CAT( k ) mellanslag

I matematik är ett $\mathbf {\operatörsnamn {\textbf {CAT}} } (k)$ utrymme , där $k$ är ett reellt tal, en specifik typ av metriskt utrymme . Intuitivt är trianglar i ett $\operatorname {CAT} (k)$ utrymme "smalnare" än motsvarande "modelltrianglar" i ett standardutrymme med konstant krökning $k$ . I ett $\operatorname {CAT} (k)$ utrymme begränsas krökningen uppifrån av $k$ . Ett anmärkningsvärt specialfall är $k=0$ ; komplett $\operatorname {CAT} (0)$ mellanslag är kända som " Hadamard-mellanslag " efter den franske matematikern Jacques Hadamard .

Ursprungligen kallade Aleksandrov dessa utrymmen " ${\displaystyle {\mathfrak {R}}_{k}}-$ domän". Terminologin $\operatorname {CAT} (k)$ myntades av Mikhail Gromov 1987 och är en akronym för Élie Cartan , Aleksandr Danilovich Aleksandrov och Victor Andreevich Toponogov (även om Toponogov aldrig utforskats ovan i krökningsgränsen) publikationer).

Definitioner

Modellera trianglar i utrymmen med positiv (överst), negativ (mitten) och noll (botten) krökning.

För ett reellt tal $k$ , låt $M_{k}$ beteckna den unika kompletta enkelt anslutna ytan (verkligt 2-dimensionellt Riemann-grenrör ) med konstant krökning $k$ . Beteckna med $D_{k}$ diametern på $}}$ k , som är $\infty$ om $k\leq 0$ och är ${\frac {\pi }{\sqrt {k}}}$ om $k>0$ .

Låt $(X,d)$ vara ett geodesiskt metriskt utrymme , dvs ett metriskt utrymme för vilket varannan punkt $x,y\in X$ kan förenas med en geodesiskt segment, en båglängd parametriserad kontinuerlig kurva $\gamma \colon [a,b]\to X,\ \ gamma (a)=x,\ \gamma (b)=y$ , vars längd

$L(\gamma )=\sup \left\{\left.\sum _{i=1}^{r}d{ \big (}\gamma (t_{i-1}),\gamma (t_{i}){\big )}\right|a=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{r} =b,r\in \mathbb {N} \right\}$

är exakt $d(x,y)$ . Låt $\Delta$ vara en triangel i $X$ med geodetiska segment som sina sidor. $\Delta$ sägs uppfylla $\mathbf {\operatörsnamn {\textbf {CAT}} } (k)$ olikheten om det finns en jämförelsetriangel $\Delta '$ i modellutrymmet $M_{k}$ , med sidor av samma längd som sidorna på $\Delta$ , så att avstånden mellan punkter på $\Delta$ är mindre än eller lika med avstånden mellan motsvarande punkter på $\Delta '$ .

Det geodetiska metriska utrymmet $(X,d)$ sägs vara ett $\mathbf {\operatörsnamn {\textbf {CAT}} } (k)$ utrymme om varje geodetisk triangel $\Delta$ i $X$ med omkrets mindre än $2D_{k}$ uppfyller $\operatorname {CAT} (k)$ olikhet. Ett (inte-nödvändigtvis-geodesiskt) metriskt utrymme $(X,\,d)$ sägs vara ett utrymme med krökning $\leq k$ om varje punkt i ${\ displaystyle X}$ har en geodesiskt konvex $\operatorname {CAT} (k)$ kvarter . Ett mellanslag med krökning $\leq 0$ kan sägas ha icke-positiv krökning .

