Vertex operator algebra

Inom matematik är en vertexoperator algebra ( VOA ) en algebraisk struktur som spelar en viktig roll i tvådimensionell konform fältteori och strängteori . Förutom fysiska tillämpningar har vertexoperatoralgebror visat sig användbara i rent matematiska sammanhang som monstruösa månsken och den geometriska Langlands-korrespondensen .

Det relaterade begreppet vertexalgebra introducerades av Richard Borcherds 1986, motiverat av en konstruktion av en oändlig dimensionell Lie-algebra på grund av Igor Frenkel . Under denna konstruktion använder man ett Fock-utrymme som tillåter en handling av vertexoperatorer fästa vid element i ett gitter . Borcherds formulerade begreppet vertexalgebra genom att axiomatisera relationerna mellan gittervertexoperatorerna, vilket producerade en algebraisk struktur som gör att man kan konstruera nya Lie-algebra genom att följa Frenkels metod.

Begreppet vertexoperatoralgebra introducerades som en modifiering av begreppet vertexalgebra av Frenkel, James Lepowsky och Arne Meurman 1988, som en del av deras projekt att konstruera månskensmodulen . De observerade att många vertexalgebror som uppträder "i naturen" bär en verkan av Virasoro-algebra och uppfyller en avgränsad egenskap nedanför med avseende på en energioperatör . Motiverade av denna observation lade de till Virasoro-handlingen och egenskapen avgränsad nedan som axiom.

Vi har nu post-hoc motivation för dessa föreställningar från fysiken, tillsammans med flera tolkningar av axiomen som från början inte var kända. Fysiskt tillåter vertexoperatorerna som härrör från holomorfa fältinsättningar vid punkter i tvådimensionell konform fältteori operatörsproduktexpansion när insättningar kolliderar, och dessa uppfyller exakt de relationer som specificeras i definitionen av vertexoperatoralgebra. Faktum är att axiomen för en vertexoperatoralgebra är en formell algebraisk tolkning av vad fysiker kallar kirala algebror (inte att förväxla med det mer exakta begreppet med samma namn i matematik) eller "algebra för kirala symmetrier", där dessa symmetrier beskriver Församlingsidentiteter tillfredsställda av en given konform fältteori , inklusive konform invarians. Andra formuleringar av vertexalgebras axiom inkluderar Borcherds senare arbete med singulära kommutativa ringar , algebror över vissa operader på kurvor som introducerats av Huang, Kriz och andra, D-modulteoretiska objekt som kallas kirala algebror introducerade av Alexander Beilinson och Vladimir Drinfeld och faktoriseringsalgebror . , även introducerad av Beilinson och Drinfeld.

Viktiga grundläggande exempel på vertexoperatoralgebror inkluderar gitter-VOAs (modellering av gitterkonforma fältteorier), VOA:er som ges av representationer av affina Kac–Moody-algebror (från WZW-modellen ), Virasoro-VOAs, som är VOA:er som motsvarar representationer av Virasoro-algebran , och månskensmodulen V ^♮ , som utmärks av sin monstersymmetri . Mer sofistikerade exempel som affina W-algebror och chiral de Rham-komplexet på en komplex mångfald uppstår i geometrisk representationsteori och matematisk fysik .

Formell definition

Vertex algebra

En vertexalgebra är en samling data som uppfyller vissa axiom.

Data

• ett vektorrum $V$ , kallat tillståndsutrymmet. Det underliggande fältet tas vanligtvis för att vara de komplexa talen , även om Borcherds ursprungliga formulering tillät en godtycklig kommutativ ring .
• ett identitetselement $1\in V$ , ibland skrivet $|0\rangle$ eller $\Omega$ för att indikera ett vakuumtillstånd.
• en endomorfism $T:V\rightarrow V$ , kallad "översättning". (Borcherds ursprungliga formulering inkluderade ett system med uppdelade potenser av $T$ , eftersom han inte antog att jordringen var delbar.)
• en linjär multiplikationskarta $Y:V\otimes V\rightarrow V((z))$ , där $V((z) )$ är utrymmet för alla formella Laurent-serier med koefficienter i $V$ . Denna struktur har några alternativa presentationer:
  • som en oändlig samling av bilinjära produkter $\cdot _{n}:u\otimes v\mapsto u_{n}v$ där $n\in \ mathbb {Z}$ och ${\displaystyle u_{n}\in \mathrm {End} (V)} ,$ så att det för varje $v$ finns en ${ \displaystyle N}$ så att $u_{n}v=0$ för $n<N$ .
  • som en vänstermultiplikationskarta $V\rightarrow \mathrm {End} (V)[[z^{\pm 1}]]$ . Detta är 'stat-till-fält'-kartan för den så kallade tillstånd-fält-korrespondensen. För varje ${\displaystyle u\in V} kallas$ den endomorfismvärderade formella fördelningen $Y(u,z)$ en vertexoperator eller ett fält, och koefficienten för $z^{-n-1}$ är operatorn $u_{n}$ . I kontexten av vertexalgebras är ett fält mer exakt ett element av $\mathrm {End} (V)[[z^{\pm 1}]]$ , som kan skrivas $A(z)=\sum _{n\in \mathbb {Z} } A_{n}z^{n},A_{n}\in \mathrm {End} (V)$ så att för alla $v\in V,A_{n}v =0$ för tillräckligt litet $n$ (vilket kan bero på ${\displaystyle v} )$ . Standardnotationen för multiplikationen är

$$u\otimes v\mapsto Y(u,z)v=\sum _{n\in \mathbf {Z} }u_{n}vz^{-n-1}.$$

Axiom

Dessa data krävs för att uppfylla följande axiom:

• Identitet. För alla $u\in V\,,\,Y(1,z)u=u$ och $\,Y(u,z)1\in u+zV[[z]]$ .
• Översättning. $T(1)=0$ , och för alla $u,v\in V$ ,

${\displaystyle [T,Y(u, z)]v=TY(u,z)vY(u,z)Tv={\frac {d}{dz}}Y(u,z)v} Lokalitet (Jacobi identitet, eller Borcherds identitet)$

• . För alla $u,v\in V$ , finns det ett positivt heltal N så att:

$(zx)^{N}Y(u,z)Y(v,x)=(zx)^{N}Y(v,x)Y(u,z).$

Motsvarande formuleringar av lokalitetsaxiom

Lokalitetsaxiomet har flera likvärdiga formuleringar i litteraturen, t.ex. introducerade Frenkel–Lepowsky–Meurman Jacobi-identiteten:

$\forall u,v,w\in V:\qquad z^ {-1}\delta \left({\frac {yx}{z}}\right)Y(u,x)Y(v,y)wz^{-1}\delta \left({\frac {- y+x}{z}}\höger)Y(v,y)Y(u,x)w=y^{-1}\delta \left({\frac {x+z}{y}}\höger )Y(Y(u,z)v,y)w,$

där vi definierar den formella deltaserien genom:

$\delta \left({\frac {yx}{z}}\right):=\summa _{s\geq 0,r\in \mathbf {Z} }{\binom {r}{s} }(-1)^{s}y^{rs}x^{s}z^{-r}.$

Borcherds använde initialt följande två identiteter: för alla vektorer u , v , och w , och heltal m och n har vi

$(u_{m}(v))_{n}(w)=\summa _{i\geq 0}(-1)^{i}{\binom {m }{i}}\left(u_{mi}(v_{n+i}(w))-(-1)^{m}v_{m+ni}(u_{i}(w))\right)$

och

$u_{m}v=\sum _{i\geq 0}(-1)^{m+i+1}{\frac {T^{i}}{i!}} v_{m+i}u$ .

