Ramond–Ramond-fältet

Inom teoretisk fysik är Ramond-Ramond-fält differentiella formfält i den 10-dimensionella rymdtiden av supergravitationsteorier av typ II , som är de klassiska gränserna för typ II-strängteori . Rangen på fälten beror på vilken typ II-teori som beaktas. Som Joseph Polchinski hävdade 1995, är D-braner de laddade objekten som fungerar som källor för dessa fält, enligt reglerna för p-form elektrodynamik . Det har antagits att kvant-RR-fält inte är differentiella former, utan istället klassificeras av vriden K-teori .

Adjektivet "Ramond–Ramond" återspeglar det faktum att i RNS-formalismen förekommer dessa fält i Ramond–Ramond-sektorn där alla vektorfermioner är periodiska. Båda användningarna av ordet "Ramond" hänvisar till Pierre Ramond , som studerade sådana randvillkor (de så kallade Ramond-gränsvillkoren ) och fälten som uppfyller dem 1971.

Definiera fälten

Fälten i varje teori

Liksom i Maxwells teori om elektromagnetism och dess generalisering, p-form elektrodynamik , kommer Ramond–Ramond (RR) fält i par som består av en p-form potential C _p och a ( p + 1)-form fältstyrka G _{p +1} . Fältstyrkan är, som vanligt definierad att vara den yttre derivatan av _{potentialen 1} Gp + = dCp _.

Som är vanligt i sådana teorier, om man tillåter topologiskt icke-triviala konfigurationer eller laddad materia ( D-branes ) så definieras kopplingarna endast på varje koordinatfläck av rumtid, och värdena på olika lappar limmas med hjälp av övergångsfunktioner. Till skillnad från fallet med elektromagnetism, i närvaro av en icke-trivial Neveu–Schwarz 3-forms fältstyrka, är fältstyrkan som definierats ovan inte längre mätinvariant och måste därför också definieras fläckvis med Dirac-strängen från en given patch tolkad som sig själv som en D-bran. Denna extra komplikation är ansvarig för några av de mer intressanta fenomenen inom strängteorin, som övergången Hanany–Witten .

₀₀ Valen av tillåtna värden för p beror på teorin. I supergravitation av typ IIA finns fält för p = 1 och p = 3. I supergravitation av typ IIB finns det å andra sidan fält för p = 0, p = 2 och p = 4, även om p = 4-fältet är begränsat för att uppfylla självdualitetsvillkoret G ₅ = * G ₅ där * är Hodge-stjärnan . Självdualitetsvillkoret kan inte påtvingas av en lagrangian utan att antingen introducera extra fält eller förstöra teorins uppenbara super-Poincaré-invarians, så supergravitation av typ IIB anses vara en icke-lagrangiansk teori. En tredje teori, kallad massiv eller Romans IIA supergravitation, inkluderar en fältstyrka G , som kallas romarnas massa. Eftersom den är en nollform har den ingen motsvarande koppling. Vidare kräver rörelseekvationerna att romarnas massa är konstant. I kvantteorin Joseph Polchinski visat att G är ett heltal, som hoppar med ett när man korsar en D8-bran .

Den demokratiska formuleringen

Det är ofta bekvämt att använda den demokratiska formuleringen av typ II-strängteorier, som introducerades av Paul Townsend i p -Brane Democracy . I D-brane Wess-Zumino Actions, T-dualitet och den kosmologiska konstanten konstruerade Michael Green , Chris Hull och Paul Townsend fältstyrkorna och hittade mättransformationerna som lämnar dem oföränderliga. Slutligen i New Formulations of D=10 Supersymmetry och D8-O8 Domain Walls slutförde författarna formuleringen och gav en lagrangian och förklarade fermionernas roll. I denna formulering inkluderar man alla de jämna fältstyrkorna i IIA och alla de udda fältstyrkorna i IIB. De ytterligare fältstyrkorna definieras av stjärnvillkoret G _p =*G _10−p . Som en konsistenskontroll, lägg märke till att stjärntillståndet är kompatibelt med självdualiteten hos G ₅ , så den demokratiska formuleringen innehåller samma antal frihetsgrader som den ursprungliga formuleringen. På samma sätt som försöken att samtidigt inkludera både elektriska och magnetiska potentialer i elektromagnetism, kan de dubbla gauge potentialerna inte läggas till den demokratiskt formulerade Lagrangian på ett sätt som upprätthåller teorins manifesta lokalitet. Detta beror på att de dubbla potentialerna erhålls från de ursprungliga potentialerna genom att integrera stjärntillståndet.

Ramond–Ramond spårviddstransformationer

Typ II supergravity Langragians är oföränderliga under ett antal lokala symmetrier , såsom diffeomorphisms och lokala supersymmetri transformationer. Dessutom transformeras de olika formfälten under Neveu-Schwarz- och Ramond-Ramond-mätartransformationer.

