (grå hexagon), 1/√2 (röd oktagon) och 1/√3 (orange triangel) beräknas från deras fortsatta bråkexpansion, plottad som lutningar y / x med fel från deras sanna värden (svarta streck)

I talteorin handlar studien om diofantisk approximation med approximationen av reella tal med rationella tal . Den är uppkallad efter Diophantus av Alexandria .

Det första problemet var att veta hur väl ett reellt tal kan approximeras med rationella tal. För detta problem är ett rationellt tal a / b en "bra" approximation av ett reellt tal α om det absoluta värdet av skillnaden mellan a / b och α kanske inte minskar om a / b ersätts med ett annat rationellt tal med ett mindre nämnare. Detta problem löstes under 1700-talet med hjälp av fortsatta bråk .

Genom att känna till de "bästa" approximationerna av ett givet tal är fältets huvudproblem att hitta skarpa övre och nedre gränser för ovanstående skillnad, uttryckt som en funktion av nämnaren . Det verkar som om dessa gränser beror på arten av de reella talen som ska approximeras: den nedre gränsen för approximationen av ett rationellt tal med ett annat rationellt tal är större än den nedre gränsen för algebraiska tal, som i sig är större än den nedre gränsen för alla reella tal. Således är ett reellt tal som kan vara bättre approximerat än gränsen för algebraiska tal verkligen ett transcendentalt tal .

Denna kunskap gjorde det möjligt för Liouville , 1844, att producera det första explicita transcendentala numret. Senare erhölls bevisen för att π och e är transcendentala med en liknande metod.

Diofantiska approximationer och transcendental talteori är mycket närliggande områden som delar många satser och metoder. Diofantiska approximationer har också viktiga tillämpningar i studiet av diofantiska ekvationer .

2022 års Fields-medalje tilldelades James Maynard för hans arbete med diofantisk approximation.

Bästa diofantiska approximationer av ett reellt tal

Huvudartikel: Fortsättning bråk § Bästa rationella approximationer

Givet ett reellt tal α , finns det två sätt att definiera en bästa diofantapproximation av α . För den första definitionen är det rationella talet p / q den bästa diofantiska approximationen av α om

$\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<\left|\alpha -{\frac {p'}{q'}}\right|,$

för varje rationellt tal p' / q' som skiljer sig från p / q så att 0 < q ′ ≤ q .

För den andra definitionen ersätts ovanstående ojämlikhet med

$\left|q\alpha -p\right|<\left|q^{\prime }\alpha -p^{\prime }\right|.$

En bästa approximation för den andra definitionen är också en bästa approximation för den första, men det omvända är inte sant i allmänhet.

Teorin om fortsatta bråk tillåter oss att beräkna de bästa approximationerna av ett reellt tal: för den andra definitionen är de konvergenterna av dess uttryck som ett regelbundet fortsatt bråk. För den första definitionen måste man också beakta semikonvergenterna .

Till exempel har konstanten e = 2,718281828459045235... den (vanliga) fortsatta bråkrepresentationen

$[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,\ldots \;].$

Dess bästa approximationer för den andra definitionen är

$3,{\tfrac {8}{3}},{\tfrac {11}{4}},{\tfrac {19}{ 7}},{\tfrac {87}{32}},\ldots \,,$

medan, för den första definitionen, de är det

$3,{\tfrac {5}{2}},{\tfrac {8}{3}},{\tfrac {11}{4}},{\tfrac {19}{7}},{ \tfrac {49}{18}},{\tfrac {68}{25}},{\tfrac {87}{32}},{\tfrac {106}{39}},\ldots \,.$

Mått på noggrannheten hos approximationer

Det uppenbara måttet på noggrannheten hos en diofantisk approximation av ett reellt tal α med ett rationellt tal p / q är ${\textstyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|.}$ Denna kvantitet kan dock alltid göras godtyckligt liten genom att öka de absoluta värdena av p och q ; sålunda uppskattas noggrannheten hos approximationen vanligtvis genom att jämföra denna storhet med någon funktion φ av nämnaren q , typiskt en negativ potens av den.

För en sådan jämförelse kan man vilja ha övre eller nedre gränser för noggrannheten. En nedre gräns beskrivs vanligtvis av ett teorem som "för varje element α i någon delmängd av de reella talen och varje rationellt tal p / q , har vi ${\textstil \left|\ alpha -{\frac {p}{q}}\right|>\phi (q)}$ ". I vissa fall kan "varje rationellt tal" ersättas med "alla rationella tal utom ett ändligt antal av dem", vilket motsvarar att multiplicera φ med någon konstant beroende på α .