Exempel

• Alla $\operatorname {CAT} (k)$ mellanslag $(X,d)$ är också en $\operatorname {CAT} ( \ell )$ utrymme för alla $\ell >k$ . Faktum är att det omvända gäller: om $(X,d)$ är en $\operatorname {CAT} (\ell )$ utrymme för alla ${\ displaystyle \ell >k}$ , då är det ett $\operatorname {CAT} (k)$ mellanslag.
• Det $n$ -dimensionella euklidiska rymden $\mathbf {E} ^{n}$ med dess vanliga måttenhet är ett $\operatorname {CAT} (0)$ mellanslag. Mer generellt är varje verkligt inre produktutrymme (inte nödvändigtvis komplett) ett $\operatorname {CAT} (0)$ utrymme; omvänt, om ett reellt normerat vektorrum är ett $\operatorname {CAT} (k)$ utrymme för något verkligt $k$ , så är det ett inre produktutrymme.
• Det $n$ -dimensionella hyperboliska rymden $\mathbf {H} ^{n}$ med dess vanliga måttenhet är en ${\displaystyle \operatorname {CAT} (-1) } mellanslag, och därmed$ även ett ${\displaystyle \operatorname {CAT} (0)} mellanslag.$
• Den $n$ -dimensionella enhetssfären $\mathbf {S} ^{n}$ är ett $\operatorname {CAT} (1)$ mellanslag.
• Mer generellt är standardutrymmet $M_{k}$ ett $\operatorname {CAT} (k)$ mellanslag. Så, till exempel, oavsett dimension, är sfären med radie $r$ (och konstant krökning ${\textstyle {\frac {1}{r^{2}}}})$ en ${\textstil \operatörsnamn {CAT} \left({\frac {1}{r^{2}}}\right)}$ mellanslag. Observera att sfärens diameter är $\pi r$ (mätt på sfärens yta) inte $2r$ (mätt genom att gå genom sfärens mitt).
• Det punkterade planet $( ) {\displaystyle \operatorname { CAT} (0)}$$\displaystyle \Pi =\mathbf {E} ^{2}\backslash \{\mathbf {0} \}}$ inte en utrymme eftersom det inte är geodesiskt konvext (till exempel kan punkterna $(0,1)$ och $(0,-1)$ inte vara sammanfogad av en geodetik i $\Pi$ med båglängd 2), men varje punkt i $\Pi$ har en $\operatorname {CAT} (0)$ geodesiskt konvex grannskap, så $\Pi$ är ett krökningsrum $\leq 0$ .
• Det slutna underrummet $X}$${\displaystyle X=\mathbf {E} ^{3}\setminus \{(x,y,z)\mid x>0,y>0{\text{ och }}z>0\}} utrustad$ av $\mathbf {E} ^{3}$ givet av med inducerad längdmått är inte ett $\operatorname {CAT} (k)$ utrymme för någon $k$ .
• Alla produkter av $\operatorname {CAT} (0)$ mellanslag är $\operatorname {CAT} (0)$ . (Detta gäller inte för negativa argument.)

Hadamard utrymmen

Huvudartikel: Hadamard space

Som ett specialfall är ett komplett CAT(0)-utrymme även känt som ett Hadamard-utrymme ; detta är i analogi med situationen för Hadamard-grenrör . Ett Hadamard-utrymme är sammandragbart (det har homotopitypen av en enda punkt) och mellan två godtyckliga punkter i ett Hadamard-utrymme finns det ett unikt geodetiskt segment som förbinder dem (i själva verket gäller båda egenskaperna också för allmän, möjligen ofullständig, CAT (0) mellanslag). Viktigast är att avståndsfunktionerna i Hadamard-rymden är konvexa : om $\sigma _{1},\sigma _{2}$ är två geodesiker i X definierade på samma tidsintervall I , då funktion $I\to \mathbb {R}$ ges av

$t\mapsto d{\big (}\sigma _{1}(t),\sigma _{2}(t){\big )}$

är konvex i t .

Egenskaper för CAT( k ) mellanslag

Låt $(X,d)$ vara ett $\operatorname {CAT} (k)$ mellanslag. Då gäller följande egenskaper:

• Givet två valfria punkter $x,y\in X$ (med $d(x,y)<D_{k}$ om ${\ displaystyle k>0}$ ), finns det ett unikt geodesiskt segment som förenar $x$ med $y$ ; dessutom varierar detta segment kontinuerligt som en funktion av dess slutpunkter.
• Varje lokal geodetik i $X$ med längd som mest $D_{k}$ är en geodetisk.
• d $d$ - kulor i $X$ med radie mindre än $D_{k}/2$ (geodiskt) konvexa.
• d $d$ -kulorna i $X$ med radie mindre än $D_{k}$ sammandragbara.
• Ungefärliga mittpunkter är nära mittpunkter i följande mening: för varje $\lambda <D_{k}$ och varje $\epsilon >0$ finns det en $\delta =\delta (k,\lambda ,\epsilon )>0$ så att om $m$ är mittpunkten av ett geodesiskt segment från $x$ till $y$ med $d(x,y)\leq \lambda$ och
  $$\max {\bigl \{}d(x,m'),d (y,m'){\bigr \}}\leq {\frac {1}{2}}d(x,y)+\delta ,$$
  sedan $d(m,m')<\epsilon$ .
• Det följer av dessa egenskaper att för $k\leq 0$ är det universella täcket för varje $\operatorname {CAT} (k)$ utrymme sammandragbart; i synnerhet är de högre homotopigrupperna i ett sådant utrymme triviala . Som exemplet med $n$ -sfären $\mathbf {S} ^{n}$ visar, finns det i allmänhet inget hopp för en $\operatorname {CAT} (k)$ utrymme för att vara sammandragbart om $k>0$ .

