Zeta funktion regularisering

Inom matematik och teoretisk fysik är zetafunktionsregularisering regulariserings- en typ av eller summerbarhetsmetod som tilldelar ändliga värden till divergerande summor eller produkter, och i synnerhet kan användas för att definiera bestämningsfaktorer och spår av vissa självtillgränsande operatorer . Tekniken tillämpas nu allmänt på problem inom fysiken , men har sitt ursprung i försök att ge exakta betydelser till dåligt betingade summor som förekommer i talteorin .

Definition

Det finns flera olika summeringsmetoder som kallas zetafunktionsregularisering för att definiera summan av en eventuellt divergerande serie a ₁ + a ₂ + ....

En metod är att definiera dess zeta-reguljära summa till ζ _A (−1) om denna är definierad, där zetafunktionen definieras för stora Re( s ) av

\zeta _{A}(s)={\frac {1}{a_{1}^{s}}}+{\ frac {1}{a_{2}^{s}}}+\cdots

om denna summa konvergerar, och genom analytisk fortsättning någon annanstans.

I fallet när a _n = n är zetafunktionen den vanliga Riemann zetafunktionen . Denna metod användes av Euler för att "summa" serien 1 + 2 + 3 + 4 + ... till ζ(−1) = −1/12.

Hawking (1977) visade att i platt rymd, där egenvärdena för Laplacians är kända, kan zetafunktionen som motsvarar partitionsfunktionen explicit beräknas. Betrakta ett skalärt fält φ som finns i en stor låda med volym V i platt rumstid vid temperaturen T = β ⁻¹ . Partitionsfunktionen definieras av en vägintegral över alla fält φ på det euklidiska rummet som erhålls genom att sätta τ = det som är noll på lådans väggar och som är periodiska i τ med perioden β . I denna situation från partitionsfunktionen beräknar han energi, entropi och tryck för strålningen från fältet φ . I fallet med platta utrymmen är egenvärdena som uppträder i de fysiska storheterna allmänt kända, medan de i fallet med krökt utrymme inte är kända: i detta fall behövs asymptotiska metoder.

En annan metod definierar den möjligen divergerande oändliga produkten a ₁ a ₂ .... till exp(−ζ′ _A (0)). Ray & Singer (1971) använde detta för att definiera determinanten för en positiv självadjoint operator A ( laplacianen för en Riemann-manifold i deras tillämpning) med egenvärden a ₁ , a ₂ , ...., och i detta fall zetan funktion är formellt spåret av A ^{− s} . Minakshisundaram & Pleijel (1949) visade att om A är laplacian för en kompakt Riemann-manifold så konvergerar Minakshisundaram–Pleijel zetafunktionen och har en analytisk fortsättning som en meromorf funktion till alla komplexa tal, och Seeley (1967) utökade detta till elliptisk pseudo -differentialoperatörer A på kompakta Riemannska grenrör. Så för sådana operatorer kan man definiera determinanten med hjälp av zeta-funktionsregularisering. Se " analytisk vridning ."

Hawking (1977) föreslog att man skulle använda denna idé för att utvärdera vägintegraler i krökta rumstider. Han studerade zetafunktionsregularisering för att beräkna partitionsfunktionerna för termisk graviton och materiens kvanta i krökt bakgrund som vid horisonten av svarta hål och på de Sitter-bakgrund med hjälp av relationen av den omvända Mellin-transformationen till spåret av värmekärnan ekvationer .

Exempel

Det första exemplet där zetafunktionsregularisering är tillgänglig visas i Casimir-effekten, som är i ett platt utrymme med kvantfältets bulkbidrag i tre rymddimensioner. I det här fallet måste vi beräkna värdet på Riemanns zeta-funktion vid -3 , som divergerar explicit. Det kan dock analytiskt fortsätta till s=-3 där det förhoppningsvis inte finns någon pol, vilket ger uttrycket ett ändligt värde. Ett detaljerat exempel på denna legalisering på jobbet ges i artikeln om detaljexemplet på Casimir-effekten , där den resulterande summan är mycket explicit Riemann zeta-funktionen (och där den till synes legerdemain analytiska fortsättningen tar bort en additiv oändlighet, vilket lämnar en fysiskt signifikant ändligt antal).