För övre gränser måste man ta hänsyn till att inte alla de "bästa" diofantapproximationerna som tillhandahålls av konvergenterna kanske har den önskade noggrannheten. Därför tar satserna formen "för varje element α i någon delmängd av de reella talen finns det oändligt många rationella tal p / q så att ${\textstyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<\phi (q)}$ ".

Dåligt ungefärliga siffror

Ett dåligt approximerbart tal är ett x för vilket det finns en positiv konstant c så att vi för alla rationella p / q har

$\left|{x-{\frac {p}{q}}}\right|>{\frac {c}{q^{2}}}\ .$

De dåligt approximerbara talen är just de med begränsade partiella kvoter .

På motsvarande sätt är ett tal dåligt approximerbart om och endast om dess Markov-konstant är begränsad.

Nedre gränser för diofantiska approximationer

Approximation av en rationell med andra rationalier

Ett rationellt tal ${\textstil \alpha ={\frac {a}{b}}}$ kan uppenbart och perfekt approximeras av ${\textstyle {\frac {p_{i }}{q_{i}}}={\frac {i\,a}{i\,b}}}$ för varje positivt heltal i .

Om ${\textstyle {\frac {p}{q}}\not =\alpha ={\frac {a}{b}}\,,} har$ vi

$\left|{\frac {a}{b}}-{\frac {p}{q}}\right|=\left|{\frac {aq-bp}{bq} }\right|\geq {\frac {1}{bq}},$

eftersom $|aq-bp|$ är ett positivt heltal och är alltså inte lägre än 1. Sålunda är noggrannheten i approximationen dålig i förhållande till irrationella tal (se nästa avsnitt).

Det kan anmärkas att det föregående beviset använder en variant av duvhålsprincipen : ett icke-negativt heltal som inte är 0 är inte mindre än 1. Denna till synes triviala anmärkning används i nästan alla bevis på nedre gränser för diofantiska approximationer, även mest sofistikerade.

Sammanfattningsvis är ett rationellt tal perfekt approximerat av sig självt, men är dåligt approximerat av vilket annat rationellt tal som helst.

Approximation av algebraiska tal, Liouvilles resultat

Huvudartikel: Liouville-nummer

På 1840-talet fick Joseph Liouville den första nedre gränsen för approximationen av algebraiska tal : Om x är ett irrationellt algebraiskt tal av grad n över de rationella talen, så finns det en konstant c ( x ) > 0 så att

$\left|x-{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {c(x)}{q^{n}}}$

gäller för alla heltal p och q där q > 0 .

Detta resultat gjorde det möjligt för honom att producera det första beprövade exemplet på ett transcendentalt tal, Liouville-konstanten

${\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }10^{-j!}=0,1100010000000000000000001000,\ldots$

som inte uppfyller Liouvilles sats, vilken grad n som än väljs.

Denna koppling mellan diofantiska approximationer och transcendental talteori fortsätter till våra dagar. Många av bevisteknikerna delas mellan de två områdena.

Approximation av algebraiska tal, Thue–Siegel–Roth-satsen

Huvudartikel: Thue–Siegel–Roths teorem

Under mer än ett sekel gjordes många försök att förbättra Liouvilles teorem: varje förbättring av gränsen gör det möjligt för oss att bevisa att fler tal är transcendentala. De viktigaste förbättringarna beror på Axel Thue ( 1909 ), Siegel ( 1921 ), Freeman Dyson ( 1947 ) och Klaus Roth ( 1955 ), vilket slutligen leder till Thue-Siegel-Roth-satsen: Om x är ett irrationellt algebraiskt tal och ε ett (litet) positivt reellt tal, då finns det en positiv konstant c ( x , ε ) så att

$\left|x-{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {c(x,\varepsilon )}{q^{2 +\varepsilon }}}$

gäller för varje heltal p och q så att q > 0 .

I någon mening är detta resultat optimalt, eftersom satsen skulle vara falsk med ε = 0. Detta är en omedelbar konsekvens av de övre gränserna som beskrivs nedan.