Han gav senare en mer expansiv version som är likvärdig men lättare att använda: för alla vektorer u , v , och w , och heltal m , n och q har vi

$\sum _{i\in \mathbf {Z} }{\binom {m}{ i}}\left(u_{q+i}(v)\right)_{m+ni}(w)=\summa _{i\in \mathbf {Z} }(-1)^{i}{ \binom {q}{i}}\left(u_{m+qi}\left(v_{n+i}(w)\right)-(-1)^{q}v_{n+qi}\left (u_{m+i}(w)\höger)\höger)$

Slutligen finns det en formell funktionsversion av lokalitet: För alla $u,v,w\in V$ , finns det ett element

$X(u,v,w;z ,x)\i V[[z,x]]\vänster[z^{-1},x^{-1},(zx)^{-1}\höger]$

så att $Y(u,z)Y(v,x)w$ och $Y (v,x)Y(u,z)w$ är motsvarande expansioner av $X(u,v,w;z,x)$ i $V((z))((x))$ och $V((x))((z))$ .

Vertex operator algebra

En vertexoperatoralgebra är en vertexalgebra utrustad med ett konformt element ${\displaystyle \omega \in V} ,$ så att vertexoperatorn $Y(\omega ,z)$ är vikt två Virasoro-fält $L(z)$ :

$Y(\omega ,z)=\summa _{ n\in \mathbf {Z} }\omega _{n}{z^{-n-1}}=L(z)=\summa _{n\in \mathbf {Z} }L_{n}z^ {-n-2}$

och uppfyller följande egenskaper:

• $[L_{m},L_{n}]= (mn)L_{m+n}+{\frac {1}{12}}\delta _{m+n,0}(m^{3}-m)c\,\mathrm {Id} _{V }$ , där $c$ är en konstant som kallas centralladdningen , eller rangen av $V$ . I synnerhet ger koefficienterna för denna vertexoperator $V$ en verkan av Virasoro-algebra med central laddning $c$ .
• $L_{0}$ verkar halvenkelt på $V$ med heltalsegenvärden som är avgränsade nedan.
• Under graderingen som tillhandahålls av egenvärdena för ${\displaystyle L_{0}} är$ multiplikationen på $V$ homogen i den meningen att om $u$ och $v$ är homogena, då är $u_{n}v$ homogen med graden $\mathrm {deg} (u)+\mathrm {deg } (v)-n-1$ .
• Identiteten $1$ har grad 0, och det konforma elementet $\omega$ har grad 2.
• $L_{-1}=T$ .

En homomorfism av vertexalgebror är en karta över de underliggande vektorrymden som respekterar den ytterligare identiteten, translationen och multiplikationsstrukturen. Homomorfismer av vertexoperatoralgebror har "svaga" och "starka" former, beroende på om de respekterar konforma vektorer.

Kommutativa vertexalgebror

En vertexalgebra $V$ är kommutativ om alla vertexoperatorer $Y(u,z)$ pendlar med varandra. Detta motsvarar egenskapen att alla produkter $Y(u,z)v$ ligger i $V[[z]]$ , eller att $Y(u,z)\i \operatörsnamn {End} [[z]]$ . Således är en alternativ definition för en kommutativ vertexalgebra en där alla vertexoperatorer $Y(u,z)$ är regelbundna vid $z=0$ .

Givet en kommutativ vertexalgebra, ger de konstanta termerna för multiplikation vektorrummet en kommutativ och associativ ringstruktur, vakuumvektorn $1$ är en enhet och $T$ är en härledning. Därför utrustar den kommutativa vertexalgebra $V$ med strukturen av en kommutativ enhetsalgebra med härledning. Omvänt har varje kommutativ ring $V$ med härledning $T$ en kanonisk vertexalgebrastruktur, där vi sätter $Y( u,z)v=u_{-1}vz^{0}=uv$ , så att $Y$ begränsar till en karta $Y:V\rightarrow \ operatornamn {End} (V)$ som är multiplikationskartan $u\mapsto u\cdot$ med $\cdot$ algebraprodukten. Om härledningen $T$ försvinner kan vi sätta $\omega =0$ för att erhålla en vertexoperatoralgebra koncentrerad till nollgrad.

Varje änddimensionell vertexalgebra är kommutativ.

Bevis

Detta följer av översättningsaxiomet. Från $[T,Y(u,z)]=\partial _{z}Y(u,z)$ och expandera vertexoperator som en effektserie man erhåller $$\operatorname {ad} Tu_{n}=[T,u_{n}]=-nu_{n-1}.$$ Sedan $$\operatorname {ad} T^{m}u_{n}=(-1)^{m}n(n-1)\cdots (n-m+1)u_{nm}.$$ Härifrån fixar vi $n$ till att alltid vara icke-negativ. För $m>n$ har vi $\operatorname {ad} T^{m}u_{n}=0$ . Eftersom $V$ är ändlig dimensionell, så är $\operatorname {End} (V)$ , och alla u $\displaystyle u_{n}}$ är element i $\operatörsnamn {Slut} (V)$ . Så ett ändligt antal av $u_{n}$ sträcker sig över vektordelrummet i $\operatorname {End} (V)$ som sträcks av alla $u_{n }$ . Därför finns det en $M$ så att $\operatorname {ad} T^{M}u_{n}=0$ för alla $u_{n}$ . Men också, $$\operatorname {ad} T^{M}u_{M+n}=( -1)^{m}(M+n+1)\cdots (n+1)u_{n}$$ och vänster sida är noll, medan koefficienten framför $u_{n}$ är icke-noll. Så $u_{n}=0$ . Så $Y(u,z)$ är regelbunden. $\square$

Så även de minsta exemplen på icke-kommutativa vertexalgebror kräver betydande introduktion.

