Clifford torus

En stereografisk projektion av en Clifford-torus som utför en enkel rotation

är en rektangel den fundamentala polygonen i en torus, med motsatta kanter ihopsydda.

I geometrisk topologi är Clifford torus den enklaste och mest symmetriska plana inbäddningen av den kartesiska produkten av två cirklar S
¹_a och S
¹_b (i samma betydelse som att ytan på en cylinder är "plan"). Den är uppkallad efter William Kingdon Clifford . Den finns i R ⁴ , i motsats till i R ³ . ^{För att}^se
_{produktutrymmet} varför R4 ^{, kommer}
_{är nödvändig}^existerar
_, notera att om S1a och S1b var och ^enⁱ sitt eget oberoende inbäddningsutrymme R2a ^och
_resulterande R2b det att vara R4 snarare än R3 . Den historiskt populära uppfattningen att den kartesiska produkten av två cirklar är en R ³ torus i motsats kräver den mycket asymmetriska appliceringen av en rotationsoperator på den andra cirkeln, eftersom den cirkeln endast kommer att ha en oberoende axel z tillgänglig för den efter att den första cirkeln förbrukar x och y .

Uttryckt på ett annat sätt är en torus inbäddad i R ³ en asymmetrisk projektion med reducerad dimension av den maximalt symmetriska Clifford-torus inbäddad ⁱ R4 . Förhållandet liknar det att projicera kanterna av en kub på ett pappersark. En sådan projektion skapar en bild med lägre dimensioner som exakt fångar anslutningen av kubkanterna, men som också kräver godtyckligt val och borttagande av en av de tre helt symmetriska och utbytbara axlarna i kuben.

Om S
¹_a och S
¹_b var och en har en radie på ${\displaystyle \textstyle {\sqrt {1/2}}} kommer deras Clifford torus$ inom enhetens 3-sfär S ³ , vilket är en 3-dimensionell undergren av R4 ^. När det är matematiskt lämpligt kan Clifford-torus ses som bosatt inuti det komplexa koordinatutrymmet C ² , eftersom C ² är topologiskt ekvivalent med R ⁴ .

Clifford-torusen är ett exempel på en kvadrera torus , eftersom den är isometrisk till en kvadrat med motsatta sidor identifierade. Den är vidare känd som en euklidisk 2-torus ("2" är dess topologiska dimension); figurer ritade på den följer euklidisk geometri ^{[ förtydligande behövs ]} som om den vore platt, medan ytan på en vanlig " munk "-formad torus är positivt krökt på den yttre kanten och negativt krökt på den inre. Även om den har en annan geometri än standardinbäddningen av en torus i tredimensionell euklidisk rymd, kan den fyrkantiga torusen också bäddas in i tredimensionell rymd, genom Nash inbäddningssatsen ; en möjlig inbäddning modifierar standardtorusen genom en fraktal uppsättning krusningar som löper i två vinkelräta riktningar längs ytan.

Formell definition

Enhetscirkeln S ¹ i R ² kan parametreras med en vinkelkoordinat :

S^{1}=\{(\cos \theta ,\sin \theta )\mid 0\leq \theta <2\pi \}.

I en annan kopia av R ² , ta en annan kopia av enhetscirkeln

S^{1}=\{(\cos \varphi ,\sin \varphi )\mid 0\leq \varphi <2\pi \}.

Då är Clifford torus

{\frac {1}{\sqrt {2}}}S^{1}\times {\frac {1}{\sqrt {2}}}S^{1}=\left\{{\ frac {1}{\sqrt {2}}}(\cos \theta ,\sin \theta ,\cos \varphi ,\sin \varphi )\mid 0\leq \theta <2\pi ,0\leq \varphi <2\pi \right\}.

Eftersom varje kopia av S ¹ är en inbäddad undergren av R ² , är Clifford-torus en inbäddad torus i R ² × R ² = R ⁴ .

Om R ⁴ ges av koordinater ( x ₁ , y ₁ , x ₂ , y ₂ ), så ges Clifford torus av

x_{1}^{2}+y_{1}^{2}={\frac {1}{2}}=x_{2}^{2}+y_{2}^{2}.

