Byggnad (matematik)

Inom matematiken är en byggnad (även Tits-byggnad , uppkallad efter Jacques Tits ) en kombinatorisk och geometrisk struktur som samtidigt generaliserar vissa aspekter av flaggmanifolds , finita projektiva plan och Riemannska symmetriska utrymmen . Byggnader introducerades ursprungligen av Jacques Tits som ett sätt att förstå strukturen hos exceptionella grupper av Lie typ . Den mer specialiserade teorin om Bruhat-Tits-byggnader (också uppkallad efter François Bruhat ) spelar en roll i studiet av p -adiska Lie-grupper analogt med teorin om symmetriska utrymmen i teorin om Lie-grupper .

Översikt

Bruhat–Tits-trädet för 2-adic Lie-gruppen SL(2, Q 2 ) .

Begreppet en byggnad uppfanns av Jacques Tits som ett sätt att beskriva enkla algebraiska grupper över ett godtyckligt fält . Bröstar visade hur man för varje sådan grupp G kan associera ett förenklat komplex Δ = Δ( G ) med en handling av G , som kallas den sfäriska byggnaden av G . Gruppen G ålägger mycket starka kombinatoriska regularitetsvillkor på komplexen Δ som kan uppstå på detta sätt. Genom att behandla dessa tillstånd som axiom för en klass av enkla komplex, kom Tits fram till sin första definition av en byggnad. En del av data som definierar en byggnad Δ är en Coxeter-grupp W , som bestämmer ett mycket symmetriskt förenklat komplex Σ = Σ( W , S ) , kallat Coxeter-komplexet . En byggnad Δ limmas ihop från flera kopior av Σ , som kallas dess lägenheter , på ett visst regelbundet sätt. När W är en finit Coxeter-grupp är Coxeter-komplexet en topologisk sfär, och motsvarande byggnader sägs vara av sfärisk typ . När W är en affin Weyl-grupp , är Coxeter-komplexet en underavdelning av det affina planet och man talar om affina , eller euklidiska , byggnader. En affin byggnad av typ à 1 är detsamma som ett oändligt träd utan terminala hörn.

Även om teorin om halvenkla algebraiska grupper gav den initiala motivationen för föreställningen om en byggnad, uppstår inte alla byggnader från en grupp. I synnerhet bildar projektiva plan och generaliserade fyrkanter två klasser av grafer studerade i infallsgeometri som uppfyller axiomen för en byggnad, men som kanske inte är kopplade till någon grupp. Detta fenomen visar sig vara relaterat till den låga rangordningen för motsvarande Coxeter-system (nämligen två). Tits visade sig vara ett anmärkningsvärt teorem: alla sfäriska byggnader av rang minst tre är kopplade till en grupp; Dessutom, om en byggnad av minst två är kopplad till en grupp, så bestäms gruppen i huvudsak av byggnaden.

Iwahori–Matsumoto, Borel–Tits och Bruhat–Tits visade att i analogi med Tits konstruktion av sfäriska byggnader kan affina byggnader också konstrueras från vissa grupper, nämligen reduktiva algebraiska grupper över ett lokalt icke-arkimediskt fält . Dessutom, om gruppens delade rang är minst tre, bestäms den i huvudsak av dess byggnad. Tits omarbetade senare de grundläggande aspekterna av teorin om byggnader med hjälp av föreställningen om ett kammarsystem , och kodade byggnaden enbart i termer av närliggande egenskaper hos simpliceringar med maximal dimension; detta leder till förenklingar i både sfäriska och affina fall. Han bevisade att, i analogi med det sfäriska fallet, varje byggnad av affin typ och rang åtminstone fyra härrör från en grupp.

Definition

En n -dimensionell byggnad X är ett abstrakt förenklat komplex som är en förening av delkomplex A som kallas lägenheter så att

  • varje k -simplex av X är inom minst tre n -simplex om k < n ;
  • vilken som helst ( n – 1) -simplex i en lägenhet A ligger i exakt två intilliggande n -simplex av A och grafen för intilliggande n -simplices är sammankopplad;
  • vilka två förenklingar som helst i X ligger i någon gemensam lägenhet A ;
  • om två förenklingar båda ligger i lägenheterna A och A ′ , så finns det en enkel isomorfism av A på A ′ som fixerar hörnen på de två förenklingarna.

En n -simplex i A kallas kammare (ursprungligen chambre , dvs rum på franska ).

Byggnadens rangordning definieras till n 1 + .

