Bruhat-nedbrytning

Inom matematiken kan Bruhat-nedbrytningen (införd av François Bruhat för klassiska grupper och av Claude Chevalley i allmänhet) G = BWB av vissa algebraiska grupper G till celler betraktas som ett allmänt uttryck för principen om Gauss–Jordan-eliminering , som generiskt skriver en matris som en produkt av en övre triangulär och nedre triangulär matris - men med undantagsfall. Det är relaterat till Schubert-cellnedbrytningen av flaggsorter: se Weyl-gruppen för detta.

Mer generellt har vilken grupp som helst med ett ( B , N )-par en Bruhat-nedbrytning.

Definitioner

• G är en sammankopplad , reduktiv algebraisk grupp över ett algebraiskt slutet fält .
• B är en Borel-undergrupp till G
• W är en Weyl-grupp av G som motsvarar en maximal torus av B .

Bruhat -nedbrytningen av G är nedbrytningen

$G=BWB=\bigsqcup _{w\in W}BwB$

av G som en disjunkt förening av dubbla coset av B parametriserad av elementen i Weyl-gruppen W . (Observera att även om W i allmänhet inte är en undergrupp av G , är coset wB fortfarande väldefinierad eftersom den maximala torusen finns i B .)

Exempel

Låt G vara den allmänna linjära gruppen GL _n av inverterbara $n\ gånger n$ matriser med poster i något algebraiskt stängt fält, som är en reduktiv grupp . Då är Weyl-gruppen W isomorf till den symmetriska gruppen S _n på n bokstäver, med permutationsmatriser som representanter. I det här fallet kan vi ta B för att vara undergruppen av övre triangulära inverterbara matriser, så Bruhat-sönderdelning säger att man kan skriva vilken inverterbar matris A som helst som en produkt U ₁ PU ₂ där U ₁ och U ₂ är övre triangulära, och P är en permutationsmatris. Att skriva detta som P = U ₁ ⁻¹ AU ₂ ⁻¹ , säger att vilken inverterbar matris som helst kan omvandlas till en permutationsmatris via en serie rad- och kolumnoperationer, där vi bara får lägga till rad i ( resp . kolumn i ) ) till rad j (resp. kolumn j ) om i > j (resp. i < j ). Radoperationerna motsvarar U ₁ ⁻¹ , och kolumnoperationerna motsvarar U ₂ ⁻¹ .

Den speciella linjära gruppen SL _n av inverterbara $n\ gånger n$ matriser med determinant 1 är en semisimpel grupp , och därför reduktiv. I detta fall W fortfarande isomorf till den symmetriska _gruppen Sn . Determinanten för en permutationsmatris är dock tecknet på permutationen, så för att representera en udda permutation i SL _n kan vi ta att ett av elementen som inte är noll är −1 istället för 1. Här är B undergruppen av övre triangulära matriser med determinant 1, så tolkningen av Bruhat-nedbrytning i detta fall liknar fallet med GL _n .

Geometri

Cellerna i Bruhat-nedbrytningen motsvarar Schubert-cellnedbrytningen av flaggsorter. Dimensionen på cellerna motsvarar längden på ordet w i Weyl-gruppen. Poincaré-dualitet begränsar topologin för cellnedbrytningen, och därmed algebra för Weyl-gruppen; till exempel är den översta dimensionella cellen unik (den representerar den grundläggande klassen ), och motsvarar det längsta elementet i en Coxeter-grupp .

Beräkningar

Antalet celler i en given dimension av Bruhat-nedbrytningen är koefficienterna för q -polynomet i det associerade Dynkin-diagrammet .

Dubbla Bruhat-celler

Med två motsatta Borels kan man skära Bruhat-cellerna för var och en av dem.

$G=\bigsqcup _{w_{1},w_{2}\in W}(Bw_{1} B\cap B_{-}w_{2}B_{-})$

Se även

• Lögngruppsnedbrytningar
• Birkhoff-faktorisering , ett specialfall av Bruhat-nedbrytningen för affina grupper.
• Kluster algebra

Anteckningar

•   Borel, Armand . Linjära algebraiska grupper (2:a upplagan). New York: Springer-Verlag, 1991. ISBN 0-387-97370-2 .
•   Bourbaki, Nicolas , Lie Groups and Lie Algebras: Chapters 4–6 (Elements of Mathematics) , Springer-Verlag, 2008. ISBN 3-540-42650-7