Borel undergrupp

I teorin om algebraiska grupper är en Borel-undergrupp av en algebraisk grupp G en maximal Zariski sluten och sammankopplad lösbar algebraisk undergrupp . Till exempel, i den allmänna linjära gruppen GL _n ( nxn inverterbara matriser), är undergruppen av inverterbara övre triangulära matriser en Borel-undergrupp.

För grupper realiserade över algebraiskt slutna fält finns det en enda konjugationsklass av Borel-undergrupper.

Borel-undergrupper är en av de två nyckelingredienserna för att förstå strukturen av enkla (mer allmänt, reduktiva ) algebraiska grupper, i Jacques Tits teori om grupper med ett (B,N)-par . Här är gruppen B en Borel-undergrupp och N är normaliseraren för en maximal torus som finns i B.

Begreppet introducerades av Armand Borel , som spelade en ledande roll i utvecklingen av teorin om algebraiska grupper.

Paraboliska undergrupper

Undergrupper mellan en Borel-undergrupp B och den omgivande gruppen G kallas paraboliska undergrupper . De paraboliska undergrupperna P kännetecknas också, bland algebraiska undergrupper, av villkoret att G / P är en komplett sort . När man arbetar över algebraiskt slutna fält visar sig Borel-undergrupperna vara de minimala paraboliska undergrupperna i denna mening. B är alltså en Borel-undergrupp när det homogena utrymmet G/B är en komplett sort som är "så stor som möjligt".

För en enkel algebraisk grupp G är mängden konjugationsklasser av paraboliska undergrupper i bijektion med mängden av alla undergrupper av noder i motsvarande Dynkin-diagram ; Borel-undergruppen motsvarar den tomma mängden och G själv motsvarar mängden av alla noder. (I allmänhet bestämmer varje nod i Dynkin-diagrammet en enkel negativ rot och därmed en endimensionell 'rotgrupp' av G – en delmängd av noderna ger alltså en parabolisk undergrupp, genererad av B och motsvarande negativa rotgrupper. Dessutom, vilken parabolisk undergrupp som helst är konjugerad till en sådan parabolisk undergrupp.)

Exempel

Låt $G=GL_{4}(\mathbb {C} )$ . En Borel-undergrupp $B$ av $G$ är uppsättningen av övre triangulära matriser

$\left\{A={\begin{bmatrix}a_{11 }&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\0&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\0&0&a_{33}&a_{34}\\0&0&0&a_{44}\end{bmatrix}}: \det(A)\neq 0\right\}$

och de maximala egentliga paraboliska undergrupperna av $G$ som innehåller $B$ är

$_ {bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\0&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\0&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\0&a_ {42}&a_{43}&a_{44}\end{bmatrix}}\right\},{\text{ }}\left\{{\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13} &a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\0&0&a_{33}&a_{34}\\0&0&a_{43}&a_{44}\end{bmatrix}}\right \},{\text{ }}\left\{{\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_ {24}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\0&0&0&a_{44}\end{bmatrix}}\right\}}$

är en maximal torus i $B$

$\left\{{\begin{bmatrix}a_{11}&0&0&0\\0&0_&{02}& \\0&0&a_{33}&0\\0&0&0&a_{44}\end{bmatrix}}:a_{11}\cdot a_{22}\cdot a_{33}\cdot a_{44}\neq 0\right\}$

Detta är isomorft till den algebraiska torusen $(\mathbb {C} ^{*})^{ 4}={\text{Spec}}(\mathbb {C} [x^{\pm 1},y^{\pm 1},z^{\pm 1},w^{\pm 1}])$ .

Lögnalgebra

Huvudartikel: Borel subalgebra

För specialfallet med en Lie-algebra ${\mathfrak {g}}$ med en Cartan-subalgebra ${\displaystyle {\mathfrak {h}}} ,$ givet en ordning på ${\mathfrak {h }}$ , är Borel-subalgebra den direkta summan av ${\mathfrak {h}}$ och viktutrymmena för ${\mathfrak {g}}$ med positiv vikt. En Lie-subalgebra av ${\mathfrak {g}}$ som innehåller en Borel-subalgebra kallas en parabolisk Lie-algebra .

Se även

• Hyperbolisk grupp
• Cartan undergrupp
• Mirabolisk undergrupp

• Gary Seitz (1991). "Algebraiska grupper". I B. Hartley; et al. (red.). Finita och lokalt ändliga grupper . s. 45–70.
•   J. Humphreys (1972). Linjära algebraiska grupper . New York: Springer. ISBN 0-387-90108-6 .
•   A. Borel (2001). Uppsatser i lögngruppers och algebraiska gruppers historia . Providence RI: AMS. ISBN 0-8218-0288-7 .

Specifik

externa länkar

• Popov, VL (2001) [1994], "Parabolic subgroup" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• Platonov, VP (2001) [1994], "Borel subgroup" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press