Samtidiga approximationer av algebraiska tal

Huvudartikel: Subspace theorem

Därefter generaliserade Wolfgang M. Schmidt detta till fallet med samtidiga approximationer, vilket bevisade att: Om x ₁ , ..., x _n är algebraiska tal så att 1, x ₁ , ..., x _n är linjärt oberoende av det rationella tal och ε är vilket givet positivt reellt tal som helst, då finns det bara ändligt många rationella n -tuplar ( p ₁ / q , ..., p _n / q ) så att

$\left|x_{i}-{\frac {p_{i}}{q}}\right|<q^{-(1+1/n+\varepsilon )},\quad i=1,\ ldots ,n.$

Återigen är detta resultat optimalt i den meningen att man kanske inte tar bort ε från exponenten.

Effektiva gränser

Alla föregående nedre gränser är inte effektiva i den meningen att bevisen inte ger något sätt att beräkna konstanten som antyds i påståendena. Detta innebär att man inte kan använda resultaten eller deras bevis för att få gränser för storleken på lösningar av relaterade diofantiska ekvationer. Emellertid kan dessa tekniker och resultat ofta användas för att binda antalet lösningar av sådana ekvationer.

Icke desto mindre ger en förfining av Bakers teorem av Feldman en effektiv gräns: om x är ett algebraiskt tal med grad n över de rationella talen, så finns det faktiskt beräkningsbara konstanter c ( x ) > 0 och 0 < d ( x ) < n sådana den där

$\left|x-{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {c(x)}{|q|^{d(x)}}}$

gäller för alla rationella heltal.

Men som för varje effektiv version av Bakers sats är konstanterna d och 1/ c så stora att detta effektiva resultat inte kan användas i praktiken.

Övre gränser för diofantiska approximationer

Allmän övre gräns

Huvudartikel: Hurwitzs teorem (talteori)

Det första viktiga resultatet om övre gränser för diofantiska approximationer är Dirichlets approximationssats , som antyder att det för varje irrationellt tal α finns oändligt många bråk ${\tfrac {p}{q}}\;$ så att

$\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{2}}}\,.$

Detta innebär omedelbart att man inte kan undertrycka ε i uttalandet av Thue-Siegel-Roth-satsen.

Adolf Hurwitz (1891) stärkte detta resultat och bevisade att för varje irrationellt tal α finns det oändligt många bråk ${\tfrac {p}{q}}\;$ så att

$\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{{\sqrt {5}}q^{2}}}\,.$

Därför är ${\frac {1}{{\sqrt {5}}\,q^{2}}}$ en övre gräns för de diofantiska approximationerna av alla irrationella tal. Konstanten i detta resultat kanske inte förbättras ytterligare utan att exkludera vissa irrationella tal (se nedan).

Émile Borel (1903) visade att i själva verket, givet ett irrationellt tal α , och givet tre på varandra följande konvergenter av α , måste åtminstone en uppfylla den ojämlikhet som ges i Hurwitzs teorem.

Motsvarande reella tal

Definition : Två reella tal $x,y$ kallas ekvivalenta om det finns heltal $a,b,c,d\;$ med $ad-bc=\pm 1\;$ så att:

$y={\frac {ax+b}{cx+d}}\,.$

Så ekvivalens definieras av en heltals Möbius-transformation på de reella talen, eller av en medlem av den modulära gruppen ${\text{SL}}_{2}^{\pm }(\mathbb {Z} )$ , mängden inverterbara 2 × 2 matriser över heltal. Varje rationellt tal är ekvivalent med 0; sålunda är de rationella talen en ekvivalensklass för denna relation.

Ekvivalensen kan avläsas på den vanliga fortsatta bråkrepresentationen, vilket visas av följande sats av Serret :

Sats : Två irrationella tal x och y är ekvivalenta om och endast om det finns två positiva heltal h och k så att de reguljära fortsatta bråkrepresentationerna av x och y

${\begin{aligned}x&=[u_{0};u_{1},u_{2},\ldots ]\,,\\y&=[v_{0 };v_{1},v_{2},\ldots ]\,,\end{aligned}}$

uppfylla

$u_{h+i}=v_{k+i}$

för varje icke negativt heltal i .

Sålunda, förutom en ändlig initial sekvens, har ekvivalenta tal samma fortsatta bråkrepresentation.

Ekvivalenta tal är ungefärliga i samma grad, i den meningen att de har samma Markov-konstant .