Grundläggande egenskaper

Översättningsoperatorn $T$ i en vertexalgebra inducerar oändliga symmetrier på produktstrukturen och uppfyller följande egenskaper:

• $\,Y(u,z)1=e^{zT}u$
• $\,Tu=u_{-2}1$ , så $T$ bestäms av $Y$ .
• ${\displaystyle \,Y(Tu,z)={\frac {\mathrm {d} Y(u,z)}{\mathrm {$
• $,e^{xT}Y(u,z)e^ {-xT}=Y(e^{xT}u,z)=Y(u,z+x)}$
• (skev-symmetri) $Y(u,z)v=e^{zT}Y(v,-z)u$

För en vertexoperatoralgebra uppfyller de andra Virasoro-operatorerna liknande egenskaper:

• $\,x^{L_{0}}Y(u,z)x^{-L_{0}$
• $_ \displaystyle \,e^{xL_{1}}Y(u,z)e^{-xL_{1}}=Y(e^{x(1-xz)L_{1}}(1-xz)^ {-2L_{0}}u,z(1-xz)^{-1})}$
• (kvasikonformalitet) $[L_{m}, Y(u,z)]=\summa _{k=0}^{m+1}{\binom {m+1}{k}}z^{k}Y(L_{mk}u,z)$ för alla $m\geq -1$ .
• (Associativitet eller Cousin-egenskap): För alla $u,v,w\in V$ , elementet

$X(u,v,w;z ,x)\i V[[z,x]][z^{-1},x^{-1},(zx)^{-1}]$

som ges i definitionen expanderar också till $Y(Y(u,zx)v,x)w$ i $V((x))((zx))$ .

Associativitetsegenskapen för en vertexalgebra följer av det faktum att kommutatorn för $Y(u,z)$ och $Y(v,z)$ förintas med en finit potens av $zx$ , dvs man kan expandera den som en finit linjär kombination av derivator av den formella deltafunktionen i ( $\displaystyle (zx)}$ , med koefficienter i $\mathrm {Slut} (V)$ .

Rekonstruktion: Låt $V$ vara en vertexalgebra, och låt $J_{a}$ vara en uppsättning vektorer, med motsvarande fält $J^{a}(z)\in \mathrm {End} (V)[[z^{\pm 1}]]$ . Om $V$ spänns över av monomer i de positiva viktkoefficienterna för fälten (dvs. ändliga produkter av operatorer $J_{n}^{a}$ tillämpad på $1$ , där $n$ är negativ), då kan vi skriva operatorprodukten för en sådan monomial som en normalt ordnad produkt av dividerade potensderivator av fält (här betyder normal ordning att polära termer till vänster flyttas till höger) . Specifikt,

$Y(J_{n_{1}+1}^{a_{1}}J_{n_{2}+1}^{a_{2}}...J_{n_{k}+1} ^{a_{k}}1,z)=:{\frac {\partial ^{n_{1}}}{\partial z^{n_{1}}}}{\frac {J^{a_{1 }}(z)}{n_{1}!}}{\frac {\partial ^{n_{2}}}{\partial z^{n_{2}}}}{\frac {J^{a_{ 2}}(z)}{n_{2}!}}\cdots {\frac {\partial ^{n_{k}}}{\partial z^{n_{k}}}}{\frac {J^ {a_{k}}(z)}{n_{k}!}}:$

Mer generellt, om man ges ett vektorutrymme $V$ med en endomorfism $T$ och vektor $1$ , och man tilldelar en uppsättning vektorer $J^{ a}$ en uppsättning fält $J^{a}(z)\in \mathrm {End} (V)[[z ^{\pm 1}]]$ som är ömsesidigt lokala, vars positiva viktkoefficienter genererar $V$ , och som uppfyller identitets- och translationsvillkoren, då beskriver den föregående formeln en vertexalgebrastruktur.

Expansion av operatörens produkt

I vertexalgebra-teorin, på grund av associativitet, kan vi missbruka notation för att skriva, för $A,B,C\in V,$

$$Y(A,z)Y(B,w)C=\summa _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {Y(A_{(n)}\cdot B,w)}{ (zw)^{n+1}}}C.$$

Detta är operatörens produktexpansion . På motsvarande sätt,

$$Y(A,z)Y(B,w)=\sum _{n\geq 0}{\frac {Y(A_{(n)}\cdot B,w)}{(zw)^{ n+1}}}+:Y(A,z)Y(B,w):.$$

Eftersom den normalordnade delen är regelbunden i $z$ och $w$ , kan detta skrivas mer i linje med fysikens konventioner som

$$Y(A,z)Y(B,w )\sim \sum _{n\geq 0}{\frac {Y(A_{(n)}\cdot B,w)}{(zw)^{n+1}}},$$

där ekvivalensrelationen $\sim$ betecknar ekvivalens upp till reguljära termer.

Vanligt använda OPE

Här registreras några OPEs som ofta finns i konform fältteori.

OPEs

1:a distributionen	2:a distributionen	Kommuteringsrelationer	OPEN	namn	Anteckningar
$a(z)=\summa a_{m}z^{-m-1}$	$b(w)=\summa b_{n}z^{-n-1}$	$[a_{m},b_{n}]=c_{m+n}$	$a(z)b(w)\sim {\frac {\sum c_{n}w^{-n-1 }}{zw}}$	Generisk OPE
$a(z)=\summa a_{m}z^{-m-1}$	$b(w)=\summa b_{n}z^{-n-1}$	$[a_{m},b_{n}]=m\delta _{m+n,0}$	$a(z)b(w)\sim {\frac {1}{(zw)^{2}}}$	Gratis boson OPE	Invarians under $z\leftrightarrow w$ visar "bosonisk" karaktär för denna OPE.
$L(z)=\summa L_{m}z^{-m-2}$	$a(w)=\sum a_{n}w^{-n-\Delta }$	$[L_{m},a_{n}]=((\Delta -1)mn)a_{m+ n}$	$L(z)a(w)\sim {\frac {\Delta a( w)}{(zw)^{2}}}+{\frac {\partial a(w)}{zw}}$	Primärt fält OPE	Primära fält definieras som fält a(z) som uppfyller denna OPE när de multipliceras med Virasoro-fältet. Dessa är viktiga eftersom de är de fält som transformerar "lika tensorer" under koordinattransformationer av världsarket i strängteori .
$L(z)=\summa L_{m}z^{-m-2}$	$L(w)=\summa L_{n}z^{-n-2}$	$[L_{m},L_{n}]=(mn)L_{m +n}+{\frac {m^{3}-m}{12}}\delta _{m+n,0}c$	$L(z)L(w) \sim {\frac {c/2}{(zw)^{4}}}+{\frac {2L(w)}{(zw)^{2}}}+{\frac {\partial L(w )}{zw}}$	TT OPE	Inom fysiken identifieras Virasorofältet ofta med spänningsenergitensorn och märks med T(z) snarare än L(z).

Exempel från Lie algebror

De grundläggande exemplen kommer från oändligt dimensionella Lie-algebror.

