Energiskt utrymme

Inom matematiken , närmare bestämt i funktionsanalys , är ett energiskt rum , intuitivt, ett delrum av ett givet verkligt Hilbert-rum utrustat med en ny "energisk" inre produkt . Motivationen för namnet kommer från fysiken , eftersom energin i ett system i många fysiska problem kan uttryckas i termer av den energiska inre produkten. Ett exempel på detta kommer att ges senare i artikeln.

Energiskt utrymme

Betrakta formellt ett riktigt Hilbert-utrymme $X$ med den inre produkten $(\cdot |\cdot )$ och normen $\|\cdot \|$ . Låt $Y$ vara ett linjärt delrum av $X$ och $B:Y\to X$ vara en starkt monoton symmetrisk linjär operator , det vill säga en linjär operator som uppfyller

• $(Bu|v)=(u|Bv)\,$ för alla $u,v$ i $Y$
• $(Bu|u)\geq c\|u\|^{2}$ för någon konstant $c>0$ och alla ${\ displaystyle u}$ i $Y.$

Den energiska inre produkten definieras som

$(u|v)_{E}=(Bu|v)\,$ för alla $u,v$ i ${\ displaystil Y}$

och den energiska normen är

$\|u\|_{E}=(u|u)_{E}^{\frac {1}{2}}\,$ för alla $u$ i $Y.$

Uppsättningen $Y$ tillsammans med den energiska inre produkten är ett pre-Hilbert-rum . Det energetiska utrymmet $X_{E}$ definieras som kompletteringen av $Y$ i den energetiska normen. $X_{E}$ kan betraktas som en delmängd av det ursprungliga Hilbert-utrymmet $X,$ eftersom varje Cauchy-sekvens i den energiska normen också är Cauchy i normen för $X$ ( detta följer av den starka monotoniska egenskapen hos $B$ ).

Den energiska inre produkten utökas från $Y$ till $X_{E}$ med

$(u|v)_{E}=\lim _{n\to \infty }(u_{n}|v_{ n})_{E}$

där $(u_{n})$ och $(v_{n})$ är sekvenser i Y som konvergerar till punkter i $X_{E}$ i den energiska normen.

Energisk förlängning

Operatören $B$ tillåter en energisk förlängning $B_{E}$

$B_{E}:X_{E}\to X_{E}^{*}$

definieras på $X_{E}$ med värden i det dubbla utrymmet $X_{E}^{*}$ som ges av formeln

$\langle B_{E}u|v\rangle _{E}=(u|v)_{E}$ för alla $u,v$ i $X_{E}.$

Här, $\langle \cdot |\cdot \rangle _{E}$ betecknar dualitetsparentesen mellan $X_{E}^{*}$ och $X_{E },$ så $\langle B_{E}u|v\rangle _{E}$ betecknar faktiskt $(B_{E}u)(v).$

Om $u$ och $v$ är element i det ursprungliga delutrymmet $Y,$ så

$\langle B_{E}u|v\rangle _{E}=(u|v)_{E}=(Bu|v)=\langle u|B|v\rangle$

enligt definitionen av den energiska inre produkten. Om man ser $Bu,$ som är ett element i $X,$ som ett element i det dubbla $X^{*}$ via Riesz-representationssatsen , då $Bu$ kommer också att finnas i den dubbla $X_{E}^{*}$ (genom den starka monotoniska egenskapen för $B$ ). Via dessa identifieringar följer det av ovanstående formel att $B_{E}u=Bu.$ Med andra ord kan den ursprungliga operatorn $B:Y\to X$ ses som en operator ${\ displaystyle B:Y\to X_{E}^{*},}$ och sedan $B_{E}:X_{E}\to X_{E}^{*}$ är helt enkelt funktionsförlängningen av $B$ från $Y$ till $X_{E}.$

Ett exempel från fysiken

En sträng med fasta ändpunkter under påverkan av en kraft som pekar nedåt.