Lagrange spektrum

Huvudartikel: Markov spectrum

Som sagt ovan kanske konstanten i Borels sats inte förbättras, vilket Adolf Hurwitz visade 1891. Låt $\phi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{ 2}}$ vara det gyllene snittet . Sedan för varje reell konstant c med $c>{\sqrt {5}}\;$ finns det bara ett ändligt antal rationella tal p / q så att

$\left|\phi -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{c\,q^{2}}}.$

Därför kan en förbättring endast uppnås om de tal som är ekvivalenta med $\phi$ exkluderas. Mer exakt: För varje irrationellt tal $\alpha$ , som inte är ekvivalent med ${\displaystyle \phi } ,$ finns det oändligt många bråk ${\tfrac {p}{q}}\;$ så att

$\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{{\sqrt {8}}q^{2}}}.$

Genom successiva undantag — nästa måste exkludera talen som motsvarar ${\sqrt {2}}$ — av fler och fler ekvivalensklasser, kan den nedre gränsen förstoras ytterligare. De värden som kan genereras på detta sätt är Lagrange-tal , som är en del av Lagrange-spektrumet . De konvergerar till siffran 3 och är relaterade till Markov-talen .

Khinchins teorem om metrisk diofantapproximation och förlängningar

Låt $\psi$ vara en positiv reellt värderad funktion på positiva heltal (dvs en positiv sekvens) så att $q\psi (q)$ är icke-ökande. Ett reellt tal x (inte nödvändigtvis algebraiskt) kallas $\psi$ - ungefärligt om det finns oändligt många rationella tal p / q så att

$\left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {\psi (q)}{|q|}}.$

Aleksandr Khinchin bevisade 1926 att om serien ${\textstyle \sum _{q}\psi (q)} divergerar, så$ är nästan varje reellt tal (i betydelsen Lebesgue-mått ) $\psi$ -approximable, och om serien konvergerar, så är nästan varje reellt tal inte $\psi$ -approximable. Cirkeln av idéer som omger denna sats och dess släktingar är känd som metrisk diofantisk approximation eller metrisk teori om diofantisk approximation (inte att förväxla med höjd "metrik" i diofantisk geometri ) eller metrisk talteori .

Duffin & Schaeffer (1941) bevisade en generalisering av Khinchins resultat och ställde vad som nu är känt som Duffin–Schaeffer-förmodan om analogen till Khinchins dikotomi för allmänna, inte nödvändigtvis minskande, sekvenser $\psi$ . Beresnevich & Velani (2006) bevisade att en Hausdorff- måttanalog av Duffin-Schaeffer-förmodan är likvärdig med den ursprungliga Duffin-Schaeffer-förmodan, som är a priori svagare. I juli 2019 Dimitris Koukoulopoulos och James Maynard ett bevis på gissningarna.

Hausdorff dimension av exceptionella uppsättningar

Ett viktigt exempel på en funktion $\psi$ som Khinchins sats kan appliceras på är funktionen $\psi _{c}(q)=q^{-c }$ , där c > 1 är ett reellt tal. För denna funktion konvergerar den relevanta serien och därför säger Khinchins sats att nästan varje punkt inte är $\psi _{c}$ -approximabel. Således bildar uppsättningen av tal som är $\psi _{c}$ -approximable en delmängd av den reella linjen i Lebesgue-måttet noll. Jarník-Besicovitch-satsen, på grund av V. Jarník och AS Besicovitch , säger att Hausdorff-dimensionen för denna uppsättning är lika med $1/c$ . Speciellt uppsättningen av tal som är $\psi _{c}$ -approximable för vissa $c>1$ (känd som uppsättningen av mycket väl approximerbara tal ) har Hausdorff dimension ett , medan uppsättningen av tal som är $\psi _{c}$ -approximable för alla $c>1$ (känd som uppsättningen av Liouville-tal ) har Hausdorff dimension noll.

