Hadamard utrymme

I ett Hadamard-utrymme är en triangel hyperbolisk ; alltså den mittersta på bilden. Faktum är att alla kompletta metriska utrymmen där en triangel är hyperbolisk är ett Hadamard-utrymme.

Inom geometri är ett Hadamard-utrymme , uppkallat efter Jacques Hadamard , en icke-linjär generalisering av ett Hilbert-utrymme . I litteraturen definieras de också som kompletta CAT(0)-mellanslag .

Ett Hadamard-utrymme definieras som ett icke-tomt komplett metriskt utrymme så att det, givet alla punkter $x$ och ${\displaystyle y,},$ finns en punkt $m$ så att för varje punkt $z,$

$$d(z,m)^{2}+{d(x,y)^{2} \over 4}\leq {d(z,x)^{2}+d(z,y)^ {2} \over 2}.$$

Punkten $m$ är då mittpunkten av $x$ och $y:$$d(x,m)=d(y,m)=d(x,y)/2.$

I ett Hilbert-utrymme är ovanstående olikhet likhet (med $m=(x+y)/2$ ), och i allmänhet sägs ett Hadamard-utrymme vara platt om ovanstående ojämlikhet är jämlikhet. Ett platt Hadamard-rum är isomorft med en sluten konvex delmängd av ett Hilbert-rum. I synnerhet är ett normerat utrymme ett Hadamard-utrymme om och bara om det är ett Hilbert-utrymme.

Geometrin hos Hadamard-rymden liknar den hos Hilbert-utrymmen, vilket gör det till en naturlig miljö för studiet av styvhetsteorem . I ett Hadamard-utrymme kan två punkter förenas med en unik geodetik mellan dem; i synnerhet är den kontraktibel . Helt allmänt, om $B$ är en avgränsad delmängd av ett metriskt utrymme, så kallas mitten av den slutna kulan med den minsta radien som innehåller den circumcenter of $B.$ Varje avgränsad delmängd av ett Hadamard-utrymme finns i den minsta slutna bollen (vilket är samma som stängningen av dess konvexa skrov). Om $\Gamma$ är gruppen av isometrier för ett Hadamard-rymd som lämnar invariant $B,$ så fixar $\Gamma$ omkretsen av $B$ ( Bruhat–Tits fixerade punktsats ).

Det grundläggande resultatet för ett icke-positivt krökt grenrör är Cartan-Hadamard-satsen . Analogen gäller för ett Hadamard-utrymme: ett komplett, anslutet metriskt utrymme som är lokalt isometriskt med ett Hadamard-utrymme har ett Hadamard-utrymme som sitt universella skydd . Dess variant gäller för icke-positivt krökta orbifolds . (jfr Lurie.)

Exempel på Hadamard-utrymmen är Hilbert-utrymmen , Poincaré-skivan , kompletta metriska träd (till exempel komplett Bruhat–Tits-byggnad ), ( p , q ) {\displaystyle (p,q)} -mellanrum med ${\ displaystyle p,q\geq 3}$ och $2pq\geq p+q,$ och Hadamard-grenrör , det vill säga kompletta enkelt sammankopplade Riemannska grenrör med icke-positiv sektionskrökning . Viktiga exempel på Hadamard-grenrör är helt enkelt anslutna icke-positivt krökta symmetriska utrymmen .

Tillämpningar av Hadamard-utrymmen är inte begränsade till geometri. 1998 använde Dmitri Burago och Serge Ferleger CAT(0)-geometri för att lösa ett problem i dynamisk biljard : i en gas av hårda bollar, finns det en enhetlig gräns för antalet kollisioner? Lösningen börjar med att konstruera ett konfigurationsutrymme för det dynamiska systemet , erhållet genom att sammanfoga kopior av motsvarande biljardbord, som visar sig vara ett Hadamard-utrymme.

Se även

• CAT(k) space – Typ av metriskt utrymme i matematik
• Hadamard-grenrör – komplett, enkelt anslutet Riemann-grenrör med icke-positiv tvärsnittskurvatur överallt Sidor som visar wikidata-beskrivningar som reserv

• Bridson, Martin R.; Haefliger, André (1999), Metric spaces of non-positive curvature , Springer
•   Papadopoulos, Athanase (2014), Metric spaces, convexity and non-positive curvature , IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics, vol. 6 (andra upplagan), European Mathematical Society , ISBN 978-3-03719-132-3
• Burago, Dmitri; Yuri Burago och Sergei Ivanov. En kurs i metrisk geometri . American Mathematical Society. (1984)
• Jacob Lurie : Anteckningar om teorin om Hadamard-rymden
• Alexander S., Kapovich V., Petrunin A. Anteckningar om Alexandrovs geometri