Detta visar att i R ⁴ är Clifford torus en undergren av enhetens 3-sfär S ³ .

Det är lätt att verifiera att Clifford torus är en minimal yta i S ³ .

Alternativ härledning med hjälp av komplexa tal

Det är också vanligt att betrakta Clifford torus som en inbäddad torus i C ² . I två kopior av C har vi följande enhetscirklar (fortfarande parametriserade av en vinkelkoordinat):

S^{1}=\left\{e^{i\theta }\mid 0\leq \theta <2\pi \right\}

och

S^{1}=\left\{e^{i\varphi}\mid 0\leq \varphi <2\pi \right\}.

Nu visas Clifford torus som

{\frac {1}{\sqrt {2}}}S^{1}\times {\frac {1}{\sqrt {2}}}S^{1}=\left\{{\ frac {1}{\sqrt {2}}}\left(e^{i\theta},e^{i\varphi }\right)\,|\,0\leq \theta <2\pi ,0\ leq \varphi <2\pi \right\}.

Liksom tidigare är detta ett inbäddat delrör, i enhetssfären S ³ i C ² .

Om C ² ges av koordinater ( z ₁ , z ₂ ), så ges Clifford torus av

\left|z_{1}\right|^{2}={\frac {1}{2}}=\left|z_{2}\right|^{2}.

är avståndet från vilken punkt som helst på Clifford torus till ursprunget för C ²

{\sqrt {{\frac {1}{2}}\left|e^{i\theta }\right|^{2}+{\frac {1}{2}}\ vänster|e^{i\varphi }\right|^{2}}}=1.

Uppsättningen av alla punkter på ett avstånd av 1 från ursprunget till C ² är enhetens 3-sfär, och så sitter Clifford-torus inuti denna 3-sfär. Faktum är att Clifford-torus delar upp denna 3-sfär i två kongruenta solida tori (se Heegaard-delning ) .

Eftersom O(4) verkar på R ⁴ genom ortogonala transformationer , kan vi flytta "standard" Clifford torus definierad ovan till andra ekvivalenta tori via stela rotationer. Dessa kallas alla "Clifford tori". Den sexdimensionella gruppen O(4) verkar transitivt på utrymmet för alla sådana Clifford tori som sitter inne i 3-sfären. Denna handling har dock en tvådimensionell stabilisator (se gruppåtgärd ) eftersom rotation i meridional- och longitudinella riktningar av en torus bevarar torus (i motsats till att flytta den till en annan torus). Därför finns det faktiskt ett fyrdimensionellt utrymme av Clifford tori. Faktum är att det finns en en-till-en-överensstämmelse mellan Clifford tori i enhetens 3-sfär och par av polära storcirklar (dvs storcirklar som är maximalt åtskilda). Med tanke på en Clifford-torus är de associerade polära storcirklarna kärncirklarna för var och en av de två komplementära regionerna. Omvänt, givet valfritt par av polära storcirklar, är den associerade Clifford-torus platsen för punkter i 3-sfären som är lika långt från de två cirklarna.

Mer allmän definition av Clifford tori

De platta torierna i enheten 3-sfär S ³ som är produkten av cirklar med radie r i ett 2-plan R ² och radie √ 1 − r ² i en annan 2-plan R ² kallas ibland också "Clifford tori".

Samma cirklar kan tänkas ha radier som är cos( θ ) och sin( θ ) för någon vinkel θ i intervallet 0 ≤ θ ≤ $π$ /2 (där vi inkluderar de degenererade fallen θ = 0 och θ = $π$ / 2 ).

Unionen för 0 ≤ θ ≤ $π$ /2 av alla dessa tori av form

T_{\theta }=S(\cos \theta )\times S(\sin \theta )

(där S ( r ) anger cirkeln i planet R ² definierad av att ha centrum (0, 0) och radie r ) är 3-sfären S ³ . (Observera att vi måste inkludera de två degenererade fallen θ = 0 och θ = $π$ /2 , som var och en motsvarar en storcirkel av S ³ , och som tillsammans utgör ett par polära storcirklar.)