Heisenberg vertexoperator algebra

₀₀ Ett grundläggande exempel på en icke-kommutativ vertexalgebra är den fria bosonen i rang 1, även kallad Heisenberg vertexoperatoralgebra. Den "genereras" av en enda vektor b , i den meningen att genom att applicera koefficienterna för fältet b ( z ) := Y ( b , z ) på vektorn 1 , erhåller vi en spännmängd. Det underliggande vektorutrymmet är polynomringen med oändlig variabel ${\displaystyle \mathbb {C} [b_{-1},b_{-2},\cdots ]} ,$ där för positiv $n$ , $b_{-n}$ fungerar uppenbarligen genom multiplikation, och $b_{n}$ fungerar som $n\partial _{b_{-n}}$ . Handlingen av b är multiplikation med noll, vilket ger "momentum noll" Fock-representationen V för Heisenberg Lie-algebra (genererad av b _n för heltal n , med kommuteringsrelationer [ b _n , b _m ]= n δ _n,–m ) , inducerad av den triviala representationen av subalgebra som sträcks av b _n , n ≥ 0.

₀ Fockutrymmet V kan göras till en vertexalgebra genom följande definition av tillståndsoperatörskartan på basis av $b_{j_{1}}b_{j_{2}}...b_{j_{k}}$ med varje $j_{i}<0$ ,

$Y(b_{j_{1}}b_{j_{2}}...b_{j_{k}},z):={\frac {1 }{(-j_{1}-1)!(-j_{2}-1)!\cdots (-j_{k}-1)!}}:\partial ^{-j_{1}-1}b (z)\partial ^{-j_{2}-1}b(z)...\partial ^{-j_{k}-1}b(z):$

där $:{\mathcal {O}}:$ anger normal ordning för en operator ${\mathcal {O}}$ . Spetsoperatorerna kan också skrivas som en funktion av en multivariabel funktion såsom:

$Y[f,z]\equiv :f \left({\frac {b(z)}{0!}},{\frac {b'(z)}{1!}},{\frac {b''(z)}{2!}} ,...\höger):$

om vi förstår att varje term i expansionen av f är normalordnad.

Rang n fri boson ges genom att ta en n -faldig tensorprodukt av rang 1 fri boson. För vilken vektor b som helst i ett n -dimensionellt rum har man ett fält b ( z ) vars koefficienter är element av rang n Heisenberg algebra, vars kommuteringsrelationer har en extra inre produktterm: [ b _n , c _m ]= n (b ,c) δn _,–m .

Heisenberg vertexoperatoralgebra har en enparameterfamilj av konforma vektorer med parametern $\lambda \in \mathbb {C}$ av konforma vektorer $\omega _{\lambda }$ som ges av

$\omega _{\lambda }={\frac {1}{2}}b_{-1}^{2}+\lambda b_{ -2},$

med central laddning $c_{\lambda }=1-12\lambda ^{2}$ .

När $\lambda =0$ finns följande formel för Virasoro -tecknet :

$Tr_{V}q^{L_{0}}:=\summa _ {n\in \mathbf {Z} }\dim V_{n}q^{n}=\prod _{n\geq 1}(1-q^{n})^{-1}$

Detta är den genererande funktionen för partitioner , och skrivs också som q ^1/24 gånger vikten −1/2 modulär form 1/η (det reciproka av Dedekind eta-funktionen ). Den fria bosonen av rang n har sedan en n parameterfamilj av Virasoro-vektorer, och när dessa parametrar är noll är tecknet q ^{n /24} gånger vikten − n /2 modulär form η ^{− n} .

Virasoro vertex operator algebra

Virasoro vertexoperatoralgebra är viktiga av två skäl: För det första inducerar det konforma elementet i en vertexoperatoralgebra kanoniskt en homomorfism från en Virasoro vertexoperatoralgebra, så de spelar en universell roll i teorin. För det andra är de intimt förbundna med teorin om enhetliga representationer av Virasoro-algebra, och dessa spelar en viktig roll i konform fältteori . I synnerhet är de enhetliga Virasoro-minimalmodellerna enkla kvoter av dessa vertexalgebror, och deras tensorprodukter ger ett sätt att kombinatoriskt konstruera mer komplicerade vertexoperatoralgebror.

Virasoro vertexoperatorn algebra definieras som en inducerad representation av Virasoro algebra : Om vi ​​väljer en central laddning c , finns det en unik endimensionell modul för subalgebra C [z]∂ _z + K för vilken K verkar av c Id , och C [z]∂ _z verkar trivialt, och den motsvarande inducerade modulen spänns över av polynom i L _–n = –z ^−n–1 ∂ _z eftersom n sträcker sig över heltal större än 1. Modulen har då partitionsfunktion

$Tr_{V}q^{L_{0}}=\summa _{n \in \mathbf {R} }\dim V_{n}q^{n}=\prod _{n\geq 2}(1-q^{n})^{-1}$ .

Detta utrymme har en vertexoperatoralgebrastruktur, där vertexoperatorerna definieras av:

$Y(L_{-n_{1}-2}L_{-n_{2}-2}...L_{-n_{k}-2}|0\rangle ,z)\equiv {\frac {1}{n_{1}!n_{2}!..n_{k}!}}:\partial ^{n_{1}}L(z)\partial ^{n_ {2}}L(z)...\partial ^{n_{k}}L(z):$

och $\omega =L_{-2}|0\rangle$ . Det faktum att Virasoro-fältet L(z) är lokalt med avseende på sig självt kan härledas från formeln för dess självkommutator:

$[L(z),L(x)]=\left({\frac {\partial }{\partial x}}L(x)\ höger)w^{-1}\delta \left({\frac {z}{x}}\right)-2L(x)x^{-1}{\frac {\partial }{\partial z}} \delta \left({\frac {z}{x}}\right)-{\frac {1}{12}}cx^{-1}\left({\frac {\partial }{\partial z} }\right)^{3}\delta \left({\frac {z}{x}}\right)$

där c är den centrala laddningen .

Givet en vertexalgebrahomomorfism från en Virasoro-vertexalgebra med central laddning c till vilken annan vertexalgebra som helst, uppfyller vertexoperatorn som är kopplad till bilden av ω automatiskt Virasoro-relationerna, dvs. bilden av ω är en konform vektor. Omvänt, vilken konform vektor som helst i en vertexalgebra inducerar en distingerad vertexalgebrahomomorfism från någon Virasoro vertexoperatoralgebra.

₀ Virasoro vertexoperatoralgebror är enkla, förutom när c har formen 1–6( p – q ) ² / pq för coprime heltal p , q strikt större än 1 – detta följer av Kacs determinantformel. I dessa undantagsfall har man ett unikt maximalideal, och motsvarande kvot kallas en minimal modell. När p = q +1 är vertexalgebrorna enhetliga representationer av Virasoro, och deras moduler är kända som diskreta serierepresentationer. De spelar en viktig roll i konform fältteori delvis för att de är ovanligt lätthanterliga, och för små p , motsvarar de välkända statistiska mekaniksystem vid kritikalitet, t.ex. Ising-modellen , den tri-kritiska Ising-modellen, den tre-kritiska. stat Potts modell , etc. Genom arbete av Weiqang Wang angående fusionsregler , har vi en fullständig beskrivning av tensorkategorierna för enhetliga minimalmodeller. Till exempel, när c = 1 /2 (Ising), finns det tre irreducerbara moduler med lägsta L -vikt 0, 1/2 och 1/16, och dess sammansmältningsring är Z [ x , y ]/( x ² – 1, y ² – x –1, xy – y ).

