Första Hurwitz-tripletten

I den matematiska teorin om Riemann-ytor är den första Hurwitz-tripletten en trippel av distinkta Hurwitz-ytor med den identiska automorfismgruppen av lägsta möjliga släkte, nämligen 14 (släkten 3 och 7 var och en medger en unik Hurwitz-yta, respektive Klein-kvartalet och den Macbeath yta ). Förklaringen till detta fenomen är aritmetisk. Nämligen, i ringen av heltal i det lämpliga talfältet delas det rationella primtal 13 som en produkt av tre distinkta primideal. De huvudsakliga kongruensundergrupperna som definieras av tripletten av primtal producerar fuchsiska grupper som motsvarar tripletten av Riemann-ytor.

Aritmetisk konstruktion

Låt $K$ vara det verkliga underfältet till $\mathbb {Q} [\rho ]$ där $\rho$ är en 7:e primitiv rot av enhet . Heltalsringen för K är ${Z} [\eta ]}$ $\eta =2\cos({\tfrac { 2\pi }{7}})$ , där ) . Låt $D$ vara quaternionalgebra , eller symbolalgebra $(\eta ,\eta )_{K}$ . Låt också $\tau =1+\eta +\eta ^{2}$ och $j'={ \tfrac {1}{2}}(1+\eta i+\tau j)$ . Låt ${\mathcal {Q}}_{\mathrm {Hur} }=\mathbb {Z} [\eta ][i,j ,j']$ . Då ${\mathcal {Q}}_{\mathrm {Hur} }$ en maximal ordning på $D$ (se Hurwitz quaternion order ) , som uttryckligen beskrivs av Noam Elkies [1] .

För att konstruera den första Hurwitz-tripletten, överväg den primära nedbrytningen av 13 i ${\displaystyle \mathbb {Z} [\eta ]} ,$ nämligen

13=\eta (\eta +2)(2\eta -1)(3-2) \eta )(\eta +3),

där $\eta (\eta +2)$ är inverterbar. Tänk också på de främsta idealen som genereras av de icke-inverterbara faktorerna. Den huvudsakliga kongruensundergruppen som definieras av ett sådant primideal I är per definition gruppen

{\mathcal {Q}}_{\mathrm {Hur} }^ {1}(I)=\{x\in {\mathcal {Q}}_{\mathrm {Hur} }^{1}:x\equiv 1{\pmod {I{\mathcal {Q}}_{ \mathrm {Hur} }}}\},

nämligen gruppen av element av reducerad norm 1 i ${\mathcal {Q}}_{\mathrm {Hur} }$ ekvivalent med 1 modulo den ideala $I{ \mathcal {Q}}_{\mathrm {H} ur}$ . Den motsvarande fuchsiska gruppen erhålls som bilden av den huvudsakliga kongruensundergruppen under en representation till PSL( 2,R) .

Var och en av de tre Riemann-ytorna i den första Hurwitz-tripletten kan formas som en fuchsisk modell , kvoten av det hyperboliska planet av en av dessa tre fuchsiska grupper.

Bundet för systolisk längd och det systoliska förhållandet

Gauss -Bonnet-satsen säger det

\chi (\Sigma )={\frac {1}{2\pi }}\int _{\Sigma }K(u) \,dA,

där $\chi (\Sigma )$ är Euler-karakteristiken för ytan och $K(u)$ är den Gaussiska krökningen . I fallet $g=14$ har vi

\chi (\Sigma )=-26

och

K(u)=-1,

sålunda får vi att arean av dessa ytor är

52\pi

.

Den nedre gränsen på systolen som specificeras i [2], nämligen

{\frac {4}{3}}\log(g(\Sigma )),

är 3,5187.

Vissa specifika detaljer om var och en av ytorna presenteras i följande tabeller (antalet systoliska slingor är hämtat från [3]). Termen Systolic Trace syftar på det minst reducerade spåret av ett element i motsvarande undergrupp ${\mathcal {Q}}_{Hur}^{1}(I)$ . Det systoliska förhållandet är förhållandet mellan systolens kvadrat och arean.

Idealisk	$3-2\eta \vartriangleleft O_{K}$
Systole	5,9039
Systoliskt spår	$-4\eta ^{2}-8\eta -3$
Systoliskt förhållande	0,2133
Antal systoliska loopar	91

Idealisk	$\eta +3\vartriangleleft O_{K}$
Systole	6,3933
Systoliskt spår	$5\eta ^{2}+11\eta +3$
Systoliskt förhållande	0,2502
Antal systoliska loopar	78

Idealisk	$2\eta -1\vartriangleleft O_{K}$
Systole	6,8879
Systoliskt spår	$-7\eta ^{2}-14\eta -3$
Systoliskt förhållande	0,2904
Antal systoliska loopar	364

Se även

(2,3,7) triangelgrupp

Elkies, N. (1999). Klein-kvartalet i talteorin. Den åttafaldiga vägen . Matematik. Sci. Res. Inst. Publ. Vol. 35. Cambridge: Cambridge Univ. Tryck. s. 51–101.
Katz, M.; Schaps, M.; Vishne, U. (2007). "Logaritmisk tillväxt av systole av aritmetiska Riemann-ytor längs kongruensundergrupper". J. Differential Geom . 76 (3): 399–422. arXiv : math.DG/0505007 . doi : 10.4310/jdg/1180135693 . S2CID 18152345 .
Vogeler, R. (2003). "Om geometrin hos Hurwitz-ytor". Avhandling. Florida State University. {{ citera journal }} : Citera journal kräver |journal= ( hjälp )