Operatör med ändlig rang

Inom funktionell analys , en gren av matematiken, är en ändlig rangoperator en avgränsad linjär operator mellan Banach-rum vars räckvidd är ändlig-dimensionell.

Operatörer med ändlig rang på ett Hilbert-utrymme

En kanonisk form

Operatorer med ändlig rang är matriser (av ändlig storlek) transplanterade till den oändliga dimensionella inställningen. Som sådana kan dessa operatorer beskrivas via linjär algebrateknik.

Från linjär algebra vet vi att en rektangulär matris, med komplexa poster, M ∈ C ^{n × m} har rang 1 om och endast om M är av formen

$M=\alpha \cdot uv^{*},\quad {\mbox{where}}\quad \ |u\|=\|v\|=1\quad {\mbox{and}}\quad \alpha \geq 0.$

Exakt samma argument visar att en operator T på ett Hilbert-utrymme H är av rang 1 om och endast om

$Th=\alpha \langle h,v\rangle u\quad {\mbox{for all}}\quad h\in H,$

där villkoren på α , u , och v är desamma som i det finita dimensionella fallet.

Därför, genom induktion, antar en operator T med ändlig rang n formen

$Th=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\langle h ,v_{i}\rangle u_{i}\quad {\mbox{för alla}}\quad h\in H,$

där { u _i } och { v _i } är ortonormala baser. Observera att detta i huvudsak är en omformulering av singularvärdesupplösning . Detta kan sägas vara en kanonisk form av ändliga operatorer.

Generalisera något, om n nu är countably oändlig och sekvensen av positiva tal { α _i } ackumuleras endast vid 0, är ​​T då en kompakt operator , och man har den kanoniska formen för kompakta operatorer.

Om serien Σ _i α _i är konvergent är T en spårklassoperator .

Algebraisk egenskap

Familjen av finita rangordnade operatorer F ( H ) på ett Hilbertrum H bildar ett dubbelsidigt *-ideal i L ( H ), algebra för gränsade operatorer på H . I själva verket är det det minimala elementet bland sådana ideal, det vill säga att varje dubbelsidigt *-ideal I i L ( H ) måste innehålla ändliga operatorer. Detta är inte svårt att bevisa. Ta en icke-nolloperator T ∈ I , då Tf = g för något f, g ≠ 0. Det räcker med att ha det för alla h, k ∈ H , rang-1-operatorn S _{h, k} som mappar h till k ligger i I. _ Definiera S _{h, f} för att vara rang-1-operatorn som mappar h till f , och S _{g, k} analogt. Sedan

$S_{h,k}=S_{g,k}TS_{h,f},\,$

vilket betyder att S _{h, k} är i I och detta verifierar påståendet.

Några exempel på tvåsidiga *-ideal i L ( H ) är trace-class , Hilbert–Schmidt-operatorer och kompakta operatorer . F ( H ) är tät i alla dessa tre ideal, i sina respektive normer.

Eftersom alla tvåsidiga ideal i L ( H ) måste innehålla F ( H ), är algebran L ( H ) enkel om och bara om den är ändlig dimensionell.

Operatorer med ändlig rang på ett Banach-utrymme

En operator med ändlig rang $T:U\to V$ mellan Banach-utrymmen är en begränsad operator så att dess område är ändligt dimensionellt. Precis som i Hilbert space case kan det skrivas i formen

$Th=\sum _{i=1}^{n}\langle u_{i},h\rangle v_ {i}\quad {\mbox{för alla}}\quad h\in U,$

där nu $v_{i}\in V$ , och $u_{i}\in U'$ är avgränsade linjära funktionaler på rymden $U$ .

En avgränsad linjär funktion är ett särskilt fall av en ändlig rangoperator, nämligen av rang ett.