Ett exempel på zeta-funktionsregularisering är beräkningen av vakuumförväntningsvärdet för energin i ett partikelfält i kvantfältteorin . Mer generellt kan zeta-funktionsmetoden användas för att reglera hela energi-momentum-tensorn i krökt rumtid.

Det oreglerade värdet av energin ges av en summering över nollpunktsenergin för alla magnetiseringslägen i vakuumet:

\langle 0|T_{00}|0\rangle =\summa _{n}{\frac {\hbar |\omega _{n}|}{2}}

Här är $T_{00}$ den nollte komponenten av energi-momentum-tensorn och summan (som kan vara en integral) förstås sträcka sig över alla (positiva och negativa) energilägen $\omega _{n}$ ; det absoluta värdet som påminner oss om att energin anses vara positiv. Denna summa, som skriven, är vanligtvis oändlig ( $\omega _{n}$ är vanligtvis linjär i n). Summan kan regleras genom att skriva den som

\langle 0|T_{00}(s)|0\rangle =\summa _{n}{\frac {\hbar |\omega _{n}|}{2}}|\omega _ {n}|^{-s}

där s är någon parameter, taget för att vara ett komplext tal . För stora, reella s större än 4 (för tredimensionellt rymd) är summan uppenbart ändlig och kan därför ofta utvärderas teoretiskt.

Zeta-regulariseringen är användbar eftersom den ofta kan användas på ett sätt så att de olika symmetrierna i det fysiska systemet bevaras. Zeta-funktionsregularisering används i konform fältteori , renormalisering och för att fixa den kritiska rumtidsdimensionen av strängteorin .

Förhållande till andra legaliseringar

Zeta-funktionsregularisering är ekvivalent med dimensionell regularisering , se. Den största fördelen med zeta-reguljäriseringen är dock att den kan användas när den dimensionella regulariseringen misslyckas, till exempel om det finns matriser eller tensorer inuti beräkningarna $\epsilon _{i,j,k }$

Relation till Dirichlet-serien

Zeta-funktionsregularisering ger en analytisk struktur till alla summor över en aritmetisk funktion f ( n ). Sådana summor är kända som Dirichlet-serien . Den reguljära formen

{\tilde {f}}(s)=\summa _{n=1}^{\infty }f(n)n ^{-s}

omvandlar divergenser av summan till enkla poler på det komplexa s -planet. I numeriska beräkningar är zeta-funktionens regularisering olämplig, eftersom den är extremt långsam att konvergera. För numeriska ändamål är en snabbare konvergerande summa den exponentiella regulariseringen, given av

F(t)=\sum _{n=1}^{\infty }f(n)e^{-tn}.

Detta kallas ibland för Z-transformen av f , där z = exp(− t ). Den analytiska strukturen för exponential- och zeta-regulariseringarna är relaterade. Genom att expandera exponentialsumman som en Laurent-serie

F(t)={\frac {a_{N}}{t^{N}}}+{\frac { a_{N-1}}{t^{N-1}}}+\cdots

man finner att zeta-serien har strukturen

{\tilde {f}}(s)={\frac {a_{N}}{sN}}+\cdots .

Strukturen för exponential- och zeta-regulatorerna är relaterade med hjälp av Mellin-transformen . Den ena kan konverteras till den andra genom att använda den integrerade representationen av gammafunktionen :

\Gamma (s)=\int _{0}^{\infty }t^{s-1}e^{-t}\ ,dt

som leder till identiteten

\Gamma (s){\tilde {f}}(s)=\int _{0}^{\ infty }t^{s-1}F(t)\,dt

relatera exponential- och zeta-regulatorerna och omvandla poler i s-planet till divergerande termer i Laurent-serien.

