Omvänd bildfunktion

I matematik, specifikt i algebraisk topologi och algebraisk geometri , är en invers avbilda funktor en kontravariant konstruktion av skivor ; här "kontravariant" i den mening som ges en karta $f:X\to Y$ , är den omvända bildfunktorn en funktor från kategorin skivor på Y till kategorin skivor på X . Direktbildsfunktionen är den primära operationen på skivor, med den enklaste definitionen . Den omvända bilden uppvisar några relativt subtila egenskaper.

Definition

Antag att vi får ett kärv ${\mathcal {G}}$ på $Y$ och att vi vill transportera ${\mathcal {G}}$ till $X$ med en kontinuerlig karta $f\colon X\to Y$ .

Vi kallar resultatet för den omvända bilden eller tillbakadragningskärven $-1}{\mathcal {G}}}$ { . Om vi ​​försöker imitera den direkta bilden genom att ställa in

$f^{-1}{\mathcal {G}}(U)={\mathcal {G}}(f(U))$

för varje öppen uppsättning $U$ av $X$ stöter vi omedelbart på ett problem: $f(U)$ är inte nödvändigtvis öppen. Det bästa vi kan göra är att approximera det med öppna set, och även då kommer vi att få en förkärv och inte en kärve. Följaktligen definierar vi $f^{-1}{\mathcal {G}}$ för att vara kärven som är associerad med förskarven :

$U\mapsto \varinjlim _{V\supseteq f(U)}{\mathcal {G}}(V).$

(Här är $U$ en öppen delmängd av $X$ och colimiten löper över alla öppna delmängder $V$ av $Y$ som innehåller $f( U)$ .)

Till exempel, om $f$ bara är inkluderingen av en punkt $y$ av $Y$ , då $f^{-1}({\ mathcal {F}})$ är bara stjälken av ${\mathcal {F}}$ vid denna tidpunkt.

Restriktionskartorna, såväl som funktionaliteten hos den omvända bilden följer av den universella egenskapen för direkta gränser .

När man har att göra med morfismer $f\colon X\to Y$ av lokalt ringade utrymmen , till exempel scheman i algebraisk geometri, arbetar man ofta med skivor av ${\mathcal {O}} _{Y}$ -moduler , där ${\mathcal {O}}_{Y}$ är strukturen för $Y$ . Då är funktorn $f^{-1}$ olämplig, eftersom den i allmänhet inte ens ger skivor av ${\mathcal {O}}_{X}$ -moduler. För att råda bot på detta definierar man i denna situation för en bunt av ${\mathcal {O}}_{Y}$ -moduler ${\mathcal {G}}$ dess omvända bild med

$f^{*}{\mathcal {G}}:=f^{-1}{\mathcal {G}}\otimes _ {f^{-1}{\mathcal {O}}_{Y}}{\mathcal {O}}_{X}$ .

Egenskaper

• Medan $f^{-1}$ är mer komplicerat att definiera än ${\displaystyle f_{\ast }},$ är stjälkarna lättare att beräkna: givet en punkt $x\ i X$ har man $(f^{-1}{\mathcal {G}})_{x}\cong {\mathcal {G}} _{f(x)}$ .
• $f^{-1}$ är en exakt funktion , vilket kan ses av ovanstående beräkning av stjälkarna.
• $f^{*}$ är (i allmänhet) bara rätt exakt. Om $f^{*}$ är exakt kallas f platt .
• $f^{-1}$ är den vänstra adjointen till den direkta bildfunktionen $f_{\ast }$ . Detta innebär att det finns naturliga enhets- och enhetsmorfismer ${\mathcal {G}}\rightarrow f_{*}f^{-1}{\mathcal {G}}$ och $f^{-1}f_{*}{\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {F}}$ . Dessa morfismer ger en naturlig tilläggskorrespondens:

$\mathrm {Hom} _{\mathbf {Sh} (X) }(f^{-1}{\mathcal {G}},{\mathcal {F}})=\mathrm {Hom} _{\mathbf {Sh} (Y)}({\mathcal {G}}, f_{*}{\mathcal {F}})$ .

Morfismerna ${\mathcal {G}}\rightarrow f_{*}f^{-1}{\mathcal {G}}$ och ${\displaystyle f^{-1}f_{*}{\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {F}}} är$ nästan aldrig isomorfismer. Till exempel, om $i\colon Z\to Y$ anger inkluderingen av en sluten delmängd, skaftet av $i_{*}i^{-1} {\mathcal {G}}$ i en punkt $y\in Y$ är kanoniskt isomorf till ${\mathcal {G}}_{y}$ om $y$ är i $Z$ och $0$ annars. Ett liknande tillägg gäller för fallet med moduler, som ersätter $i^{-1}$ med $i^{*}$ .

•    Iversen, Birger (1986), Cohomology of sheaves , Universitext, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-16389-3 , MR 0842190 . Se avsnitt II.4.