Elementära egenskaper

Varje lägenhet A i en byggnad är ett Coxeter-komplex . Faktum är att för varje två n -simplex som skär varandra i ett ( n – 1) -simplex eller panel finns det en unik period två enkel automorfism av A , kallad en reflektion , som bär den ena n -simplexen på den andra och fixerar deras gemensamma punkter . Dessa reflektioner genererar en Coxeter-grupp W , kallad Weyl - gruppen av A , och det förenklade komplexet A motsvarar den standardgeometriska realiseringen av W. Standardgeneratorer av Coxeter-gruppen ges av reflektionerna i väggarna i en fast kammare i A . Eftersom lägenheten A bestäms upp till isomorfism av byggnaden, gäller detsamma för alla två förenklingar i X som ligger i någon vanlig lägenhet A . När W är ändlig sägs byggnaden vara sfärisk . När det är en affin Weyl - grupp sägs byggnaden vara affin eller euklidisk .

Kammarsystemet är den närliggande grafen som bildas av kamrarna ; varje par av intilliggande kammare kan dessutom märkas av en av standardgeneratorerna i Coxeter-gruppen (se Tits 1981 ).

Varje byggnad har en kanonisk längdmått som ärvts från den geometriska realiseringen som erhålls genom att identifiera hörnen med en ortonormal grund av ett Hilbert-rum . För affina byggnader uppfyller detta mått CAT(0) -jämförelseolikheten för Alexandrov , känd i denna miljö som Bruhat-Tits icke-positiva krökningsvillkor för geodetiska trianglar: avståndet från en vertex till mittpunkten på den motsatta sidan är inte större än avståndet i den motsvarande euklidiska triangeln med samma sidolängder (se Bruhat & Tits 1972) .

Anslutning med ( B , N ) par

Om en grupp G agerar enkelt på en byggnad X , transitivt på par ( C , A ) av kammare C och lägenheter A som innehåller dem, så definierar stabilisatorerna för ett sådant par ett ( B , N ) par eller bröstsystem . I själva verket paret av undergrupper

B = G C och N = GA _

uppfyller axiomen för ett ( B , N ) -par och Weyl-gruppen kan identifieras N / N∩B . med

Omvänt kan byggnaden återvinnas från ( B , N ) -paret, så att varje ( B , N ) -par kanoniskt definierar en byggnad. Faktum är att man använder terminologin för ( B , N ) par och kallar vilket konjugat av B som helst för en Borel-undergrupp och vilken grupp som helst som innehåller en Borel-undergrupp för en parabolisk undergrupp ,

  • hörnen av byggnaden X motsvarar maximala paraboliska undergrupper;
  • k + 1 hörn bildar ett k -simplex närhelst skärningspunkten mellan de motsvarande maximala paraboliska undergrupperna också är parabolisk;
  • lägenheter är konjugat under G av det enkla subkomplexet med hörn givna av konjugat under N av maximala paraboler som innehåller B .

Samma byggnad kan ofta beskrivas med olika ( B , N ) par. Dessutom kommer inte varje byggnad från ett ( B , N ) par: detta motsvarar misslyckade klassificeringsresultat i låg rangordning och dimension (se nedan).

Sfäriska och affina byggnader för SL n

Den enkla strukturen hos de affina och sfäriska byggnaderna associerade med SL n ( Q p ) , såväl som deras sammankopplingar, är lätta att förklara direkt med hjälp av endast begrepp från elementär algebra och geometri (se Garrett 1997 ). I det här fallet finns det tre olika byggnader, två sfäriska och en affin. Var och en är en förening av lägenheter , själva simplicial komplex. För den affina byggnaden är en lägenhet ett förenklat komplex som bildar euklidiskt utrymme E n −1 med ( n − 1) -dimensionella förenklingar; medan det för en sfärisk byggnad är det ändliga förenklade komplexet som bildas av alla ( n − 1)! förenklingar med en given gemensam vertex i den analoga tessellationen i E n −2 .

Varje byggnad är ett enkelt komplex X som måste uppfylla följande axiom:

  • X är en lägenhetsförening.
  • Alla två förenklingar i X finns i en gemensam lägenhet.
  • Om en simplex finns i två lägenheter, finns det en enkel isomorfism av den ena på den andra som fixerar alla gemensamma punkter.

