Super Virasoro algebra

Inom matematisk fysik är en super Virasoro algebra en förlängning av Virasoro algebra (uppkallad efter Miguel Ángel Virasoro) till en Lie superalgebra . Det finns två förlängningar med särskild betydelse i supersträngteorin : Ramond-algebra (uppkallad efter Pierre Ramond ) och Neveu-Schwarz-algebra (uppkallad efter André Neveu och John Henry Schwarz ). Båda algebrorna har N = 1 supersymmetri och en jämn del ges av Virasoro-algebra. De beskriver symmetrierna för en supersträng i två olika sektorer, kallade Ramond-sektorn och Neveu-Schwarz-sektorn .

N = 1 super Virasoro algebror

Det finns två minimala förlängningar av Virasoro-algebra med N = 1 supersymmetri: Ramond-algebra och Neveu-Schwarz-algebra. De är båda Lie-superalgebra vars jämna del är Virasoro-algebra: denna Lie-algebra har en bas som består av ett centralt element C och generatorer L _m (för heltal m ) som uppfyller

$[L_{m},L_{n}]=(mn) L_{m+n}+{\frac {c}{12}}m(m^{2}-1)\delta _{m+n,0}$

där $\delta _{i,j}$ är Kroneckerdeltat .

Den udda delen av algebra har basen $G_{r}$ , där $r$ antingen är ett heltal (Ramond-fallet), eller ett halvt udda heltal (Neveu–Schwarz-fallet). I båda fallen ${\displaystyle c}$ central i superalgebra, och de extra graderade parenteserna ges av

$[L_{m},G_{r}]=\left({\frac {m}{2}}-r\right )G_{m+r}$

$\{G_{r},G_{s}\}=2L_{r+s }+{\frac {c}{3}}\left(r^{2}-{\frac {1}{4}}\right)\delta _{r+s,0}$

Observera att denna sista parentes är en antikommutator , inte en kommutator, eftersom båda generatorerna är udda.

Ramond-algebra har en presentation i termer av 2 generatorer och 5 villkor; och Neveu—Schwarz algebra har en presentation i termer av 2 generatorer och 9 villkor.

Framställningar

De enhetliga högst viktrepresentationerna av dessa algebror har en klassificering som är analog med den för Virasoro-algebra, med ett kontinuum av representationer tillsammans med en oändlig diskret serie. Existensen av dessa diskreta serier antogs av Daniel Friedan , Zongan Qiu och Stephen Shenker (1984). Det bevisades av Peter Goddard , Adrian Kent och David Olive (1986), med hjälp av en supersymmetrisk generalisering av coset-konstruktionen eller GKO-konstruktionen.

Tillämpning på supersträngteori

I supersträngteorin kan de fermioniska fälten på den slutna strängen vara antingen periodiska eller antiperiodiska på cirkeln runt strängen. Stater i "Ramond-sektorn" tillåter det ena alternativet (periodiska förhållanden hänvisas till som Ramond- gränsvillkor ), som beskrivs av Ramond-algebra, medan de i "Neveu–Schwarz-sektorn" medger det andra (anti-periodiska förhållanden hänvisas till som Neveu–Schwarz gränsförhållanden ), beskrivna av Neveu–Schwarz algebra.

För ett fermioniskt fält beror periodiciteten på valet av koordinater på världsarket . I w-frame , där världsarket för ett tillstånd med en enkel sträng beskrivs som en lång cylinder, är tillstånd i Neveu–Schwarz-sektorn antiperiodiska och tillstånd i Ramond-sektorn är periodiska. I z-ramen , där världsarket för ett enstaka strängtillstånd beskrivs som ett oändligt punkterat plan, är det motsatta sant.

Neveu–Schwarz-sektorn och Ramond-sektorn definieras också i den öppna strängen och beror på gränsförhållandena för det fermioniska fältet vid kanterna av den öppna strängen.

Se även

Anteckningar

Becker, K.; Becker, M.; Schwarz, JH (2007), String theory and M-theory: A modern introduction , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-86069-7
Goddard, P .; Kent, A.; Olive, D. (1986), "Unitary representations of the Virasoro and super-Virasoro algebras", Comm . Matematik. Phys. , 103 (1): 105–119, Bibcode : 1986CMaPh.103..105G , doi : 10.1007/bf01464283 , S2CID 91181508 , arkiverad från originalet 2012-2012
Green, Michael B .; Schwarz, John H .; Witten, Edward (1988a), Superstring theory, Volym 1: Introduktion , Cambridge University Press, ISBN 0521357527
Kac, Victor G.; Todorov, Ivan T. (1985), "Superkonforma strömalgebror och deras enhetliga representationer", Comm . Matematik. Phys. , 102 (2): 337–347, Bibcode : 1985CMaPh.102..337K , doi : 10.1007/bf01229384 , S2CID 189831973
Kazama, Yoichi; Suzuki, Hisao (1989), "New N = 2 superconformal field theories and superstring compactification", Nuclear Physics B , 321 (1): 232–268, Bibcode : 1989NuPhB.321..232K , doi : 10.1053(32016/320) 89)90250-2
Mezincescu, L.; Nepomechie, I.; Zachos, CK (1989). "(Super)konformalgebra på (super)torus". Kärnfysik B . 315 (1): 43. Bibcode : 1989NuPhB.315...43M . doi : 10.1016/0550-3213(89)90448-3 . {{ citera journal }} : CS1 underhåll: använder författarens parameter ( länk )