Normal ordning

För annan användning, se Normal ordning (disambiguation) .

I kvantfältteorin brukar en produkt av kvantfält, eller motsvarande deras skapande- och förintelseoperatorer , sägas vara normalordnad (även kallad Wick-ordning ) när alla skapandeoperatorer är till vänster om alla förintelseoperatorer i produkten. Processen att sätta en produkt i normal ordning kallas normal beställning (även kallad Wick-beställning) . Termerna antinormal ordning och antinormal ordning definieras analogt, där annihilationsoperatorerna placeras till vänster om skapelseoperatorerna.

Normal ordning av en produkts kvantfält eller skapande och förintelseoperatorer kan också definieras på många andra sätt . Vilken definition som är mest lämplig beror på de förväntade värden som behövs för en given beräkning. Det mesta av den här artikeln använder den vanligaste definitionen av normal ordning enligt ovan, vilket är lämpligt när man tar förväntningsvärden med hjälp av vakuumtillståndet för skapande och förintelseoperatorer .

Processen med normal ordning är särskilt viktig för en kvantmekanisk Hamiltonian . När man kvantifierar en klassisk Hamiltonian finns det en viss frihet när man väljer operatörsordning, och dessa val leder till skillnader i grundtillståndsenergin .

Notation

Om ${\hat {O}}$ betecknar en godtycklig produkt av skapande och/eller förintelseoperatorer (eller motsvarande kvantfält), då den normalordnade formen av ${\hat {O} }$ betecknas med ${\mathopen {:}}{\hat {O}}{\mathclose {:}}$ .

En alternativ notation är ${\mathcal {N}}({\hat {O}})$ .

Observera att normal beställning är ett koncept som bara är vettigt för operatörers produkter. Att försöka tillämpa normal ordning på en summa av operatorer är inte användbart eftersom normal ordning inte är en linjär operation.

Bosoner

Bosoner är partiklar som uppfyller Bose–Einsteins statistik . Vi kommer nu att undersöka den normala beställningen av bosoniska skapande och förintelseoperatörsprodukter.

Enstaka bosoner

Om vi ​​bara börjar med en typ av boson finns det två operatörer av intresse:

• ${\hat {b}}^{\dolk }$ : bosonens skapande operator.
• ${\hat {b}}$ : bosonens förintelseoperator.

Dessa tillfredsställer kommutatorrelationen

$\left[{\hat {b}}^{\dolk },{\hat {b}}^{\dolk }\right]_{-}= 0$

$\left[{\hat {b}},{\hat {b}}\right]_{-}=0$

$\left[{\hat {b}},{\hat {b}}^{\dolk }\right]_{-}=1$

där $\left[A,B\right]_{-}\equiv AB-BA$ anger kommutatorn . Vi kan skriva om den sista som: ${\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dolk }={\hat {b}}^{\dolk }\,{\hat {b}}+1.$

Exempel

1. Vi överväger det enklaste fallet först. Detta är den normala ordningen för ${\hat {b}}^{\dolk }{\hat {b}}$ :

${:\,}{\hat {b}}^{\dolk }\,{\hat {b}}{\,:}={\hat {b}}^{\dolk }\,{ \hat {b}}.$

Uttrycket ${\hat {b}}^{\dolk }\,{\hat {b}}$ har inte ändrats eftersom det redan är i normal ordning - skaparoperatorn $({\hat {b}}^{\dolk })$ är redan till vänster om annihilationsoperatorn $({\hat {b}})$ .

2. Ett mer intressant exempel är den normala ordningen för ${\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dolk }$ :

${:\,}{\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dolk }{\,:}={\hat {b}}^{\dolk }\,{ \hat {b}}.$

Här har den normala ordningsoperationen ordnat om termerna genom att placera ${\hat {b}}^{\dolk }$ till vänster om ${\hat {b}}$ .

Dessa två resultat kan kombineras med kommuteringsrelationen som följer av ${\hat {b}}$ och ${\hat {b}}^{\dolk }$ för att få

${\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dolk }={ \hat {b}}^{\dolk }\,{\hat {b}}+1={:\,}{\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dolk }{ \,:}\;+1.$

eller

${\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dolk }-{:\,}{\hat { b}}\,{\hat {b}}^{\dolk }{\,:}=1.$

Denna ekvation används för att definiera de sammandragningar som används i Wicks sats .

