Riktig hyperelliptisk kurva

Det finns två typer av hyperelliptiska kurvor , en klass av algebraiska kurvor : verkliga hyperelliptiska kurvor och imaginära hyperelliptiska kurvor som skiljer sig åt med antalet punkter i oändligheten. Hyperelliptiska kurvor finns för varje släkte $g\geq 1$ . Den allmänna formeln för hyperelliptisk kurva över ett ändligt fält $K$ ges av

$$C:y^{2}+h(x)y=f(x)\in K[x,y ]$$

där $h(x),f(x)\in K$ uppfyller vissa villkor. På den här sidan beskriver vi mer om riktiga hyperelliptiska kurvor, dessa är kurvor som har två punkter i oändligheten medan imaginära hyperelliptiska kurvor har en punkt i oändligheten .

Definition

En verklig hyperelliptisk kurva för släktet g över K definieras av en ekvation av formen $C:y^{2}+h(x)y=f (x)$ där $h(x)\in K$ har en grad som inte är större än g +1 medan $f(x)\in K$ måste ha grad 2 g +1 eller 2 g +2. Denna kurva är en icke singular kurva där ingen punkt $(x,y)$ i den algebraiska stängningen av $K$ uppfyller kurvekvationen $y^{2}+h(x)y=f(x)$ och båda partiella derivatekvationerna : $2y+h(x)=0$ och $h'(x)y=f'(x)$ . Mängden (ändliga) $K$ –rationella punkter på C ges av

$$C(K)=\left\{(a,b)\in K^{2}\mid b^{2}+h(a)b=f(a)\right\}\cup S$$

där $S$ är mängden punkter vid oändlighet. För riktiga hyperelliptiska kurvor finns det två punkter vid oändligheten, $\infty _{1}$ och $\infty _{2}$ . För vilken punkt som helst ${\displaystyle P(a,b)\in C(K)} ,$ ges den motsatta punkten till ${\displaystyle P} av$${\overline {P}}=(a,-bh)$ ; det är den andra punkten med x -koordinat a som också ligger på kurvan.

Exempel

Låt $C:y^{2}=f(x)$ där

$$f(x)=x^{6}+3x^{5}-5x^{4}-15x^{3}+4x^{2}+12x=x(x-1)( x-2)(x+1)(x+2)(x+3)$$

över $R$ . Eftersom $\deg f(x)=2g+2$ och $f(x)$ har grad 6, alltså $C$ är en kurva av släktet g = 2.

Den homogena versionen av kurvekvationen ges av

$$Y^{2}Z^{4}=X^{6}+3X^{5}Z-5X^{4}Z^{2}-15X^{3}Z^{3}+4X ^{2}Z^{4}+12XZ^{5}.$$

Den har en enda punkt i oändligheten given av (0:1:0) men denna punkt är singular. Uppblåsningen av $C$ har 2 olika punkter vid oändligheten, som vi betecknar $\infty _{1}$ och $\infty _{2$ } . Därför är denna kurva ett exempel på en riktig hyperelliptisk kurva.

I allmänhet har varje kurva som ges av en ekvation där f har en jämn grad två punkter i oändligheten och är en riktig hyperelliptisk kurva medan de där f har en udda grad bara har en enda punkt i blowup över (0:1:0) och är alltså imaginära hyperelliptiska kurvor . I båda fallen förutsätter detta att den affina delen av kurvan är icke-singular (se villkoren för derivatorna ovan)

Aritmetik i en riktig hyperelliptisk kurva

I verklig hyperelliptisk kurva definieras addition inte längre på punkter som i elliptiska kurvor utan på divisorer och Jacobian . Låt $C$ vara en hyperelliptisk kurva av släktet g över ett ändligt fält K . En divisor $D$ på $C$ är en formell ändlig summa av punkterna $P$ på $C$ . Vi skriver

$$D=\summa _{P\in C}{n_{P}P}$$

där $n_{P}\in \mathbb {Z}$ och $n_{p}=0$ för nästan alla $P$ .

