Ortonormalitet

I linjär algebra är två vektorer i ett inre produktutrymme ortonormala om de är ortogonala (eller vinkelräta längs en linje) enhetsvektorer . En uppsättning vektorer bildar en ortonormal uppsättning om alla vektorer i uppsättningen är inbördes ortogonala och alla har enhetslängd. En ortonormal uppsättning som utgör en bas kallas en ortonormal bas .

Intuitiv översikt

Konstruktionen av ortogonalitet hos vektorer motiveras av en önskan att utvidga den intuitiva föreställningen av vinkelräta vektorer till högre dimensionella utrymmen. I det kartesiska planet sägs två vektorer vara vinkelräta om vinkeln mellan dem är 90° (dvs om de bildar en rät vinkel ). Denna definition kan formaliseras i det kartesiska rummet genom att definiera punktprodukten och specificera att två vektorer i planet är ortogonala om deras punktprodukt är noll.

motiveras konstruktionen av normen för en vektor av en önskan att utvidga den intuitiva uppfattningen om längden på en vektor till högre dimensionella utrymmen. I det kartesiska rummet normen för en vektor kvadratroten av vektorn prickad med sig själv. Det är,

$\|\mathbf {x} \|={\sqrt {\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} }}$

Många viktiga resultat i linjär algebra handlar om samlingar av två eller flera ortogonala vektorer. Men ofta är det lättare att hantera vektorer med enhetslängd . Det vill säga, det förenklar ofta saker att bara beakta vektorer vars norm är lika med 1. Uppfattningen att begränsa ortogonala vektorpar till endast de med enhetslängd är tillräckligt viktig för att få ett speciellt namn. Två vektorer som är ortogonala och av längden 1 sägs vara ortonormala .

Enkelt exempel

Hur ser ett par ortonormala vektorer ut i det 2-D euklidiska rymden?

Låt u = (x ₁ , y ₁ ) och v = (x ₂ , y ₂ ). Betrakta begränsningarna för x ₁ , x ₂ , y ₁ , y ₂ som krävs för att få u och v att bilda ett ortonormalt par.

• Från ortogonalitetsbegränsningen är u • v = 0.
• Från enhetslängdbegränsningen på u , || u || = 1.
• Från enhetslängdbegränsningen på v , || v || = 1.

Att expandera dessa termer ger 3 ekvationer:

1. $x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}=0\quad$
2. ${\sqrt {{x_{1}}^{2}+{y_{1}}^{2}}}=1$
3. ${\sqrt {{x_{2}}^{2}+{y_{2}}^{2}}}=1$

Att konvertera från kartesiska till polära koordinater och beakta ekvation $(2)$ och ekvation $(3)$ ger omedelbart resultatet r ₁ = r ₂ = 1. Med andra ord, kräver vektorer vara av enhetslängd begränsar vektorerna att ligga på enhetscirkeln .

blir ekvation $(1)$$\cos \theta _{1}\cos \theta _{ 2}+\sin \theta _{1}\sin \theta _{2}=0$ . Omarrangering ger $\tan \theta _{1}=-\cot \theta _{2}$ . Att använda en trigonometrisk identitet för att konvertera den cotangenta termen ger

$\tan(\theta _{1})=\tan \left(\theta _{2}+{\tfrac {\pi }{ 2}}\right)$

$\Rightarrow \theta _{1}=\theta _{2}+{\tfrac {\pi }{2}}$

Det är tydligt att i planet är ortonormala vektorer helt enkelt radier av enhetscirkeln vars skillnad i vinklar är lika med 90°.

Definition

Låt ${\mathcal {V}}$ vara ett inre produktutrymme . En uppsättning vektorer

$\left\{u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n},\ldots \right\}\in { \mathcal {V}}$

kallas ortonormalt om och endast om

$\forall i,j:\langle u_{i},u_{j}\rangle =\delta _{ij}$

där $\delta _{ij}\,$ är Kronecker-deltat och $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ är den inre produkten definierad över ${ \mathcal {V}}$ .

Betydelse

Ortonormala uppsättningar är inte särskilt viktiga i sig själva. De uppvisar dock vissa egenskaper som gör dem grundläggande för att utforska begreppet diagonaliserbarhet hos vissa operatorer på vektorrum.

Egenskaper

Ortonormala set har vissa mycket tilltalande egenskaper, vilket gör dem extra lätta att arbeta med.