Affin vertexalgebra

Genom att ersätta Heisenberg Lie-algebra med en otvinnad affin Kac–Moody Lie-algebra (dvs. den universella centrala förlängningen av loopalgebra på en finitdimensionell enkel Lie-algebra ) kan man konstruera vakuumrepresentationen på ungefär samma sätt som den fria boson vertex algebra är konstruerad. Denna algebra uppstår som den nuvarande algebra av Wess–Zumino–Witten-modellen, som producerar den anomali som tolkas som den centrala förlängningen.

Konkret, dra tillbaka den centrala förlängningen

$0\to \mathbb {C} \to {\hat {\mathfrak {g}}}\to {\mathfrak {g}}[t ,t^{-1}]\till 0$

längs inkluderingen ${\mathfrak {g}}[t]\to {\mathfrak {g}}[t,t^{-1}]$ ger en delad förlängning, och vakuummodulen induceras från den endimensionella representationen av den senare på vilken ett centralt baselement verkar av någon vald konstant som kallas "nivån". Eftersom centrala element kan identifieras med invarianta inre produkter på den finita typen Lie algebra ${\displaystyle {\mathfrak {g}}},$ normaliserar man vanligtvis nivån så att Killing-formen har nivå två gånger det dubbla Coxeter-talet . På motsvarande sätt ger nivå ett den inre produkten för vilken den längsta roten har norm 2. Detta matchar loopalgebrakonventionen, där nivåer diskretiseras av tredje kohomologi av enkelt sammankopplade kompakta Lie-grupper.

Genom att välja en bas Ja av den finita typen Lie-algebra kan man bilda ^en bas för den affina Lie-algebra med J ^a _n = J ^a t ⁿ tillsammans med ett centralt element K . Genom rekonstruktion kan vi beskriva vertexoperatorerna med normalordnade produkter av derivator av fälten

$J^{a}(z)=\summa _{n=-\infty }^{\infty }J_{n}^{a}z^{-n-1}=\summa _{n= -\infty }^{\infty }(J^{a}t^{n})z^{-n-1}.$

När nivån är icke-kritisk, dvs den inre produkten är inte minus hälften av Killing-formen, har vakuumrepresentationen ett konformt element, givet av Sugawara- konstruktionen . För alla val av dubbla baser _Ja , Ja med avseende på den inre produkten ^på nivå 1, är det konforma elementet

$\omega ={\frac {1}{2(k+h^{\vee })}}\summa _{a}J_{a,-1}J_{-1}^{a}1$

och ger en vertexoperator algebra vars centrala laddning är $k\cdot \dim {\mathfrak {g}}/(k+h^{\vee })$ . På kritisk nivå _förstörs den konforma strukturen, eftersom nämnaren är noll, men man kan producera operatorer Ln för n ≥ –1 genom att ta en gräns när k närmar sig kritikalitet.

Moduler

Ungefär som vanliga ringar tillåter vertexalgebror en föreställning om modul eller representation. Moduler spelar en viktig roll i konform fältteori, där de ofta kallas sektorer. Ett standardantagande i fysiklitteraturen är att hela Hilbert-utrymmet för en konform fältteori bryts ned i en summa av tensorprodukter av vänster- och högerrörliga sektorer:

${\mathcal {H}}\cong \bigoplus _{i\in I}M_{i}\otimes {\overline {M_{i}}}$

Det vill säga, en konform fältteori har en vertexoperatoralgebra för vänsterrörliga kirala symmetrier, en vertexoperatoralgebra med högerrörliga kirala symmetrier, och de sektorer som rör sig i en given riktning är moduler för motsvarande vertexoperatoralgebra.

Definition

Givet en vertexalgebra V med multiplikation Y , är en V -modul ett vektorrum M utrustad med en åtgärd Y ^M : V ⊗ M → M (( z )), som uppfyller följande villkor:

(Identitet) Y ^M (1,z) = Id _M

(Associativitet eller Jacobi-identitet) För alla u , v ∈ V , w ∈ M , finns det ett element

$X(u,v,w;z,x)\in M[[z,x]][ z^{-1},x^{-1},(zx)^{-1}]$

så att Y ^M ( u , z ) Y ^M ( v , x ) w och Y ^M ( Y ( u , z – x ) v , x ) w är motsvarande expansioner av $X(u,v,w;z,x)$ i M (( z ))(( x )) och M (( x ))(( z – x )). På motsvarande sätt gäller följande " Jacobi-identitet ":

$z^{-1}\delta \left({\frac {yx}{z}}\right)Y^{M}(u,x)Y^{M}(v,y)wz^{ -1}\delta \left({\frac {-y+x}{z}}\right)Y^{M}(v,y)Y^{M}(u,x)w=y^{- 1}\delta \left({\frac {x+z}{y}}\right)Y^{M}(Y(u,z)v,y)w.$

₀ Modulerna i en vertexalgebra bildar en abelsk kategori . När man arbetar med vertexoperatoralgebror får den tidigare definitionen ibland namnet svag $V$ -modul , och äkta V -moduler måste respektera den konforma strukturen som ges av den konforma vektorn $\omega$ . Närmare bestämt krävs att de uppfyller det ytterligare villkoret att L agerar halvenkelt med ändliga dimensionella egenrum och egenvärden avgränsade nedan i varje coset av Z . Arbete av Huang, Lepowsky, Miyamoto och Zhang [ har visat på olika generella nivåer att moduler av en vertexoperatoralgebra tillåter en fusionstensorproduktoperation och bildar en flätad tensorkategori .

När kategorin av V -moduler är halvenkel med ändligt många irreducerbara objekt, kallas vertexoperatorn algebra V rationell. Rationella vertexoperatoralgebror som uppfyller en ytterligare ändlighetshypotes (känd som Zhus C ₂ -kofinitetstillstånd) är kända för att vara särskilt väluppfostrade och kallas regelbundna . Till exempel hävdar Zhus 1996 modulära invarianssats att tecknen i moduler i en vanlig VOA bildar en vektorvärderad representation av $\mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )$ . I synnerhet, om en VOA är holomorf , det vill säga dess representationskategori är ekvivalent med den för vektorrum, då är dess partitionsfunktion $\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {Z) } )}$ -invariant upp till en konstant. Huang visade att kategorin av moduler för en vanlig VOA är en modulär tensorkategori, och dess fusionsregler uppfyller Verlinde-formeln .