Sfärisk byggnad

Låt F vara ett fält och låt X vara det förenklade komplexet med hörn de icke-triviala vektordelrymden av V = F n . Två delrum U 1 och U 2 är sammankopplade om ett av dem är en delmängd av det andra. K - simplicerna av X bildas av uppsättningar av k + 1 inbördes anslutna delrum. Maximal anslutning erhålls genom att ta n − 1 korrekta icke-triviala delrum och motsvarande ( n − 1) -simplex motsvarar en fullständig flagga

(0) ⊂ U 1 ⊂ ··· ⊂ U n – 1 ⊂ V

Förenklingar med lägre dimensioner motsvarar partiella flaggor med färre mellanliggande delrum Ui .

vi definiera lägenheterna i X vi är det lämpligt att definiera en ram i V som bas ( ) bestämt upp till skalär multiplikation av var och en av dess vektorer ; med andra ord är en ram en uppsättning endimensionella delrum . Li = F · v i så att vilket k som helst av dem genererar ett k -dimensionellt delrum Nu definierar en ordnad ram L1 , ..., Ln en komplett flagga via

U i = L 1 ⊕ ··· ⊕ L i

Eftersom omordningar av de olika L i också ger en ram, är det enkelt att se att delrummen, erhållna som summor av Li, bildar . ett enkelt komplex av den typ som krävs för en lägenhet i en sfärisk byggnad Axiomen för en byggnad kan lätt verifieras med det klassiska Schreier-förfiningsargumentet som används för att bevisa det unika med Jordan–Hölder-nedbrytningen .

Affin byggnad

Låt K vara ett fält som ligger mellan Q och dess p -adiska komplettering Q p med avseende på den vanliga icke-arkimediska p -adiska normen || x || p på Q för något primtal p . Låt R vara subringen av K definierad av

R = { x : || x || p ≤ 1 }

När K = Q , är R lokaliseringen av Z vid p och R = Zp , när K = Qp , , Qp , de p -adiska heltal dvs stängningen av Z i .

Höjdpunkterna i byggnaden X är R -gittren i V = K n , dvs R - undermoduler av formen

L = R · v 1 ⊕ ··· ⊕ R · v n

där ( v i ) är en bas för V över K. Två gitter sägs vara ekvivalenta om det ena är en skalär multipel av det andra med ett element i den multiplikativa gruppen K * av K (i själva verket behöver bara heltalspotenser av p användas). Två gitter L 1 och L 2 sägs vara intill varandra om något gitter ekvivalent med L 2 ligger mellan L 1 och dess subgitter p · L 1 : detta förhållande är symmetriskt. K - simplicerna av X är ekvivalensklasser av k + 1 inbördes angränsande gitter, ( n − 1) -simplicesna motsvarar, efter ommärkning, kedjor

p · L n ⊂ L 1 ⊂ L 2 ⊂ ··· ⊂ L n – 1 ⊂ L n

där varje successiv kvot har ordning p . Lägenheter definieras genom att fixera en bas ( v i ) för V Zn och ta alla gitter med bas ( p a i v i ) där ( a i ) ligger i och bestäms unikt upp till addition av samma heltal till varje post.

Per definition har varje lägenhet den form som krävs och deras förening är hela X . Det andra axiomet följer av en variant av Schreiers förfiningsargument. Det sista axiomet följs av ett enkelt räkneargument baserat på ordningarna för ändliga abeliangrupper i formen

L + p k · L i / p k · L i

Ett standardkompakthetsargument visar att X faktiskt är oberoende av valet av K . I synnerhet med K = Q , följer det att X är räknebart. Å andra sidan, med K = Q p , visar definitionen att GL n ( Q p ) medger en naturlig enkel handling på byggnaden.

Byggnaden är utrustad med en märkning av dess hörn med värden i Z / n Z. Faktum är att fixering av ett referensgitter L , etiketten för M ges av

label( M ) = log p | M / p k L | modulo n

för k tillräckligt stor. Hörnen för valfri ( n – 1) -simplex i X har distinkta etiketter som löper genom hela Z / n Z . Varje enkel automorfism φ av X definierar en permutation π av Z / n Z så att etikett( φ ( M )) = π (etikett( M )) . Särskilt för g i GL n ( Q p ) ,

label( g · M ) = label( M ) + log p || det g || p modulo n .

Således bevarar g etiketter om g ligger i SL n ( Q p ) .

Automorfismer

Tits SLn ( Qp ) affina byggnaden härrör bevisade att all etikettbevarande automorfism av den från ett element av . Eftersom automorfismer i byggnaden permuterar etiketterna, finns det en naturlig homomorfism

Aut X → S n .