Ett annat viktigt exempel är funktionen ${\displaystyle \psi _{\varepsilon }(q)=\varepsilon q^{-1}} ,$ där $\varepsilon >0$ är ett reellt tal. För denna funktion divergerar den relevanta serien och därför säger Khinchins sats att nästan alla tal är $\psi _{\varepsilon }$ -approximable. Detta är samma sak som att säga att varje sådant tal är väl approximerbart , där ett tal kallas väl approximerbart om det inte är dåligt approximerbart. Så en lämplig analog till Jarník-Besicovitch-satsen bör gälla Hausdorff-dimensionen av uppsättningen av dåligt approximerbara tal. Och faktiskt, V. Jarník bevisade att Hausdorff-dimensionen i denna uppsättning är lika med en. Detta resultat förbättrades av WM Schmidt , som visade att uppsättningen av dåligt approximerbara tal är inkompressibel , vilket betyder att om $f_{1},f_{2},\ldots$ är en sekvens av bi-Lipschitz- kartor, sedan uppsättningen av siffror x för vilka $f_{1}(x),f_{2}(x),\ldots$ alla är dåligt ungefärlig har Hausdorff dimension ett. Schmidt generaliserade också Jarníks teorem till högre dimensioner, en betydande prestation eftersom Jarníks argument i huvudsak är endimensionellt, beroende på apparaten för fortsatta bråk.

Jämn fördelning

Ett annat ämne som har sett en grundlig utveckling är teorin om enhetlig distribution mod 1 . Ta en sekvens a ₁ , en ₂ , ... av reella tal och betrakta deras bråkdelar . Det vill säga mer abstrakt, titta på sekvensen i ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} } ,$ som är en cirkel. För varje intervall I på cirkeln tittar vi på andelen av sekvensens element som ligger i den, upp till något heltal N , och jämför det med proportionen av omkretsen som upptas av I . Enhetlig fördelning innebär att i gränsen, när N växer, tenderar andelen träffar på intervallet till det "förväntade" värdet. Hermann Weyl bevisade ett grundläggande resultat som visar att detta var ekvivalent med gränser för exponentiella summor bildade från sekvensen. Detta visade att Diophantine approximationsresultat var nära besläktade med det allmänna problemet med annullering i exponentiella summor, som förekommer genom hela analytisk talteorin i avgränsningen av feltermer.

Relaterat till enhetlig fördelning är ämnet om oegentligheter i distributionen, som är av kombinatorisk karaktär.

Olösta problem

Det finns fortfarande enkelt angivna olösta problem kvar i Diophantine approximation, till exempel Littlewood-förmodan och den ensamma löparen . Det är också okänt om det finns algebraiska tal med obegränsade koefficienter i deras fortsatta bråkexpansion.

Senaste utvecklingen

I sitt plenartal vid International Mathematical Congress i Kyoto (1990), skisserade Grigory Margulis ett brett program med rötter i ergodisk teori som gör det möjligt för en att bevisa talteoretiska resultat genom att använda de dynamiska och ergodiska egenskaperna hos handlingar hos undergrupper av semisenkla Lie-grupper . D. Kleinbocks, G. Margulis och deras medarbetares arbete visade kraften i detta nya tillvägagångssätt för klassiska problem i diofantisk approximation. Bland dess anmärkningsvärda framgångar är beviset på den decennier gamla Oppenheim-förmodan av Margulis, med senare förlängningar av Dani och Margulis och Eskin-Margulis-Mozes, och beviset för Baker och Sprindzhuks antaganden i de diofantiska approximationerna av grenrör av Kleinbock och Margulis. Olika generaliseringar av ovanstående resultat av Aleksandr Khinchin i metrisk Diophantine approximation har också erhållits inom denna ram.

Se även

• Davenport–Schmidts sats
• Duffin–Schaeffer gissningar
• Heilbronn set
• Låg avvikelse sekvens