3. Ett exempel med flera operatorer är:

${:\,}{\hat {b}}^{\dolk }\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\ dolk }\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dolk }\,{\hat {b}}{\,:}={\hat {b}}^{\ dolk }\,{\hat {b}}^{\dolk }\,{\hat {b}}^{\dolk }\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}\, {\hat {b}}\,{\hat {b}}=({\hat {b}}^{\dolk })^{3}\,{\hat {b}}^{4}.$

4. Ett enkelt exempel visar att normal ordning inte kan utökas genom linjäritet från monomialerna till alla operatörer på ett självkonsekvent sätt:

${:\,}{\hat {b}}{\hat {b}}^{\dolk }{\,:}={:\,}1+{\hat {b}}^{ \dolk }{\hat {b}}{\,:}={:\,}1{\,:}+{:\,}{\hat {b}}^{\dolk }{\hat {b }}{\,:}=1+{\hat {b}}^{\dolk }{\hat {b}}\neq {\hat {b}}^{\dolk }{\hat {b}} ={:\,}{\hat {b}}{\hat {b}}^{\dolk }{\,:}$

Innebörden är att normal ordning inte är en linjär funktion på operatorer.

Flera bosoner

Om vi ​​nu betraktar $N$ olika bosoner finns det $2N$ -operatorer:

• ${\hat {b}}_{i}^{\dolk }$ : den $i^{th}$ bosonens skapelseoperator.
• ${\hat {b}}_{i}$ : $i^{th}$ bosonens förintelseoperator.

Här är $i=1,\ldots ,N$ .

Dessa uppfyller kommuteringsrelationerna:

$\left[{\hat {b}}_{i}^{\dolk },{\hat {b}}_{j}^{\ dolk }\right]_{-}=0$

$\left[{\hat {b}}_{i},{\hat {b}}_{ j}\right]_{-}=0$

$\left[{\hat {b}}_{i},{\hat {b }}_{j}^{\dolk }\right]_{-}=\delta _{ij}$

där $i,j=1,\ldots ,N$ och $\displaystyle \delta _{ij}}$ { betecknar Kronecker-deltatet

Dessa kan skrivas om som:

$\displaystyle {\hat {b}}_{i}^{\dolk }\,{\hat {b}}_{j}^ {\dolk }={\hat {b}}_{j}^{\dolk }\,{\hat {b}}_{i}^{\dolk }}$

${\hat {b}}_{i}\,{\hat {b}}_{j}={\hat {b}}_{j}\,{\hat {b} }_{i}$

${\hat {b}}_{i}\,{\hat {b}}_{j}^{\dolk }={\hat {b}}_{j}^{\dolk }\ ,{\hat {b}}_{i}+\delta _{ij}.$

Exempel

1. För två olika bosoner ( ${\displaystyle N=2} )$ har vi

$:{\hat {b}}_{1}^{\dolk }\,{\hat {b}}_{2} :\,={\hat {b}}_{1}^{\dolk }\,{\hat {b}}_{2}$

$:{\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{1}^{\dolk }:\,={\hat {b}}_{1}^ {\dolk }\,{\hat {b}}_{2}$

2. För tre olika bosoner ( ${\displaystyle N=3} )$ har vi

$:{\hat {b}}_{1}^{\dolk }\,{\hat {b }}_{2}\,{\hat {b}}_{3}:\,={\hat {b}}_{1}^{\dolk }\,{\hat {b}}_{ 2}\,{\hat {b}}_{3}$

Lägg märke till att eftersom (genom kommuteringsrelationerna) ${\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{3}= {\hat {b}}_{3}\,{\hat {b}}_{2}$ i vilken ordning vi skriver annihilationsoperatorerna spelar ingen roll.

$:{\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{1 }^{\dolk }\,{\hat {b}}_{3}:\,={\hat {b}}_{1}^{\dolk }\,{\hat {b}}_{ 2}\,{\hat {b}}_{3}$

$:{\hat {b}} _{3}{\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{1}^{\dolk }:\,={\hat {b}}_{1}^{ \dolk }\,{\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{3}$