Heisenberg algebramoduler

Moduler av Heisenberg algebra kan konstrueras som Fock spaces $\pi _{\lambda }$ för $\lambda \in \mathbb {C}$ som är inducerade representationer av Heisenberg Lie algebra , ges av en vakuumvektor $v_{\lambda }$ som uppfyller $b_{n}v_{\lambda }=0$ för $n>0$ , $b_{0}v_{\lambda }=0$ och påverkas fritt av de negativa lägena $b_{-n}$ för $n>0$ . Mellanrummet kan skrivas som $\mathbb {C} [b_{-1},b_{-2},\cdots ]v_{\lambda }$ . Varje irreducerbar, $\mathbb {Z}$ -graderad Heisenberg algebramodul med gradering avgränsad nedan är av denna form.

Dessa används för att konstruera gittervertexalgebror, som som vektorrum är direkta summor av Heisenberg-moduler, när bilden av $Y$ utökas på lämpligt sätt till modulelement.

₀₀₀ Modulkategorin är inte halvenkel, eftersom man kan inducera en representation av den abelska Lie-algebra där b verkar av ett icke-trivialt Jordan-block . För den fria bosonen av rang n har man en irreducerbar modul V _λ för varje vektor λ i komplext n -dimensionellt rymd. Varje vektor b ∈ C ⁿ ger operatorn b , och Fock-utrymmet V _λ kännetecknas av egenskapen att varje sådan b fungerar som skalär multiplikation med den inre produkten ( b , λ ).

Vridna moduler

Till skillnad från vanliga ringar medger vertexalgebror en föreställning om vriden modul kopplad till en automorfism. För en automorfism σ av ordningen N , har åtgärden formen V ⊗ M → M (( z ^1/N )), med följande monodromivillkor : om u ∈ V uppfyller σ u = exp(2π ik / N ) u , då är u _n = 0 om inte n uppfyller n + k / N ∈ Z (det finns viss oenighet om tecken bland specialister). Geometriskt kan vridna moduler fästas på grenpunkter på en algebraisk kurva med ett förgrenat Galois-hölje . I den konforma fältteorilitteraturen kallas vridna moduler för vridna sektorer och är intimt förbundna med strängteori på orbifolder .

Ytterligare exempel

Vertexoperatoralgebra definierad av ett jämnt gitter

Gittervertexalgebrakonstruktionen var den ursprungliga motiveringen för att definiera vertexalgebror. Den är konstruerad genom att ta en summa av irreducerbara moduler för Heisenberg-algebra som motsvarar gittervektorer, och definiera en multiplikationsoperation genom att specificera sammanflätade operatorer mellan dem. Det vill säga, om Λ är ett jämnt gitter (om gittret inte är jämnt, är den erhållna strukturen istället en vertex superalgebra), bryts gittervertexalgebra V _Λ ned i fria bosoniska moduler som:

$V_{\Lambda }\cong \bigoplus _{\lambda \in \Lambda }V_{\lambda }$

Gallervertexalgebror är kanoniskt fästa till dubbla täcker av jämna integrerade gitter, snarare än gittren själva. Medan varje sådant gitter har en unik gittervertexalgebra upp till isomorfism, är vertexalgebrakonstruktionen inte funktionell, eftersom gitterautomorfismer har en tvetydighet i lyftning.

De dubbla omslagen i fråga bestäms unikt fram till isomorfism av följande regel: element har formen ±e _α för gittervektorer α ∈ Λ (dvs. det finns en karta till Λ som skickar e _α till α som glömmer tecken), och multiplikation uppfyller relationerna e _α e _β = (–1) ^(α,β) e _β e _α . Ett annat sätt att beskriva detta är att givet ett jämnt gitter Λ finns det en unik (upp till samgräns) normaliserad samcykel ε ( α , β ) med värden ±1 så att (−1) ^{( α , β )} = ε ( α , β ) ε ( β , α ) , där normaliseringsvillkoret är att ε(α, 0) = ε(0, α) = 1 för alla α ∈ Λ . Denna samcykel inducerar en central förlängning av Λ med en grupp av ordning 2, och vi får en vriden gruppring C _ε [Λ] med basen e _α ( α ∈ Λ ) , och multiplikationsregeln e _α e _β = ε ( α , β ) e _{α + β} – samcykelvillkoret på ε säkerställer associativitet hos ringen.

Spetsoperatorn kopplad till vektorn med lägst vikt v _λ i Fock-utrymmet V _λ är

$Y(v_{\lambda },z)=e_{\lambda }:\exp \int \lambda (z):=e_{\lambda }z^{\lambda }\exp \left(\summa _{n<0}\lambda _{n}{\frac {z^{-n}}{n}}\right)\exp \left(\summa _{n>0}\lambda _{n}{ \frac {z^{-n}}{n}}\höger),$

där z ^λ är en förkortning för den linjära kartan som tar vilket element som helst av α-Fock-rymden V _α till monomialen z ^{( λ , α )} . Spetsoperatorerna för andra element i Fock-utrymmet bestäms sedan genom rekonstruktion.

₀ Liksom i fallet med den fria bosonen har man ett val av konform vektor, given av ett element s i vektorrummet Λ ⊗ C , men villkoret att de extra Fock-rymden har heltals L -egenvärden begränsar valet av s : för en ortonormal bas x _{i måste} vektorn 1/2 x _i,1 ² + s ₂ uppfylla ( s , λ ) ∈ Z för alla λ ∈ Λ, dvs s ligger i det dubbla gittret.

Om det jämna gittret Λ genereras av dess "rotvektorer" (de som uppfyller (α, α)=2), och två godtyckliga rotvektorer förenas av en kedja av rotvektorer med på varandra följande inre produkter som inte är noll, då är vertexoperatorn algebra är den unika enkla kvoten för vakuummodulen för den affina Kac–Moody-algebra i motsvarande enkelt snörda enkla Lie-algebra på nivå ett. Detta är känt som Frenkel–Kac (eller Frenkel – Kac – Segal ) konstruktionen och är baserad på den tidigare konstruktionen av Sergio Fubini och Gabriele Veneziano av den takyoniska vertexoperatören i modellen med dubbla resonanser . Bland andra funktioner ger nolllägena för vertexoperatorerna som motsvarar rotvektorer en konstruktion av den underliggande enkla Lie-algebra, relaterad till en presentation som ursprungligen beror på Jacques Tits . I synnerhet får man en konstruktion av alla ADE-typ Lie-grupper direkt från deras rotgitter. Och detta anses allmänt vara det enklaste sättet att konstruera den 248-dimensionella gruppen E ₈ .