• Sats . Om { e ₁ , e ₂ , ..., e _n } är en ortonormal lista med vektorer, då
  $$\forall {\textbf {a}}:=[a_{1},\cdots ,a_{n}];\ \|a_{1}{\textbf {e}}_{1}+a_ {2}{\textbf {e}}_{2}+\cdots +a_{n}{\textbf {e}}_{n}\|^{2}=|a_{1}|^{2} +|a_{2}|^{2}+\cdots +|a_{n}|^{2}$$
• Sats . Varje ortonormal lista med vektorer är linjärt oberoende .

Existens

• Gram-Schmidts teorem . Om { v ₁ , v ₂ ,..., v _n } är en linjärt oberoende lista av vektorer i ett inre produktutrymme ${\mathcal {V}}$ , så finns det en ortonormallista { e ₁ , e ₂ ,..., e _n } av vektorer i ${\mathcal {V}}$ så att span ( e ₁ , e ₂ ,..., e _n ) = span ( v ₁ , v ₂ ,..., _vn ) .

Bevis för Gram-Schmidts sats är konstruktivt och diskuteras utförligt på annat håll. Gram-Schmidts sats, tillsammans med valets axiom , garanterar att varje vektorrum medger en ortonormal grund. Detta är möjligen den mest betydande användningen av ortonormalitet, eftersom detta faktum tillåter operatörer på inre produktutrymmen att diskuteras i termer av deras verkan på utrymmets ortonormala basvektorer. Resultatet är ett djupt samband mellan diagonaliserbarheten hos en operator och hur den verkar på de ortonormala basvektorerna. Detta förhållande kännetecknas av Spectral Theorem .

Exempel

Standardbas

Standardgrunden för koordinatutrymmet F ⁿ är _

{ e 1 , e 2 ,..., e n } var	e 1 = (1, 0, ..., 0)
	e 2 = (0, 1, ..., 0)
	$\vdots$
	e n = (0, 0, ..., 1)

Varje två vektorer ei , ej där i≠ _{j är ortogonala, och alla vektorer är} tydligt av enhetslängd. Så { e ₁ , e ₂ ,..., e _n } bildar en ortonormal grund.

Verkligt värderade funktioner

När man hänvisar till verkligt värderade funktioner antas vanligtvis den inre produkten L² om inte annat anges. Två funktioner $\phi (x)$$[a,b]$ ψ $\displaystyle \psi (x)}$ är ortonormala över intervallet om

$(1)\quad \langle \phi (x),\ psi (x)\rangle =\int _{a}^{b}\phi (x)\psi (x)dx=0,\quad {\rm {och}}$

$(2)\quad ||\phi (x)||_{2}=||\psi (x)||_{2}=\left[\int _{a}^{b}|\phi (x)|^{2}dx\right]^{\frac {1}{2}}=\left[\int _{a}^{b}|\ psi (x)|^{2}dx\right]^{\frac {1}{2}}=1.$

Fourier-serier

Fourierserien är en metod för att uttrycka en periodisk funktion i termer av sinusformade basfunktioner . Att ta C [−π,π] för att vara utrymmet för alla verkliga funktioner som är kontinuerliga på intervallet [−π,π] och att den inre produkten är

$\langle f,g\rangle =\int _{-\pi }^{\pi }f(x)g( x)dx$

det kan man visa

$\left\{{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}},{\frac {\sin(x)}{\sqrt {\pi } }},{\frac {\sin(2x)}{\sqrt {\pi }}},\ldots,{\frac {\sin(nx)}{\sqrt {\pi }}},{\frac { \cos(x)}{\sqrt {\pi }}},{\frac {\cos(2x)}{\sqrt {\pi }}},\ldots ,{\frac {\cos(nx)}{ \sqrt {\pi }}}\right\},\quad n\in \mathbb {N}$

bildar en ortonormal uppsättning.

Detta har dock liten betydelse, eftersom C [−π,π] är oändligt dimensionell, och en ändlig uppsättning vektorer kan inte spänna över den. Men att ta bort begränsningen att n är finit gör mängden tät i C [−π,π] och därför en ortonormal bas för C [−π,π].

Se även

• Ortogonalisering
• Ortonormalt funktionssystem

Källor

•   Axler, Sheldon (1997), Linear Algebra Done Right (2:a upplagan), Berlin, New York: Springer-Verlag , sid. 106–110 , ISBN 978-0-387-98258-8
•   Chen, Wai-Kai (2009), Fundamentals of Circuits and Filters (3:e upplagan), Boca Raton : CRC Press , sid. 62 , ISBN 978-1-4200-5887-1