Bosonic operatörsfunktioner

Normal ordning av bosoniska operatorfunktioner $f({\hat {n}})$ , med yrkesnummeroperator ${\displaystyle {\hat {n}} ={\hat {b}}{\vphantom {\hat {n}}}^{\dolk }{\hat {b}}} , kan åstadkommas med (fallande$ ) faktorpotenser ${\hat {n}}^{\underline {k}}={\hat {n}}({\hat {n}}-1 )\cdots ({\hat {n}}-k+1)$ och Newton-serier istället för Taylor-serier : Det är lätt att visa att faktoralpotenser ${\hat {n}}^{\ understrykning {k}}$ är lika med normalordnade (rå) potenser ${\hat {n}}^{k}$ och är därför normalordnade efter konstruktion,

${\hat {n}}^{\underline {k}}={\hat {b}}{ \vphantom {\hat {n}}}^{\dolk k}{\hat {b}}{\vphantom {\hat {n}}}^{k}={:\,}{\hat {n} }^{k}{\,:},$

så att Newton-seriens expansion

${\tilde {f}}({\hat {n}})=\sum _{k=0}^{\infty }\Delta _{n}^{k}{\tilde {f}} (0)\,{\frac {{\hat {n}}^{\understryka {k}}}{k!}}$

av en operatorfunktion ${\tilde {f}}({\hat {n}})$ , med $k$ -th framåtskillnad ${ \displaystyle \Delta _{n}^{k}{\tilde {f}}(0)}$ vid $n=0$ , är alltid normalordnad. Här är egenvärdesekvationen ${\hat {n}}|n\rangle =n|n\rangle$ relaterar ${\hat {n}}$ och $n$ .

Som en konsekvens är den normalordnade Taylor-serien för en godtycklig funktion $f({\hat {n}})$ lika med Newton-serien för en associerad funktion ${ \displaystyle {\tilde {f}}({\hat {n}})} ,$ uppfyllande

${\tilde {f}}({\hat {n}})={:\,}f({\hat {n}}) {\,:},$

om seriekoefficienterna för Taylor-serien av ${\displaystyle f(x)} ,$ med kontinuerlig $x$ , matchar koefficienterna för Newton-serien av ${\tilde {f}}(n)$ , med heltal $n$ ,

${\begin{aligned}f(x)&=\summa _{k=0}^{\infty }F_{k }\,{\frac {x^{k}}{k!}},\\{\tilde {f}}(n)&=\summa _{k=0}^{\infty }F_{k} \,{\frac {n^{\underline {k}}}{k!}},\\F_{k}&=\partial _{x}^{k}f(0)=\Delta _{n }^{k}{\tilde {f}}(0),\end{aligned}}$

med $k$ -th partiell derivata $\partial _{x}^{k}f(0)$ vid $x=0$ . Funktionerna $f$ och ${\tilde {f}}$ är relaterade genom den så kallade normalordningens transformation ${\mathcal {N}}[f]$ enligt

${\begin{aligned}{\tilde {f}}(n)&={\mathcal {N}}_{x} [f(x)](n)\\&={\frac {1}{\Gamma (-n)}}\int _{-\infty }^{0}\mathrm {d} x\,e^ {x}\,f(x)\,(-x)^{-(n+1)}\\&={\frac {1}{\Gamma (-n)}}{\mathcal {M}} _{-x}[e^{x}f(x)](-n),\end{aligned}}$

som kan uttryckas i termer av Mellin-transformen ${\displaystyle {\mathcal {M}}} ,$ se för detaljer.

Fermioner

Fermioner är partiklar som uppfyller Fermi–Dirac-statistiken . Vi kommer nu att undersöka den normala beställningen av fermioniska skapande och förintelseoperatörsprodukter.

Enstaka fermioner

För en enskild fermion finns det två operatörer av intresse:

• ${\hat {f}}^{\dolk }$ : fermionens skapelseoperator.
• ${\hat {f}}$ : fermionens förintelseoperator.

Dessa uppfyller antikommutatorförhållandena

$\left[{\hat {f}}^{\dolk },{\hat {f}}^{\dolk }\right]_{+}= 0$

$\left[{\hat {f}},{\hat {f}}\right]_{+}=0$

$\left[{\hat {f}},{\hat {f}}^{\dolk }\right]_{+}=1$

där $\left[A,B\right]_{+}\equiv AB+BA$ anger antikommutatorn . Dessa kan skrivas om som

${\displaystyle {\hat {f}}^{\dolk }\,{\hat {f}}^{\dolk }=0} f ^ f ^ =$

$hat {f}}\,{\hat {f}}=0}$

${\hat {f}}\,{\hat {f}}^{\dolk }=1-{\hat {f}}^{\dolk }\,{\hat {f}}.$

För att definiera den normala ordningen för en produkt av fermioniska skapande och förintelseoperatorer måste vi ta hänsyn till antalet utbyten mellan angränsande operatörer. Vi får ett minustecken för varje sådan växling.