Reglering av värmekärnor

Summan

f(s)=\sum _{n}a_{n}e^{-s|\omega _{n}|}

kallas ibland en värmekärna eller en värmekärnreguljär summa ; detta namn härrör från idén att $\omega _{n}$ ibland kan förstås som egenvärden för värmekärnan . Inom matematiken är en sådan summa känd som en generaliserad Dirichlet-serie ; dess användning för medelvärdesberäkning är känd som ett abeliaanskt medelvärde . Det är nära besläktat med Laplace–Stieltjes-transformen , i det

f(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}\,d\alpha (t)

där $\alpha (t)$ är en stegfunktion , med steg av $a_{n}$ vid $t=|\omega _{n}|$ . Det finns ett antal teorem för konvergensen av en sådan serie. Till exempel genom Hardy-Littlewood Tauberian-satsen, if

L=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\log \vert \sum _{k=1}^{n}a_{k}\vert }{|\omega _{n} |}}

då konvergerar serien för $f(s)$ i halvplanet $\Re (s)>L$ och är enhetligt konvergent på varje kompakt delmängd av halvan -plan $\Re (s)>L$ . I nästan alla fysikapplikationer har man $L=0$

Historia

Mycket av det tidiga arbetet med att fastställa konvergensen och ekvivalensen av serier som reglerats med regleringsmetoderna för värmekärnan och zetafunktion utfördes av GH Hardy och JE Littlewood 1916 och är baserat på tillämpningen av Cahen-Mellin-integralen . Ansträngningen gjordes för att få värden för olika dåligt definierade, villkorligt konvergerande summor som förekommer i talteorin .

När det gäller tillämpning som regulator i fysiska problem, före Hawking (1977), föreslog J. Stuart Dowker och Raymond Critchley 1976 en zeta-funktions-regulariseringsmetod för kvantfysikaliska problem. Emilio Elizalde och andra har också föreslagit en metod baserad på zeta-regulariseringen för integralerna ${\displaystyle \int _{a}^{\infty }x^{ms}dx} ,$ här $x^{-s}$ är en regulator och den divergerande integralen beror på talen $\zeta (sm)$ i gränsen $s\to 0$ se renormalisering . Också till skillnad från andra regulariseringar som dimensionell regularisering och analytisk regularisering, har zeta-regularisering inga mottermer och ger bara ändliga resultat.

Se även

^ Tom M. Apostol, "Modulära funktioner och Dirichlet-serier i talteori", "Springer-Verlag New York. (Se kapitel 8.)"
^ A. Bytsenko, G. Cognola, E. Elizalde, V. Moretti och S. Zerbini, "Analytiska aspekter av kvantfält", World Scientific Publishing, 2003, ISBN 981-238-364-6
^ GH Hardy och JE Littlewood, "Bidrag till teorin om Riemann Zeta-Funktion och teorin om fördelningen av primtal", Acta Mathematica , 41 (1916) s. 119–196. (Se till exempel sats 2.12)
Hawking, SW ( 1977), "Zeta function regularization of path integrals in curved spacetime" , Communications in Mathematical Physics , 55 ( 2): 133–148, Bibcode : 1977CMaPh..55..133H , doi : 10.1007, ISSNF 6265107/62661007/62665100 0010-3616 , MR 0524257 , S2CID 121650064
^ V. Moretti, "Direkt z-funktions tillvägagångssätt och renormalisering av en-loopspänningstensor i krökta rumstider , Phys. Rev.D 56, 7797 (1997).
Minakshisundaram, S.; Pleijel, Å. (1949), "Some properties of the eigenfunctions of the Laplace-operator on Riemannian manifolds", Canadian Journal of Mathematics , 1 (3): 242–256, doi : 10.4153/CJM-1949-021-5 , ISSN 0008-414X MR 0031145 _
Ray, DB; Singer, IM (1971), " R -torsion and the Laplacian on Riemannian manifolds", Advances in Mathematics , 7 (2): 145–210, doi : 10.1016/0001-8708(71)90045-4 , MR 12955
"Zeta-function method for regularization" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
Seeley, RT (1967), "Complex powers of an elliptic operator", i Calderón, Alberto P. (red.), Singular Integrals (Proc. Sympos. Pure Math., Chicago, Ill., 1966) , Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, vol. 10, Providence, RI: Amer. Matematik. Soc., s. 288–307, ISBN 978-0-8218-1410-9 , MR 0237943
^ Dowker, JS; Critchley, R. (1976), "Effective Lagrangian and energy–momentum tensor in de Sitter space", Physical Review D , 13 (12): 3224–3232, doi : 10.1103/PhysRevD.13.3224