Graden av ${\textstil D=\summa _{P\in C}{n_{P}P}}$ definieras av

$$\deg(D)=\summa _{P\in C}{n_{P}}.$$

$D$ sägs vara definierad över $K$ om ${\textstyle D^{\sigma }=\summa _{P\in C }n_{P}P^{\sigma }=D}$ för alla automorfismer σ av ${\overline {K}}$ över $K$ . Mängden $Div(K)$ av divisorer av $C$ definierade över $K$ bildar en additiv abelsk grupp under additionsregeln

$$\sum a_{P}P+\summa b_{P}P=\summa {(a_{P}+b_{P})P}.$$

Mängden $Div^{0}(K)$ av alla graders nolldelare av $C$ definierade över $K$ är en undergrupp av $Div(K)$ .

Vi tar ett exempel:

Låt $D_{1}=6P_{1}+4P_{2}$ och $D_{2}=1P_{ 1}+5P_{2}$ . Om vi ​​lägger till dem så är $D_{1}+D_{2}=7P_{1}+9P_{2}$ . Graden av $D_{1}$ är $\deg(D_{1})=6+4=10$ och graden av $D_{2}$ är $\deg(D_{2})=1+5=6$ . Sedan, $\deg(D_{1}+D_{2})=\deg(D_{ 1})+\deg(D_{2})=16.$

För polynom ${\displaystyle G\in K[C]} ,$ definieras divisorn för ${\displaystyle G} av$

$$\mathrm {div} (G)=\summa _{P\in C}{\mathrm {ord} }_{P}(G)P.$$

Om funktionen $G$ har en pol i en punkt $P$ så är $-{\mathrm {ord} }_{P}(G)$ ordningen för att ${\displaystyle G} försvinner$ vid $P$ . Antag att $G,H$ är polynom i $K[C]$ ; divisorn för den rationella funktionen $F=G/H$ kallas en huvuddivisor och definieras av ${ \displaystyle \mathrm {div} (F)=\mathrm {div} (G)-\mathrm {div} (H)}$ . Vi betecknar gruppen av huvuddelare med $P(K)$ , dvs $P(K) =\{\mathrm {div} (F)\mid F\in K(C)\}$ . Jacobian för $C$ över $K$ definieras av $J=Div^{0}/P$ . Faktorgruppen $J$ kallas även divisorklassgruppen för $C$ . Elementen som definieras över $K$ bildar gruppen $J(K)$ . Vi betecknar med ${\overline {D}}\in J(K)$ klassen av $D$ i ${\ visningsstil Div^{0}(K)/P(K)}$ .

Det finns två kanoniska sätt att representera divisorklasser för verkliga hyperelliptiska kurvor $C$ som har två punkter oändligt $S=\{\infty _{1},\infty _ {2}\}$ . Den första är att representera en grad noll divisor med ${\bar {D}}$ så att ${\textstyle D=\summa _{i= 1}^{r}P_{i}-r\infty _{2}}$ , där $P_{i}\in C({\bar {\mathbb {F} }}_{q})$ , $P_{i}\not =\infty _{2}$ och $P_{i}\not ={ \bar {P_{j}}}$ om $i\neq j$ Den representativa $D$ för ${\bar {D}}$ kallas då semi-reducerad. Om $D$ uppfyller tilläggsvillkoret $r\leq g$ så kallas den representativa ${\displaystyle D} reducerad.$ Lägg märke till att $P_{i}=\infty _{1}$ är tillåtet för vissa i . Det följer att varje grad 0 divisorklass innehåller en unik representativ ${\bar {D}}$ med

$$D=D_{x}-\deg(D_{x})\infty _{2 }+v_{1}(D)(\infty _{1}-\infty _{2}),$$

där $D_{x}$ är divisor som är coprime med både $\infty _{1}$ och $\infty _{2}$ , och $0\leq \deg(D_{x})+v_{1}(D)\leq g$ .