Monster vertex algebra

Monstervertexalgebra $V^{\natural }$ ( även kallad "månskensmodulen") är nyckeln till Borcherds bevis på de Monstruösa månskensförmodningarna . Den konstruerades av Frenkel, Lepowsky och Meurman 1988. Den är anmärkningsvärd eftersom dess karaktär är j-invarianten utan konstant term, $j(\tau )-744$ , och dess automorfism grupp är monstergruppen . Den är konstruerad genom att orbifolda gittervertexalgebra konstruerad från Leech-gittret av ordningen 2 automorfism inducerad genom att reflektera Leech-gittret i ursprunget. Det vill säga, man bildar den direkta summan av Leech-gittret VOA med den vridna modulen och tar de fixerade punkterna under en inducerad involution. Frenkel, Lepowsky och Meurman antog 1988 att $V^{\natural }$ är den unika holomorfa vertexoperatorn algebra med central laddning 24 och partitionsfunktion $j(\tau )-744$ . Denna gissning är fortfarande öppen.

Chiral de Rham-komplexet

Malikov, Schechtman och Vaintrob visade att genom en lokaliseringsmetod kan man kanoniskt fästa ett bcβγ (boson-fermion superfält) system till ett jämnt komplext grenrör. Detta komplex av skivor har en framstående differential, och den globala kohomologin är en vertex superalgebra. Ben-Zvi, Heluani och Szczesny visade att en Riemannisk metrik på grenröret inducerar en N =1 superkonform struktur, som befordras till en N =2 struktur om metriken är Kähler och Ricci-platt , och en hyperkähler struktur inducerar en N =4 struktur. Borisov och Libgober visade att man kan erhålla det tvåvariabla elliptiska släktet av en kompakt komplex mångfald från kohomologin av Chiral de Rham-komplexet. Om grenröret är Calabi–Yau , är detta släkte en svag Jacobi-form .

Vertexoperator superalgebras

Genom att tillåta det underliggande vektorutrymmet att vara ett superrymd (dvs. ett Z /2 Z -graderat vektorrum ${\displaystyle V=V_{+}\oplus V_{-}})$ kan man definiera en vertex superalgebra med samma data som en vertexalgebra, med 1 i V ₊ och T en jämn operator. Axiomen är i huvudsak desamma, men man måste inkorporera lämpliga tecken i lokalitetsaxiomet, eller någon av motsvarande formuleringar. Det vill säga om a och b är homogena jämför man Y ( a , z ) Y ( b , w ) med ε Y ( b , w ) Y ( a , z ), där ε är –1 om både a och b är udda och 1 annars. Om det dessutom finns ett Virasoro-element ω i den jämna delen av V ₂ och de vanliga graderingsrestriktionerna är uppfyllda, så kallas V en vertexoperator superalgebra .

Ett av de enklaste exemplen är vertexoperatorn superalgebra genererad av en enda fri fermion ψ. Som en Virasoro-representation har den central laddning 1/2 och sönderdelas som en direkt summa av Ising-moduler med lägsta vikt 0 och 1/2. Man kan också beskriva det som en spinnrepresentation av Clifford-algebra på det kvadratiska rummet t ^1/2 C [ t , t ⁻¹ ]( dt ) ^1/2 med restparning. Spetsoperatorn superalgebra är holomorf, i den meningen att alla moduler är direkta summor av sig själv, dvs modulkategorin är ekvivalent med kategorin vektorrum.

Tensorkvadraten för den fria fermionen kallas den fritt laddade fermionen, och genom boson-fermionöverensstämmelse är den isomorf till gittervertex superalgebra fäst vid det udda gittret Z . Denna korrespondens har använts av Date–Jimbo–Kashiwara-Miwa för att konstruera solitonlösningar till KP-hierarkin av olinjära PDE:er.

Superkonforma strukturer

Virasoro-algebra har några supersymmetriska förlängningar som naturligt förekommer i superkonformal fältteori och supersträngteori . N =1, 2 och 4 superkonforma algebror är av särskild betydelse.

Infinitesimala holomorfa superkonforma transformationer av en superkurva (med en jämn lokal koordinat z och N udda lokala koordinater θ ₁ ,..., θ _N ) genereras av koefficienterna för en superspännings-energitensor T (z, θ ₁ , . ..., 9N ₎ .

När N =1 har T en udda del som ges av ett Virasoro-fält L ( z ), och en jämn del ges av ett fält

$G(z)=\summa _{n}G_{n}z^{-n-3/2}$

föremål för kommuteringsförhållanden

• $[G_{m},L_{n}]=(mn/2)G_{m+n}$
• $[G_{m},G_{n}]=(mn)L_{ m+n}+\delta _{m,-n}{\frac {4m^{2}+1}{12}}c$

Genom att undersöka symmetrin hos operatorprodukterna finner man att det finns två möjligheter för fältet G : indexen n är antingen alla heltal, vilket ger Ramond-algebra , eller alla halvheltal, vilket ger Neveu–Schwarz-algebra . Dessa algebror har enhetliga diskreta serierepresentationer vid central laddning

${\hat {c}}={\frac {2}{3}}c=1-{\frac {8} {m(m+2)}}\quad m\geq 3$

och enhetsrepresentationer för alla c större än 3/2, med lägsta vikt h endast begränsad av h ≥ 0 för Neveu–Schwarz och h ≥ c /24 för Ramond.

En N =1 superkonform vektor i en vertexoperatoralgebra V med central laddning c är ett udda element τ ∈ V med vikten 3/2, så att

$Y(\tau ,z)=G(z)=\summa _{ m\in \mathbb {Z} +1/2}G_{n}z^{-n-3/2},$

G _−1/2 τ = ω, och koefficienterna för G ( z ) ger en verkan av N =1 Neveu–Schwarz-algebra vid central laddning c .

För N =2 supersymmetri får man jämna fält L ( z ) och J ( z ), och udda fält G ⁺ (z) och G ⁻ (z). Fältet J ( z ) genererar en verkan av Heisenberg-algebran (beskrivs av fysiker som en U (1)-ström). Det finns både Ramond och Neveu–Schwarz N =2 superkonforma algebror, beroende på om indexeringen på G- fälten är integral eller halvintegral. U (1)-strömmen ger emellertid upphov till en enparameterfamilj av isomorfa superkonforma algebror som interpolerar mellan Ramond och Neveu–Schwartz, och denna deformation av strukturen är känd som spektralflöde. Enhetsrepresentationerna ges av diskreta serier med central laddning c = 3-6/ m för heltal m minst 3, och ett kontinuum av lägsta vikter för c > 3.

En N =2 superkonform struktur på en vertexoperatoralgebra är ett par udda element τ ⁺ , τ ⁻ med vikten 3/2 och ett jämnt element μ med vikten 1 så att τ ^± genererar G ^± (z), och μ genererar J ( z ).

För N =3 och 4 har enhetsrepresentationer endast centrala laddningar i en diskret familj, med c =3 k /2 respektive 6 k , eftersom k sträcker sig över positiva heltal.