Denna torus T _θ kan lätt ses ha area

\operatorname {area} (T_{\theta })=4\pi ^{2}\cos \theta \sin \theta =2\pi ^{2}\sin 2\theta ,

så endast torus T _{$π$ /4} har den maximala möjliga arean på 2 $π$ ² . Denna torus T _{$π$ /4} är den torus T _θ som oftast kallas "Clifford torus" – och den är också den enda av T _θ som är en minimal yta i S ³ .

Ännu mer allmän definition av Clifford tori i högre dimensioner

Varje enhetssfär S ^{2 n −1} i ett jämnt dimensionellt euklidiskt utrymme R ^{2 n} = C ⁿ kan uttryckas i termer av de komplexa koordinaterna enligt följande:

S^{2n-1}=\left\{(z_{1},\ldots,z_{n})\in \mathbf {C} ^{n}:|z_{1}|^{2 }+\cdots +|z_{n}|^{2}=1\right\}.

Sedan, för alla icke-negativa tal r ₁ , ..., r _n så att r ₁² + ... + r _n² = 1, kan vi definiera en generaliserad Clifford-torus enligt följande:

T_{r_{1},\ldots ,r_{n}}=\left\{(z_{1},\ldots ,z_{n})\in \mathbf {C} ^{n}:| z_{k}|=r_{k},~1\leqslant k\leqslant n\right\}.

Dessa generaliserade Clifford tori är alla osammanhängande från varandra. Vi kan återigen dra slutsatsen att föreningen av var och en av dessa tori T _{r ₁ , ..., r _n} är enheten (2 n − 1)-sfären S ^{2 n −1} (där vi återigen måste inkludera de degenererade fallen där åtminstone en av radierna r _k = 0).

Egenskaper

Clifford torus är "platt"; den kan planas ut till ett plan utan att sträcka sig, till skillnad från standardrotationstorus.
Clifford torus delar 3-sfären i två kongruenta solida tori. (I en stereografisk projektion framstår Clifford-torus som en standardrotationstorus. Det faktum att den delar 3-sfären lika betyder att det inre av den projicerade torusen är ekvivalent med exteriören, vilket inte är lätt att visualisera).

Används i matematik

I symplectic geometri , Clifford torus ger ett exempel på en inbäddad Lagrangian submanifold av C ² med standard symplectic struktur. (Naturligtvis ger vilken produkt som helst av inbäddade cirklar i C en lagrangisk torus av C ² , så dessa behöver inte vara Clifford tori.)

Lawsons gissning säger att varje minimalt inbäddad torus i 3-sfären med den runda metriken måste vara en Clifford-torus. Denna gissning bevisades av Simon Brendle 2012.

Clifford tori och deras bilder under konforma transformationer är de globala minimeringarna av Willmore-funktionen .

Se även

^ Borrelli, V.; Jabrane, S.; Lazarus, F.; Thibert, B. (april 2012), "Flat tori i tredimensionellt rum och konvex integration", Proceedings of the National Academy of Sciences , 109 ( 19): 7218–7223, doi : 10.1073/pnas.1118478109 , PMC 3 , 8913 , 8 PMC 3 , 8913 PMID 22523238 .
^ ^a ^b Norbs, P (september 2005). "Det 12:e problemet" (PDF) . The Australian Mathematical Society Gazette . 32 (4): 244–246.

[1] Borrelli, V.; Jabrane, S.; Lazarus, F.; Thibert, B. (april 2012), "Flat tori i tredimensionellt rum och konvex integration", Proceedings of the National Academy of Sciences , 109 ( 19): 7218–7223, doi : 10.1073/pnas.1118478109 , PMC 3 , 8913 , 8 PMC 3 , 8913 PMID 22523238 .

[Norbs-2] Norbs, P (september 2005). "Det 12:e problemet" (PDF) . The Australian Mathematical Society Gazette . 32 (4): 244–246.