Betrakta en sträng vars ändpunkter är fixerade vid två punkter $a<b$ på den verkliga linjen (här sett som en horisontell linje). Låt den vertikala yttre kraftdensiteten i varje punkt $x$$(a\leq x\leq b)$ på strängen vara $f(x )\mathbf {e}$ , där $\mathbf {e}$ är en enhetsvektor som pekar vertikalt och $f:[a,b]\to \mathbb {R} .$ Låt $u(x)$ vara avböjningen av strängen vid punkten $x$ under påverkan av kraften. Om vi ​​antar att avböjningen är liten är strängens elastiska energi

${\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}\!u'(x)^{2}\,dx$

och den totala potentiella energin för strängen är

$F(u)={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}\!u'(x)^{2}\,dx-\int _{a}^ {b}\!u(x)f(x)\,dx.$

Avböjningen $u(x)$ som minimerar den potentiella energin kommer att uppfylla differentialekvationen

$-u''=f\,$

med randvillkor

$u(a)=u(b)=0.\,$

För att studera denna ekvation, betrakta rymden $X=L^{2}(a,b),$ det vill säga Lp-rummet för alla kvadratintegrerbara funktioner $u:[a,b]\to \mathbb {R}$ i förhållande till Lebesgue-måttet . Detta utrymme är Hilbert med avseende på den inre produkten

$(u|v)=\int _{a}^{b}\!u(x)v(x)\ ,dx,$

med normen som ges av

$\|u\|={\sqrt {(u|u)}}.$

Låt $Y$ vara mängden av alla två gånger kontinuerligt differentierbara funktioner $u:[a,b]\to \mathbb {R}$ med randvillkoren $u(a)=u(b)=0.$ Då är $Y$ ett linjärt delrum av $X.$

Betrakta operatorn $B:Y\to X$ som ges av formeln

$Bu=-u'',\,$

så avböjningen uppfyller $Bu=f.$ Genom att använda integrering av delar och gränsvillkoren kan man se det

$(Bu|v )=-\int _{a}^{b}\!u''(x)v(x)\,dx=\int _{a}^{b}u'(x)v'(x)= (u|Bv)$

för alla $u$ och $v$ i $Y.$ Därför är $B$ en symmetrisk linjär operator.

$B$ är också starkt monoton, eftersom Friedrichs ojämlikhet

$\|u\|^{2}=\ int _{a}^{b}u^{2}(x)\,dx\leq C\int _{a}^{b}u'(x)^{2}\,dx=C\,( Bu|u)$

för vissa $C>0.$

Det energetiska rummet i förhållande till operatorn $B$ är då Sobolev-rummet $H_{0}^{1}(a,b).$ Vi ser att den elastiska energin hos strängen som motiverade denna studie är

${\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}\!u' (x)^{2}\,dx={\frac {1}{2}}(u|u)_{E},$

så det är hälften av den energiska inre produkten av $u$ med sig själv.

För att beräkna avböjningen $u$ för att minimera den totala potentiella energin $F(u)$ för strängen, skriver man detta problem i formen

$(u|v)_{E}=(f|v)\,$ för alla $v$ i $X_{E }$ .

Därefter approximerar man vanligtvis $u$ med några $u_{h}$ , en funktion i ett ändligt dimensionellt delrum av det sanna lösningsrummet. Till exempel kan man låta $u_{h}$ vara en kontinuerlig bitvis linjär funktion i det energetiska rummet, vilket ger den finita elementmetoden . Approximationen $u_{h}$ kan beräknas genom att lösa ett system av linjära ekvationer .

Den energetiska normen visar sig vara den naturliga normen för att mäta felet mellan $u$ och ${\displaystyle u_{h}} ,$ se Céas lemma .

Se även

• Inre produktutrymme
• Positivt-definierad kärna

•   Zeidler, Eberhard (1995). Tillämpad funktionsanalys: tillämpningar för matematisk fysik . New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94442-7 .

•   Johnson, Claes (1987). Numerisk lösning av partiella differentialekvationer med finita elementmetoden . Cambridge University Press. ISBN 0-521-34514-6 .