Ytterligare konstruktioner

• Fixed point subalgebras: Givet en verkan av en symmetrigrupp på en vertexoperatoralgebra, är subalgebra av fixa vektorer också en vertexoperatoralgebra. Under 2013 bevisade Miyamoto att två viktiga ändlighetsegenskaper, nämligen Zhus tillstånd C ₂ och regelbundenhet, bevaras när man tar fasta punkter under ändliga lösbara gruppåtgärder.
• Aktuella förlängningar: Givet en vertexoperatoralgebra och vissa moduler med integral konformvikt, kan man under gynnsamma omständigheter beskriva en vertexoperatoralgebrastruktur på den direkta summan. Gittervertexalgebror är ett standardexempel på detta. En annan familj av exempel är inramade VOA, som börjar med tensorprodukter av Ising-modeller, och lägger till moduler som motsvarar lämpligt jämna koder.
• Orbifolds: Med tanke på en ändlig cyklisk grupp som verkar på en holomorf VOA, antas det att man kan konstruera en andra holomorf VOA genom att angränsa irreducerbara vridna moduler och ta fasta punkter under en inducerad automorfism, så länge som dessa vridna moduler har lämplig konform vikt. Detta är känt för att vara sant i speciella fall, t.ex. grupper av ordning högst 3 som verkar på gitter-VOA.
• Coset-konstruktionen (beroende på Goddard, Kent och Olive): Givet en vertexoperatoralgebra V med central laddning c och en uppsättning S av vektorer, kan man strikt definiera kommutanten C ( V , S ) till att vara delrummet av vektorer v . pendla med alla fält som kommer från S , dvs så att Y ( s , z ) v ∈ V[[ z ]] för alla s ∈ S . Detta visar sig vara en vertexsubalgebra, med Y , T och identitet ärvd från V . och om S är en VOA av central laddning c _S , är kommutanten en VOA av central laddning c – c _S . Till exempel, inbäddningen av SU (2) på nivå k +1 i tensorprodukten av två SU (2) algebror på nivåerna k och 1 ger den Virasoro diskreta serien med p = k +2, q = k +3, och detta användes för att bevisa deras existens på 1980-talet. Återigen med SU (2) ger inbäddningen av nivå k +2 i tensorprodukten av nivå k och nivå 2 den N =1 superkonforma diskreta serien.
• ₀ BRST-reduktion: För vilken grad 1 vektor som helst v som uppfyller v ² =0, har kohomologin för denna operator en graderad vertex superalgebrastruktur. Mer generellt kan man använda vilket fält som helst med vikt 1 vars rest har kvadraten noll. Den vanliga metoden är att tensor med fermioner, då man då har en kanonisk differential. Ett viktigt specialfall är kvant Drinfeld–Sokolov-reduktion tillämpad på affina Kac–Moody algebror för att erhålla affina W -algebror som grad 0 kohomologi. Dessa W algebror medger också konstruktioner som vertexsubalgebror av fria bosoner som ges av kärnor av screeningsoperatorer.

Besläktade algebraiska strukturer

• Om man bara betraktar den singulära delen av OPE i en vertexalgebra kommer man fram till definitionen av en Lie konformalgebra . Eftersom man ofta bara är angelägen om den singulara delen av OPE, gör detta Lie konforma algebror till ett naturligt objekt att studera. Det finns en funktor från vertexalgebror till Lie-konformalgebra som glömmer den reguljära delen av OPEs, och den har en vänstra adjoint, som kallas "universal vertexalgebra"-funktorn. Vakuummoduler av affina Kac–Moody-algebror och Virasoro-vertexalgebror är universella vertexalgebror, och i synnerhet kan de beskrivas mycket kortfattat när bakgrundsteorin har utvecklats.
• Det finns flera generaliseringar av begreppet vertexalgebra i litteraturen. Vissa milda generaliseringar involverar en försvagning av lokalitetsaxiomet för att tillåta monodromi, t.ex. de abeliska sammanflätade algebrorna hos Dong och Lepowsky. Man kan se dessa ungefär som vertexalgebraobjekt i en flätad tensorkategori av graderade vektorrum, ungefär på samma sätt som en vertexsuperalgebra är ett sådant objekt i kategorin supervektorrymder. Mer komplicerade generaliseringar hänför sig till q -deformationer och representationer av kvantgrupper, såsom i arbetet av Frenkel-Reshetikhin, Etingof-Kazhdan och Li.
• Beilinson och Drinfeld introducerade ett kärvteoretiskt begrepp om kiral algebra som är nära besläktat med begreppet vertexalgebra, men som definieras utan att använda någon synlig potensserie. Givet en algebraisk kurva X är en kiral algebra på X en D _X -modul A utrustad med en multiplikationsoperation $j_{*}j^{*}(A \boxtimes A)\to \Delta _{*}A$ på X × X som uppfyller ett associativitetsvillkor. De introducerade också en likvärdig uppfattning om faktoriseringsalgebra som är ett system av kvasikoherenta skivor på alla ändliga produkter av kurvan, tillsammans med ett kompatibilitetsvillkor som involverar tillbakadragningar till komplementet av olika diagonaler. Vilken translationsekvivariant kiral algebra som helst på den affina linjen kan identifieras med en vertexalgebra genom att ta fibern vid en punkt, och det finns ett naturligt sätt att fästa en kiral algebra på en jämn algebraisk kurva till vilken vertexoperatoralgebra som helst.

Se även

• Operatörsalgebra

Källor

•    Borcherds, Richard (1986), "Vertex algebras, Kac-Moody algebras, and the Monster", Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America , 83 ( 10): 3068–3071, Bibcode : 1986PNAS... 83.3068B , doi : 10.1073/pnas.83.10.3068 , PMC 323452 , PMID 16593694
•    Borisov, Lev A.; Libgober , Anatoly (2000), "Elliptic genera of toric varieties and applications to mirror symmetry", Inventiones Mathematicae , 140 (2): 453–485, arXiv : math/9904126 , Bibcode : 2000InMat.530 : 01 , . /s002220000058 , MR 1757003 , S2CID 8427026
•   Frenkel, Edward ; Ben-Zvi, David (2001), Vertexalgebras och algebraiska kurvor , matematiska undersökningar och monografier, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-2894-0
•   Frenkel, Igor ; Lepowsky, James ; Meurman, Arne (1988), Vertex operator algebras and the Monster , Pure and Applied Mathematics, vol. 134, Academic Press, ISBN 0-12-267065-5
•   Kac, Victor (1998), Vertexalgebras för nybörjare , University Lecture Series, vol. 10 (andra upplagan), American Mathematical Society , ISBN 0-8218-1396-X
• Wang, Weiqiang (1993), "Rationality of Virasoro vertex operator algebras", International Mathematics Research Notices , 1993 (7): 197, doi : 10.1155/S1073792893000212
•   Xu, Xiaoping (1998), Introduktion till vertexoperatorsuperalgebra och deras moduler , Springer, ISBN 079235242-4