I den demokratiska formuleringen är Ramond–Ramond-mätartransformationerna av mätpotentialerna som lämnar handlingen invariant

$C_{p}\högerpil C_{p}+d\Lambda _{p-1}+H\wedge \Lambda _{p -3}$

där H är Neveu-Schwarz 3-forms fältstyrka och gauge-parametrarna $\Lambda _{q}$ är q-former. Eftersom mätartransformationerna blandar olika $\Lambda _{q}$ , är det nödvändigt att varje RR-form transformeras samtidigt med samma uppsättning mätparametrar. De H-beroende termerna, som inte har någon analog i elektromagnetism, krävs för att bevara bidraget till verkan av Chern-Simons termer som finns i supergravitationsteorier av typ II.

Lägg märke till att det finns flera gauge-parametrar som motsvarar samma gauge-transformation, i synnerhet kan vi lägga till vilken som helst ( d + H )-sluten form till Lambda. Så i kvantteorin måste vi också mäta mättransformationerna och sedan mäta dem, så vidare tills dimensionerna är tillräckligt låga. I Fadeev–Popov- kvantiseringen motsvarar detta att lägga till ett torn av spöken. Matematiskt, i fallet där H försvinner, är den resulterande strukturen rumtidens Deligne-kohomologi . För icke-trivial H, efter att ha inkluderat Dirac-kvantiseringsvillkoret , har det antagits att det istället motsvarar differentiell K-teori.

Lägg märke till att, tack vare H-termerna i mättransformationerna, transformeras fältstyrkorna också icke-trivialt

$G_{p+1}\rightarrow G_{p+1}+H\wedge d\Lambda _{p-3}.$

De förbättrade fältstyrkorna

Man introducerar ofta förbättrade fältstyrkor

$F_{p+1}=G_{p+1}+H\wedge C_{p-2}$

som är mätinvarianta.

Även om de är mätinvarianta, är de förbättrade fältstyrkorna varken stängda eller kvantiserade, istället är de bara vridna-stängda. Detta betyder att de uppfyller rörelseekvationen ${\displaystyle dF_{p+1}=H\wedge F_{p-1}} ,$ som bara är Bianchi-identiteten $0=d^{2}C_{p}$ . De är också "twisted-quantized" i den meningen att man kan transformera tillbaka till den ursprungliga fältstyrkan vars integraler över kompakta cykler kvantiseras. Det är de ursprungliga fältstyrkorna som kommer från D-branladdningen, i den meningen att integralen av den ursprungliga p-formens fältstyrka G p _över en sammandragbar p-cykel är lika med D(8-p)-branladdningen kopplade till den cykeln. Eftersom D-branladdningen kvantiseras kvantiseras Gp _och inte den förbättrade fältstyrkan.

Fältekvationer

Ekvationer och Bianchi-identiteter

Som vanligt i p-form gauge-teorier måste formfälten lyda de klassiska fältekvationerna och Bianchi-identiteterna . De förra uttrycker villkoret att variationer av handlingen med avseende på de olika områdena måste vara triviala. Vi kommer nu att begränsa vår uppmärksamhet till de fältekvationer som kommer från variationen av Ramond–Ramond (RR) fälten, men i praktiken behöver dessa kompletteras med fältekvationerna som kommer från variationerna av Neveu–Schwarz B- fältet , graviton, dilaton och deras superpartners gravitinos och dilatino.

I den demokratiska formuleringen är Bianchi-identiteten för fältstyrkan G _p+1 den klassiska fältekvationen för dess Hodge-dual G _9−p , så det räcker med att påtvinga Bianchi-identiteterna för varje RR-fält. Detta är bara villkoren att RR-potentialerna Cp _är lokalt definierade, och att därför den yttre derivatan som verkar på dem är nilpotent

$0=d^{2}C_{p}=dG_{p+1}=dF_{p+1}+H\wedge G_{p-1}.$

D-braner är källor för RR-fält

I många applikationer vill man lägga till källor för RR-fälten. Dessa källor kallas D-branes . Liksom i klassisk elektromagnetism kan man lägga till källor genom att inkludera en koppling C _p ${\mathcal {J}}_{10-p}$ av p-formens potential till en (10-p)-form ström ${\mathcal {J}}_{10-p}$ i den lagrangiska densiteten. Den vanliga konventionen i strängteoretisk litteratur verkar vara att inte skriva denna term explicit i handlingen.

