Resolvent formalism

I matematik är den resolventa formalismen en teknik för att tillämpa begrepp från komplex analys till studiet av spektrumet av operatorer på Banach-utrymmen och mer allmänna utrymmen. Formell motivering för manipulationerna kan hittas inom ramen för holomorf funktionell kalkyl .

Upplösningsmedlet fångar de spektrala egenskaperna hos en operator i den analytiska strukturen hos den funktionella . Givet en operator A kan resolventet definieras som

$R(z;A)=(A-zI)^{-1}~.$

Bland andra användningsområden kan upplösningsmedlet användas för att lösa de inhomogena Fredholm-integralekvationerna ; ett vanligt förekommande tillvägagångssätt är en serielösning, Liouville–Neumann-serien .

Upplösningsmedlet för A kan användas för att direkt få information om den spektrala nedbrytningen av A . Anta till exempel att λ är ett isolerat egenvärde i spektrumet av A . Det vill säga, anta att det finns en enkel sluten kurva $C_{\lambda }$ i det komplexa planet som skiljer λ från resten av spektrumet av A . Sedan återstoden

$-{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C_{\lambda }}(A-zI) ^{-1}~dz$

definierar en projektionsoperator på λ -egenrymden för A .

Ytterligare information: Frobenius kovariant och holomorf funktionell kalkyl

Hille –Yosida-satsen relaterar upplösningsmedlet genom en Laplace-transform till en integral över enparametersgruppen av transformationer som genereras av A . Således, till exempel, om A är en Hermitian , då är U ( t ) = exp( tA ) en enparametergrupp av enhetsoperatorer. Närhelst $|z|>\|A\|$ , upplösningen av A vid z kan uttryckas som Laplace-transformen

$R(z;A)=\int _{0}^{\infty }e^{-zt}U(t )~dt,$

där integralen tas längs strålen $\arg t=-\arg \lambda$ .

Historia

Den första stora användningen av den resolventa operatorn som en serie i A (jfr Liouville–Neumann-serien ) var av Ivar Fredholm , i en landmärke 1903 i Acta Mathematica som hjälpte till att etablera modern operatorteori .

Namnet resolvent gavs av David Hilbert .

Resolvent identitet

För alla z, w i ρ ( A ) , upplösningsmängden för en operator A , har vi att den första upplösningsidentiteten (även kallad Hilberts identitet) gäller :

$R(z;A)-R(w;A)=(wz)R(z;A)R(w;A)\,.$

(Observera att Dunford och Schwartz, citerade, definierar resolventet som ( zI −A ) ⁻¹ istället, så att formeln ovan skiljer sig i tecken från deras.)

Den andra upplösningsidentiteten är en generalisering av den första upplösningsidentiteten ovan, användbar för att jämföra upplösningsmedlen för två distinkta operatorer. Givet operatorerna A och B , båda definierade på samma linjära rymd, och z i ρ ( A ) ∩ ρ ( B ) gäller följande identitet,

$R(z;A)-R(z;B)=R(z;A)(AB)R(z;B)\,.$

Kompakt lösningsmedel

När man studerar en sluten obegränsad operator A : H → H på ett Hilbert-rum H , om det finns $z\in \rho (A)$ så att $R (z;A)$ är en kompakt operator , vi säger att A har kompakt resolvent. Spektrum $\sigma (A)$ för sådant A är en diskret delmängd av $\mathbb {C}$ . Om A dessutom är självadjoint , då $\sigma (A)\subset \mathbb {R}$ och det finns en ortonormal bas $\{v_ {i}\}_{i\in \mathbb {N} }$ av egenvektorer till A med egenvärden $\{\lambda _{i}\}_{i\in \mathbb {N} }$ respektive. Dessutom $\{\lambda _{i}\}$ ingen ändlig ackumuleringspunkt .

Se även

• Upplösningsmedel set
• Stones sats om enhetsgrupper med en parameter
• Holomorf funktionell kalkyl
• Spektral teori
• Kompakt operatör
• Laplace transformation
• Fredholms teori
• Serien Liouville–Neumann
• Nedbrytning av spektrum (funktionell analys)
• Begränsande absorptionsprincip

•   Dunford, Nelson ; Schwartz, Jacob T. (1988), Linear Operators, Part I General Theory , Hoboken, NJ: Wiley-Interscience, ISBN 0-471-60848-3
• Fredholm, Erik I. (1903), "Sur une classe d'equations fonctionnelles" (PDF) , Acta Mathematica , 27 : 365–390, doi : 10.1007/bf02421317
•   Hille, Einar ; Phillips, Ralph S. (1957), Functional Analysis and Semi-groups , Providence: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1031-6 .
•   Kato, Tosio (1980), Perturbation Theory for Linear Operators (2:a upplagan), New York, NY: Springer-Verlag, ISBN 0-387-07558-5 .
•   Taylor, Michael E. (1996), Partial Differential Equations I , New York, NY: Springer-Verlag, ISBN 7-5062-4252-4