Den andra representationen är balanserad i oändligheten. Låt ${\displaystyle D_{\infty }=\infty _{1}+\infty _{2}} ,$ notera att denna divisor är $K$ -rationell även om punkterna $\infty _{1}$ och $\infty _{2}$ är inte oberoende av varandra. Skriv representanten för klassen ${\bar {D}}$ som $D=D_{1}+D_{\infty }$ , där $D_{1}$ kallas den affina delen och innehåller inte $\infty _{1}$ och $\infty _{2}$ , och låt $d=\deg(D_{1})$ . Om $d$ är jämnt då

$$D_{\infty }={\frac {d}{2}}(\infty _{1}+\infty _{2}).$$

Om $d$ är udda då

$$D_{\infty }={\frac {d+1}{2}}\infty _{1}+{\frac {d-1}{2}}\infty _{2}.$$

Låt till exempel de affina delarna av två divisorer ges av

$D_{1}=6P_{1}+4P_{2}$ och $D_{2}=1P_{1}+5P_{2}$

då är de balanserade divisorerna

$D_{1}=6P_{1}+4P_{2}-5D_{\infty _{1}}-5D_{ \infty _{2}}$ och $D_{2}=1P_{1}+5P_{2}-3D_{\ infty _{1}}-3D_{\infty _{2}}$

Transformation från verklig hyperelliptisk kurva till imaginär hyperelliptisk kurva

Låt $C$ vara en verklig kvadratisk kurva över ett fält $K$ . Om det finns en förgrenad primtalsdelare av grad 1 i $K$ så kan vi utföra en birationell transformation till en imaginär kvadratisk kurva. En (ändlig eller oändlig) punkt sägs vara förgrenad om den är lika med sin egen motsats. Det betyder att $P=(a,b)={\overline {P}}=(a,-bh( a))$ , dvs att $h(a)+2b=0$ . Om $P$ är förgrenad är $D=P-\infty _{1}$ en förgrenad primtalsdelare.

Den verkliga hyperelliptiska kurvan $C:y^{2}+h(x)y=f(x)$ för släktet $g$ med en förgrenad $K$ -rationell ändlig punkt $P=(a,b)$ är birationellt ekvivalent med en imaginär modell ${\displaystyle C':y'^{2}+{\bar {h}}(x')y'={\bar {f}}(x')} av$ släktet $g$ , dvs $\deg({\bar {f}})=2g+1$ och funktionsfälten är lika med $K(C)=K(C')$ . Här:

$x'={\frac {1}{xa}}$ och $y'={\frac {y +b}{(xa)^{g+1}}}$

 

 

 

 

()

I vårt exempel $C:y^{2}=f(x)$ där $f(x)=x^{6}+3x^{5}-5x^{4}-15x^{3}+4x^{2}+12x$ , h ( x ) är lika med 0. För varje punkt $P=(a,b)$ , $h(a)$ är lika med 0 och därför är kravet på P till vara förgrenad blir $b=0$ . Genom att ersätta $h(a)$ och $b$ , får vi $f(a)=0$ , där $f(a)=a(a-1)(a-2)(a+1)(a+2) (a+3)$ , dvs $a\in \{0,1,2,-1,-2,-3\}$ .

Från ( i ) får vi ${\textstil x={\frac {ax'+1}{x'}}}$ och ${\textstil y ={\frac {y'}{x'^{g+1}}}}$ . För g = 2 har vi ${\textstil y={\frac {y'}{x'^{3}}}}$ .

Låt till exempel $a=1$ sedan ${\textstyle x={\frac {x'+1}{x'}}}$ och ${\textstyle y={\frac {y'}{x'^{3}}}} ,$ vi får

$$\left({\frac {y'}{x'^{3}}}\right)^{2}={\frac {x'+1}{x'}}\left({\frac {x'+1}{x'}}+1\höger)\left({\frac {x'+1}{x'}}+2\höger)\left({\frac {x'+1} {x'}}+3\right)\left({\frac {x'+1}{x'}}-1\right)\left({\frac {x'+1}{x'}}- 2\höger).$$

För att ta bort nämnare multipliceras detta uttryck med $x^{6}$ , sedan:

$$y'^{2}= (x'+1)(2x'+1)(3x'+1)(4x'+1)(1)(1-x')$$

ger kurvan

$$C':y'^{2}={\bar {f}}(x')$$

var

$${\bar {f}}(x')=(x'+1)(2x'+1)(3x '+1)(4x'+1)(1)(1-x')=-24x'^{5}-26x'^{4}+15x'^{3}+25x'^{2}+9x '+1.$$

$C'$ är en tänkt kvadratisk kurva eftersom ${\bar {f}}(x')$ har grad $2g+1$ .