Exempel

1. Vi börjar återigen med de enklaste fallen:

$:{\hat {f}}^{\dolk }\,{\hat {f}}:\,={\hat {f}}^ {\dolk }\,{\hat {f}}$

Detta uttryck är redan i normal ordning så ingenting ändras. I det omvända fallet introducerar vi ett minustecken eftersom vi måste ändra ordningen på två operatorer:

$:{\hat {f}}\,{\hat {f}}^{\dolk }:\,=-{\hat {f} }^{\dolk }\,{\hat {f}}$

Dessa kan kombineras, tillsammans med antikommuteringsrelationerna, för att visa

${\hat {f}}\,{\hat {f}}^{\dolk }\,= 1-{\hat {f}}^{\dolk }\,{\hat {f}}=1+:{\hat {f}}\,{\hat {f}}^{\dolk }:$

eller

${\hat {f}}\,{\hat {f}}^{\dolk }-:{\hat {f}}\ ,{\hat {f}}^{\dolk }:=1.$

Denna ekvation, som är i samma form som det bosoniska fallet ovan, används för att definiera de sammandragningar som används i Wicks sats .

2. Den normala ordningen för alla mer komplicerade fall ger noll eftersom det kommer att finnas minst en skapande eller förintelseoperator som dyker upp två gånger. Till exempel:

$:{\hat {f}}\,{\hat {f}}^{\dolk } \,{\hat {f}}{\hat {f}}^{\dolk }:\,=-{\hat {f}}^{\dolk }\,{\hat {f}}^{\ dolk }\,{\hat {f}}\,{\hat {f}}=0$

Flera fermioner

För $N$ olika fermioner finns det $2N$ -operatorer:

• ${\hat {f}}_{i}^{\dolk }$ : den $i^{th}$ fermions skapelseoperator.
• ${\hat {f}}_{i}$ : den $i^{th}$ fermions förintelseoperator.

Här är $i=1,\ldots ,N$ .

Dessa uppfyller anti-kommuteringsrelationerna:

$\left[{\hat {f}}_{i}^{\dolk },{\hat {f}}_{j}^{\ dolk }\right]_{+}=0$

$\left[{\hat {f}}_{i},{\hat {f}}_{ j}\right]_{+}=0$

$\left[{\hat {f}}_{i},{\hat {f }}_{j}^{\dolk }\right]_{+}=\delta _{ij}$

där $i,j=1,\ldots ,N$ och $\displaystyle \delta _{ij}}$ { betecknar Kronecker-deltatet

Dessa kan skrivas om som:

${\hat {f}}_{i}^{\dolk }\,{\hat {f}}_{j} ^{\dolk }=-{\hat {f}}_{j}^{\dolk }\,{\hat {f}}_{i}^{\dolk }$

${\hat {f}}_{i}\,{\hat {f}}_{j}=-{\hat {f}}_{j}\,{\ hat {f}}_{i}$

${\hat {f}}_{i}\,{\hat {f}}_{j}^{\dolk }=\delta _{ij}-{\hat {f}}_{j }^{\dolk }\,{\hat {f}}_{i}.$

När vi beräknar den normala ordningen för produkter från fermionoperatörer måste vi ta hänsyn till antalet utbyten av angränsande operatörer som krävs för att ordna om uttrycket. Det är som om vi låtsas att skapelse- och förintelseoperatorerna motpendlar och sedan ordnar vi om uttrycket för att säkerställa att skapelseoperatörerna är till vänster och förintelseoperatörerna är till höger - hela tiden med hänsyn till antikommuteringsrelationerna.

Exempel

1. För två olika fermioner ( ${\displaystyle N=2} )$ har vi

$:{\hat {f}}_{1}^{\dolk }\,{\hat {f}}_{2} :\,={\hat {f}}_{1}^{\dolk }\,{\hat {f}}_{2}$

Här är uttrycket redan normalordnat så ingenting förändras.

$:{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{1}^{\dolk }:\,=-{\hat {f}}_{1}^{\dolk }\,{\hat {f}}_{2}$

Här introducerar vi ett minustecken eftersom vi har bytt ordning på två operatorer.