Den nuvarande ${\mathcal {J}}_{10-p}$ modifierar rörelseekvationen som kommer från variationen av C _p . Som är fallet med magnetiska monopoler inom elektromagnetism, ogiltigförklarar denna källa också den dubbla Bianchi-identiteten eftersom det är en punkt där det dubbla fältet inte definieras. I den modifierade rörelseekvationen ${\mathcal {J}}_{p+2}$ på vänster sida av rörelseekvationen istället för noll. För framtida enkelhet kommer vi också att byta p och 7 − p , då är rörelseekvationen i närvaro av en källa

${\mathcal {J}}_{9-p}=d^{2}C_{7-p}=dG_{8-p}=dF_{8-p}+H\wedge G_{6- p}.$

(9-p)-formen ${\mathcal {J}}_{9-p}$ är Dp-branströmmen, vilket betyder att den är Poincaré dual till världsvolymen för a ( p + 1)-dimensionellt utsträckt objekt som kallas en Dp-bran. Avvikelsen mellan en i namnschemat är historisk och kommer från det faktum att en av p + 1-riktningarna som spänns över av Dp-branen ofta är tidsliknande och lämnar p rumsliga riktningar.

Ovanstående Bianchi-identitet tolkas som att Dp-branen, i analogi med magnetiska monopoler i elektromagnetism, är magnetiskt laddad under RR p -formen C _{7− p} . Om man istället betraktar denna Bianchi-identitet som en fältekvation för Cp _{+ 1} , så säger man att Dp-branen är elektriskt laddad under ( p +1)-formen Cp ₊₁ .

Ovanstående rörelseekvation antyder att det finns två sätt att härleda Dp-branladdningen från de omgivande flödena. Först kan man integrera dG _8−p över en yta, vilket kommer att ge Dp-branladdningen som skärs av den ytan. Den andra metoden är relaterad till den första av Stokes sats . Man kan integrera G _8−p över en cykel, detta kommer att ge Dp-branladdningen länkad av den cykeln. Kvantiseringen av Dp-branladdningen i kvantteorin innebär då kvantisering av fältstyrkorna G, men inte av de förbättrade fältstyrkorna F.

Twisted K-teori tolkning

Det har antagits att RR-fält, såväl som D-braner, klassificeras av vriden K-teori . I detta ramverk har ovanstående rörelseekvationer naturliga tolkningar. De källfria rörelseekvationerna för de förbättrade fältstyrkorna F antyder att den formella summan av alla F _p är ett element i den H-tvinnade de Rham-kohomologin . Detta är en version av De Rham-kohomologin där differentialen inte är den yttre derivatan d, utan istället (d+H) där H är Neveu-Schwarz 3-formen. Lägg märke till att (d+H), vilket är nödvändigt för att kohomologin ska vara väldefinierad, kvadrerar till noll.

De förbättrade fältstyrkorna F lever i den klassiska teorin, där övergången från kvant till klassisk tolkas som tensoring av rationalerna. Så F:en måste vara någon rationell version av vriden K-teori. En sådan rationell version, i själva verket en karakteristisk klass av vriden K-teori, är redan känd. Det är den vridna Chern-klassen som definieras i Twisted K-theory och K-theory of Bundle Gerbes av Peter Bouwknegt , Alan L. Carey, Varghese Mathai , Michael K. Murray och Danny Stevenson och utökas i Chern-karaktär i twisted K-Theory: Ekvivarianta och holomorfa fall . Författarna har visat att vridna Chern-karaktärer alltid är inslag i H-twisted de Rham-kohomologin.

Till skillnad från de förbättrade fältstyrkorna, är de ursprungliga fältstyrkorna G:er otvinnade, integrerade kohomologiklasser. Dessutom är G:en inte mätinvarianta, vilket betyder att de inte är unikt definierade utan istället bara kan definieras som ekvivalensklasser. Dessa motsvarar kohomologiklasserna i Atiyah Hirzebruch Spectral Sequence- konstruktion av vriden K-teori, som endast definieras upp till termer som är stängda under någon av en serie differentialoperatorer .

Källtermerna verkar vara hinder för existensen av en K-teoriklass. De andra rörelseekvationerna, såsom de som erhålls genom att variera NS B-fältet, har inga K-teoritolkningar. Införlivandet av dessa korrigeringar i K-teorinramverket är ett öppet problem. För mer om detta problem, klicka här .

Se även

• Kalb–Ramondfältet

Anteckningar

• En bra introduktion till de olika fältstyrkorna i teorier med Chern-Simons-termer är Chern-Simons-termer och The Three Notions of Charge av Donald Marolf .
• Den demokratiska formuleringen av 10-dimensionella supergraviteter kan hittas i New Formulations of D=10 Supersymmetry och D8-O8 Domain Walls av Eric Bergshoeff, Renata Kallosh , Tomás Ortín, Diederik Roest och Antoine Van Proeyen. Den innehåller många detaljer som saknas i Townsends originaltidning, men begränsar uppmärksamheten till en topologiskt trivial Neveu-Schwarz 3-form.