  Verkan av GL n ( Q p ) ger upphov till en n -cykel τ . Andra automorphisms av byggnaden uppstår från yttre automorphisms av SL n ( Q p ) förknippade med automorphisms av Dynkin diagrammet . Om man tar den standardsymmetriska bilinjära formen med ortonormal bas v i , ger kartan som skickar ett gitter till dess dubbla gitter en automorfism vars kvadrat är identiteten, vilket ger permutationen σ som skickar varje etikett till dess negativa modulo n . Bilden Dn av ovanstående homomorfism genereras av σ och τ och är isomorf till den dihedriska gruppen av ordningen 2n ; när n = 3 ger det hela S 3 .

Om E är en finit Galois-förlängning av Q p och byggnaden är konstruerad av SL n ( E ) istället för SL n ( Q p ) , kommer Galois-gruppen Gal ( E / Q p ) också att agera genom automorfismer på byggnaden.

Geometriska relationer

Sfäriska byggnader uppstår på två helt olika sätt i samband med den affina byggnaden X för SL n ( Q p ) :

  • Länken för varje vertex L i den affina byggnaden motsvarar undermoduler av L / ( · L p under det finita fältet F = R / p · R = Z / p ) . Detta är bara den sfäriska byggnaden för SL n ( F ) .
  • Byggnaden X kan kompakteras genom att lägga till den sfäriska byggnaden för SL n ( Q p ) som gräns "i oändligheten" (se Garrett 1997 eller Brown 1989 ).

Bruhat–Tits-träd med komplex multiplikation

När L är ett arkimediskt lokalt fält kan på byggnaden för gruppen SL 2 ( L ) en ytterligare struktur läggas på en byggnad med komplex multiplikation. Dessa introducerades först av Martin L. Brown ( Brown 2004) . Dessa byggnader uppstår när en kvadratisk förlängning av L verkar på vektorrummet L 2 . Dessa byggnader med komplex multiplikation kan utökas till alla globala fält. De beskriver Hecke-operatörernas verkan på Heegner-punkter på den klassiska modulära kurvan 0 X ( N ) såväl som på Drinfelds modulära kurva X Drin
0 ( I ) . Dessa byggnader med komplex multiplikation är helt klassificerade för fallet med SL 2 ( L ) i Brown 2004

Klassificering

Tits bevisade att alla irreducerbara sfäriska byggnader (dvs med ändlig Weyl-grupp ) av rang högre än 2 är associerade med enkla algebraiska eller klassiska grupper.

Ett liknande resultat gäller för irreducerbara affina byggnader med dimension större än 2 (deras byggnader "i oändligheten" är sfäriska av rang som är större än två). I lägre rang eller dimension finns ingen sådan klassificering. Faktum är att varje incidensstruktur ger en sfärisk byggnad av rang 2 (se Pott 1995) ; och Ballmann och Brin bevisade att varje 2-dimensionellt förenklat komplex där länkarna av hörn är isomorfa till flaggkomplexet för ett ändligt projektivt plan har strukturen av en byggnad, inte nödvändigtvis klassisk. Många 2-dimensionella affina byggnader har konstruerats med hjälp av hyperboliska reflektionsgrupper eller andra mer exotiska konstruktioner kopplade till orbifolds .

Tits bevisade också att varje gång en byggnad beskrivs av ett ( B , N ) par i en grupp, så motsvarar i nästan alla fall byggnadens automorfismer automorfismer hos gruppen (se Tits 1974 ).

Ansökningar

Teorin om byggnader har viktiga tillämpningar inom flera ganska skilda områden. Förutom de redan nämnda sambanden med strukturen av reduktiva algebraiska grupper över allmänna och lokala fält, används byggnader för att studera deras representationer . Resultaten av Tits på bestämning av en grupp genom dess byggnad har djupa kopplingar med styvhet teorem av George Mostow och Grigory Margulis , och med Margulis aritmeticitet.

Speciella typer av byggnader studeras i diskret matematik, och idén om ett geometriskt tillvägagångssätt för att karakterisera enkla grupper visade sig vara mycket givande vid klassificeringen av ändliga enkla grupper . Teorin om byggnader av mer generell typ än sfäriska eller affina är fortfarande relativt outvecklad, men dessa generaliserade byggnader har redan funnit tillämpningar för konstruktion av Kac-Moody-grupper i algebra, och till icke-positivt krökta grenrör och hyperboliska grupper i topologi och geometrisk gruppteori .

Se även

externa länkar

Hämtad från " https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Building_(mathematics)&oldid=1111162754 "