$:{\hat {f}}_ {2}\,{\hat {f}}_{1}^{\dolk }\,{\hat {f}}_{2}^{\dolk}:\,={\hat {f}} _{1}^{\dolk }\,{\hat {f}}_{2}^{\dolk }\,{\hat {f}}_{2}=-{\hat {f}}_ {2}^{\dolk }\,{\hat {f}}_{1}^{\dolk }\,{\hat {f}}_{2}$

Observera att ordningen i vilken vi skriver operatorerna här, till skillnad från i det bosoniska fallet, spelar roll .

2. För tre olika fermioner ( ${\displaystyle N=3} )$ har vi

$:{\hat {f}}_{1} ^{\dolk }\,{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{3}:\,={\hat {f}}_{1}^{\dolk }\,{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{3}=-{\hat {f}}_{1}^{\dolk }\,{\hat {f}}_{3}\,{\hat {f}}_{2}$

Lägg märke till att eftersom (genom antikommuteringsrelationerna) ${\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{3} =-{\hat {f}}_{3}\,{\hat {f}}_{2}$ ordningen som vi skriver operatorerna i spelar roll i det här fallet.

På samma sätt har vi

$:{\hat {f}}_{2} \,{\hat {f}}_{1}^{\dolk }\,{\hat {f}}_{3}:\,=-{\hat {f}}_{1}^{\ dolk }\,{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{3}={\hat {f}}_{1}^{\dolk }\,{\hat {f}}_{3}\,{\hat {f}}_{2}$

$:{\hat {f}}_{3}{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{1}^{\dolk }:\,={\hat {f}}_{1}^{\dolk }\,{\hat {f}}_{3}\,{\hat {f}}_{2}=-{ \hat {f}}_{1}^{\dolk }\,{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{3}$

Används inom kvantfältteori

Vakuumförväntningsvärdet för en normalordnad produkt av skapande och förintelseoperatörer är noll . Detta beror på att vakuumtillståndet betecknas med $|0\rangle$ , skapar- och förintelseoperatorerna uppfyller

$\langle 0|{\hat {a}}^{\dolk }=0\qquad {\textrm {and}}\qquad {\hat {a}}|0\rangle =0$

(här är ${\hat {a}}^{\dolk }$ och ${\hat {a}}$ skapelse- och förintelseoperatorer (antingen bosoniska eller fermioniska)).

Låt ${\hat {O}}$ beteckna en icke-tom produkt av skapelse- och förintelseoperatorer. Även om detta kan tillfredsställa

$\langle 0|{\hat {O}}|0\rangle \neq 0,$

vi har

$\langle 0|:{\hat {O}}:|0\rangle =0.$

Normalordnade operatorer är särskilt användbara när man definierar en kvantmekanisk Hamiltonian . Om Hamiltonian för en teori är i normal ordning kommer grundtillståndsenergin att vara noll: $\langle 0|{\hat {H}}|0\rangle =0$ .

Fria fält

Med två fria fält φ och χ,

$:\phi (x)\chi (y):\,\,=\phi (x)\chi (y)-\langle 0|\phi (x)\chi (y)|0\rangle$

där $|0\rangle$ är återigen vakuumtillståndet. Var och en av de två termerna på höger sida blåser vanligtvis upp i gränsen när y närmar sig x men skillnaden mellan dem har en väldefinierad gräns. Detta tillåter oss att definiera :φ(x)χ(x):.

Wicks teorem

Huvudartikel: Wicks teorem

Wicks sats anger förhållandet mellan den tidsbeställda produkten av $n$ fält och summan av normalt beställda produkter. Detta kan uttryckas för $n$ även som

${\begin{aligned}T\left[\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\right]=&:\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n}):+\summa _{\textrm {perm}}\langle 0|T\left[\phi (x_{1})\phi (x_{2})\right]|0\rangle : \phi (x_{3})\cdots \phi (x_{n}):\\&+\sum _{\textrm {perm}}\langle 0|T\left[\phi (x_{1})\ phi (x_{2})\right]|0\rangle \langle 0|T\left[\phi (x_{3})\phi (x_{4})\right]|0\rangle :\phi (x_ {5})\cdots \phi (x_{n}):\\\vdots \\&+\sum _{\textrm {perm}}\langle 0|T\left[\phi (x_{1})\ phi (x_{2})\right]|0\rangle \cdots \langle 0|T\left[\phi (x_{n-1})\phi (x_{n})\right]|0\rangle \ end{aligned}}$

där summeringen är över alla distinkta sätt på vilka man kan para ihop fält. Resultatet för $n$ udda ser likadant ut förutom den sista raden som lyder