Anteckningar

•    Beresnevich, Victor; Velani, Sanju (2006). "En massöverföringsprincip och Duffin-Schaeffer-förmodan för Hausdorff-åtgärder". Annals of Mathematics . 164 (3): 971–992. arXiv : math/0412141 . doi : 10.4007/annals.2006.164.971 . S2CID 14475449 . Zbl 1148.11033 .
•    Bernik, V.; Beresnevich, V.; Götze, F.; Kukso, O. (2013). "Fördelning av algebraiska siffror och metrisk teori för Diophantine approximation". I Eichelsbacher, Peter; Elsner, Guido; Kösters, Holger; Löwe, Matthias; Merkl, Franz; Rolles, Silke (red.). Gränssatser i sannolikhet, statistik och talteori: Till ära av Friedrich Götze . Springer Proceedings in Mathematics & Statistics. Vol. 42. Heidelberg: Springer. s. 23–48. doi : 10.1007/978-3-642-36068-8_2 . MR 3079136 . S2CID 55652124 .
•    Bugeaud, Yann (2012). Distribution modulo ett och Diophantine approximation . Cambridge Tracts in Mathematics. Vol. 193. Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-11169-0 . Zbl 1260.11001 .
• Cassels, JWS (1957). En introduktion till diofantisk approximation . Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics. Vol. 45. Cambridge University Press .
•    Duffin, RJ; Schaeffer, AC (1941). "Khintchines problem med metrisk diofantapproximation". Duke Mathematical Journal . 8 (2): 243–255. doi : 10.1215/s0012-7094-41-00818-9 . ISSN 0012-7094 . Zbl 0025.11002 .
•     Dyson, Freeman J. (1947). "Approximationen till algebraiska tal genom rationaler" . Acta Mathematica . 79 : 225–240. doi : 10.1007/BF02404697 . ISSN 0001-5962 . MR 0023854 . Zbl 0030.02101 .
•    Hardy, GH ; Wright, EM (1979). En introduktion till talteorin (5:e upplagan). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-853170-8 . MR 0568909 .
•    Hurwitz, A. (1891). "Ueber die angenäherte Darstellung der Irrationalzahlen durch rationale Brüche" [Om den ungefärliga representationen av irrationella tal genom rationella bråk]. Mathematische Annalen (på tyska). 39 (2): 279–284. doi : 10.1007/BF01206656 . MR 1510702 . S2CID 119535189 .
•   Khinchin, A. Ya. (1997) [1964]. Fortsättning Bråk . Dover. ISBN 0-486-69630-8 .
•      Kleinbock, DY; Margulis, GA (1998). "Flöden på homogena utrymmen och diofantisk approximation på grenrör". Ann. Matematik . 148 (1): 339–360. arXiv : math/9810036 . Bibcode : 1998math.....10036K . doi : 10.2307/120997 . JSTOR 120997 . MR 1652916 . S2CID 8471125 . Zbl 0922.11061 .
•    Lang, Serge (1995). Introduktion till Diophantine Approximations (Ny utökad utgåva). Springer-Verlag . ISBN 0-387-94456-7 . Zbl 0826.11030 .
•    Margulis, GA (2002). "Diofant approximation, gitter och flöden på homogena utrymmen". I Wüstholz, Gisbert (red.). Ett panorama av talteori eller utsikten från Bakers trädgård . Cambridge: Cambridge University Press . s. 280–310. ISBN 0-521-80799-9 . MR 1975458 .
• Perron, Oskar (1913). Die Lehre von den Kettenbrüchen [ Teorin om fortsatta bråk ] (på tyska). Leipzig: BG Teubner.
• Perron, Oskar (1929). Die Lehre von den Kettenbrüchen [ Theory of Continued Fractions ] (på tyska) (2:a uppl.). Chelsea.
•     Roth, Klaus Friedrich (1955). "Rationella approximationer till algebraiska tal". Mathematika . 2 : 1–20, 168. doi : 10.1112/S0025579300000644 . ISSN 0025-5793 . MR 0072182 . Zbl 0064.28501 .
•    Schmidt, Wolfgang M. (1980). Diofantisk approximation . Föreläsningsanteckningar i matematik. Vol. 785 (1996 utg.). Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag . ISBN 3-540-09762-7 . Zbl 0421.10019 .
•    Schmidt, Wolfgang M. (1996). Diofantiska approximationer och diofantiska ekvationer . Föreläsningsanteckningar i matematik. Vol. 1467 (2:a uppl.). Springer-Verlag . ISBN 3-540-54058-X . Zbl 0754.11020 .
•    Siegel, Carl Ludwig (1921). "Approximation algebraischer Zahlen" . Mathematische Zeitschrift . 10 (3): 173–213. doi : 10.1007/BF01211608 . ISSN 0025-5874 . S2CID 119577458 .
•     Sprindzhuk, Vladimir G. (1979). Metrisk teori om diofantiska approximationer . Scripta-serien i matematik. Transl. från ryska och utg. av Richard A. Silverman. Med ett förord ​​av Donald J. Newman. John Wiley & Sons. ISBN 0-470-26706-2 . MR 0548467 . Zbl 0482.10047 .
•    Thue, A. (1909). "Über Annäherungswerte algebraischer Zahlen" . Journal für die reine und angewandte Mathematik . 1909 (135): 284–305. doi : 10.1515/crll.1909.135.284 . ISSN 0075-4102 . S2CID 125903243 .

externa länkar

• Diophantine Approximation: historisk undersökning . From Introduction to Diophantine methods kurs av Michel Waldschmidt .
• "Diophantine approximations" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]