Ytor med icke-positiv krökning

I ett område där ytans krökning uppfyller K ≤ 0 , uppfyller geodetiska trianglar CAT(0)-olikheterna för jämförelsegeometri , studerade av Cartan , Alexandrov och Toponogov , och senare betraktade från en annan synvinkel av Bruhat och Tits ; tack vare Gromovs vision har denna karakterisering av icke-positiv krökning i termer av det underliggande metriska utrymmet haft en djupgående inverkan på modern geometri och i synnerhet geometrisk gruppteori . Många resultat kända för släta ytor och deras geodetik, såsom Birkhoffs metod att konstruera geodesik genom sin kurvförkortningsprocess eller van Mangoldt och Hadamards teorem att en enkelt sammankopplad yta av icke-positiv krökning är homeomorf till planet, är lika giltiga i detta mer generell inställning.

Alexandrovs jämförelse ojämlikhet

Medianen i jämförelsetriangeln är alltid längre än den faktiska medianen .

Den enklaste formen av jämförelseojämlikheten, som först bevisades för ytor av Alexandrov omkring 1940, säger att

Avståndet mellan en vertex i en geodetisk triangel och mittpunkten på den motsatta sidan är alltid mindre än motsvarande avstånd i jämförelsetriangeln i planet med samma sidolängder.

Olikheten följer av det faktum att om c ( t ) beskriver en geodetisk parametriserad av båglängd och a är en fixpunkt, då

f ( t ) = d ( a , c ( t )) ² − t ²

är en konvex funktion , dvs

${\ddot {f}}(t)\geq 0.$

Om man tar geodetiska polära koordinater med ursprung vid a ‖c ( t )‖ = r ( t ) så att , är konvexiteten ekvivalent med

$r{\ddot {r}}+{\dot {r}}^{2}\geq 1.$

Ändras till normala koordinater u , v vid c ( t ) blir denna olikhet

u ² + H ⁻¹ H _r v ² ≥ 1 ,

där ( u , v ) motsvarar enhetsvektorn ċ ( t ) . Detta följer av olikheten H _r ≥ H , en konsekvens av icke-negativiteten hos derivatan av Wronskian av H och r från Sturm–Liouville-teorin .

Se även

• Cartan–Hadamards teorem

• Alexander, Stephanie; Kapovitch, Vitali; Petrunin, Anton. "Alexandrov geometri, kapitel 7" (PDF) . Hämtad 2011-04-07 .
• Alexander, Stephanie; Kapovitch, Vitali; Petrunin, Anton. "Inbjudan till Alexandrov geometri: CAT[0] utrymmen". arXiv : 1701.03483 [ math.DG ].
•    Ballmann, Werner (1995). Föreläsningar om rum med icke-positiv krökning . DMV-seminarium 25. Basel: Birkhäuser Verlag. s. viii+112. ISBN 3-7643-5242-6 . MR 1377265 .
•   Berger, Marcel (2004). En panoramautsikt över Riemannsk geometri . Berlin: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-65317-2 .
•    Bridson, Martin R. ; Haefliger, André (1999). Metriska utrymmen med icke-positiv krökning . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences] 319. Berlin: Springer-Verlag. s. xxii+643. ISBN 3-540-64324-9 . MR 1744486 .
•   Gromov, Mikhail (1987). "Hyperboliska grupper". Uppsatser i gruppteori . Matematik. Sci. Res. Inst. Publ. 8. New York: Springer. s. 75–263. MR 0919829 .
• Hindawi, Mohamad A. (2005). Asymptotiska invarianter av Hadamard-grenrör (PDF) . University of Pennsylvania: doktorsavhandling.