$\sum _{\text{perm}}\langle 0|T\left[\phi (x_{1})\phi (x_{2})\right]|0\rangle \cdots \langle 0| T\vänster[\phi (x_{n-2})\phi (x_{n-1})\right]|0\rangle \phi (x_{n}).$

Detta teorem tillhandahåller en enkel metod för att beräkna vakuumförväntningsvärden för tidsbeställda produkter från operatörer och var motivet bakom införandet av normal ordning.

Alternativa definitioner

Den mest allmänna definitionen av normal ordning innebär att dela upp alla kvantfält i två delar (se till exempel Evans och Steer 1996) $\phi _{ i}(x)=\phi _{i}^{+}(x)+\phi _{i}^{-}(x)$ . I en produkt av fält delas fälten upp i de två delarna och $\phi ^{+}(x)$ delarna flyttas så att de alltid ligger till vänster om alla $\phi ^{-}(x)$ delar. I det vanliga fallet i resten av artikeln innehåller ${\displaystyle \phi ^{+}(x)} endast skapande operatorer, medan$$\phi ^{ -}(x)$ innehåller endast annihilationsoperatorer. Eftersom detta är en matematisk identitet kan man dela upp fält på vilket sätt man vill. Men för att detta ska vara en användbar procedur kräver man att den normalbeställda produkten av vilken kombination av fält som helst har noll förväntat värde

$\langle :\phi _{1}(x_{1})\phi _{2}(x_ {2})\ldots \phi _{n}(x_{n}):\rangle =0$

Det är också viktigt för praktiska beräkningar att alla kommutatorer (anti-kommutator för fermioniska fält) för alla $\phi _{i}^{+}$ och $\phi _{j }^{-}$ är alla c-nummer. Dessa två egenskaper gör att vi kan tillämpa Wicks sats på vanligt sätt och omvandla förväntningsvärden för tidsordnade produkter av fält till produkter av c-talspar, sammandragningarna. I denna generaliserade inställning definieras sammandragningen som skillnaden mellan den tidsbeställda produkten och den normala beställda produkten av ett par fält.

Det enklaste exemplet finns inom ramen för termisk kvantfältteori (Evans och Steer 1996). I detta fall är förväntade värden av intresse statistiska ensembler, spår över alla tillstånd viktade med $\exp(-\beta {\hat {H}})$ . Till exempel, för en enskild bosonisk kvantharmonisk oscillator har vi att det termiska förväntade värdet för taloperatorn helt enkelt är Bose–Einstein-fördelningen

$\ langle {\hat {b}}^{\dolk }{\hat {b}}\rangle ={\frac {\mathrm {Tr} (e^{-\beta \omega {\hat {b}}^{ \dagger }{\hat {b}}}{\hat {b}}^{\dolk }{\hat {b}})}{\mathrm {Tr} (e^{-\beta \omega {\hat {b}}^{\dolk }{\hat {b}}})}}={\frac {1}{e^{\beta \omega }-1}}$

Så här är taloperatorn ${\hat {b}}^{\dolk }{\hat {b}}$ normalordnad i den vanliga betydelsen som används i resten av artikeln men ändå termisk förväntningsvärdena är icke-noll. Att tillämpa Wicks teorem och göra beräkningar med den vanliga normalordningen i detta termiska sammanhang är möjligt men beräkningsmässigt opraktiskt. Lösningen är att definiera en annan ordning, så att $\phi _{i}^{+}$ och $\phi _{j}^{-}$ är linjära kombinationer av de ursprungliga förintelse- och skapelseoperatörerna. Kombinationerna är valda för att säkerställa att de termiska förväntade värdena för normala beställda produkter alltid är noll så den valda fördelningen kommer att bero på temperaturen.

• F. Mandl, G. Shaw, Quantum Field Theory, John Wiley & Sons, 1984.
• S. Weinberg, The Quantum Theory of Fields (Volum I) Cambridge University Press (1995)
• TS Evans, DA Steer, Wicks sats vid ändlig temperatur , Nucl. Phys B 474, 481-496 (1996) arXiv:hep-ph/9601268