Relativ homologi

Inom algebraisk topologi , en gren av matematik , är (singular) homologin av ett topologiskt utrymme i förhållande till ett underrum en konstruktion i singular homologi , för par av utrymmen . Den relativa homologin är användbar och viktig på flera sätt. Intuitivt hjälper det att avgöra vilken del av en absolut homologigrupp som kommer från vilket underrum.

Definition

Givet ett delrum $A\subseteq X$ , kan man bilda den korta exakta sekvensen

0\to C_{\bullet }(A)\to C_{\bullet }(X) \to C_{\bullet }(X)/C_{\bullet }(A)\to 0,

där $C_{\bullet }(X)$ anger singularkedjorna på mellanrummet X . Gränskartan på $C_{\bullet }(X)$ går ner till $C_{\bullet }(A)$ och inducerar därför en gränskarta $\partial '_{\bullet }$ på kvoten. Om vi betecknar denna kvot med $C_{n}(X,A):=C_{n}(X)/C_{ n}(A)$ , vi har då ett komplex

\cdots \longrightarrow C_{n}(X,A)\xrightarrow {\partial '_{n}} C_{n-1}(X,A)\longrightarrow \cdots .

Per definition är den n: ^te relativa homologigruppen för paret av mellanslag $(X,A)$

H_{n}(X,A):=\ker \partial '_{n}/\operatörsnamn {im} \partial '_{n+1}.

Man säger att relativ homologi ges av de relativa cyklerna , kedjor vars gränser är kedjor på A , modulo de relativa gränserna (kedjor som är homologa med en kedja på A , dvs. kedjor som skulle vara gränser, modulo A igen).

Egenskaper

Ovanstående korta exakta sekvenser som specificerar de relativa kedjegrupperna ger upphov till ett kedjekomplex av korta exakta sekvenser. En applicering av ormlemmat ger sedan en lång exakt sekvens

\cdots \to H_{n}(A){\stackrel {i_{*}}{\to }}H_{n}(X){\stackrel {j_{*}}{\to }}H_ {n}(X,A){\stackrel {\partial }{\to }}H_{n-1}(A)\to \cdots .

Den anslutande kartan $\partial$ tar en relativ cykel, som representerar en homologiklass i $H_{n}(X,A)$ , till dess gräns (som är en cykel i A ).

Det följer att $H_{n}(X,x_{0})$ , där $x_{0}$ är en punkt i X , är den n -te reducerade homologin grupp av X. Med andra ord, $H_{i}(X,x_{0})=H_{i}(X)$ för alla $i> 0$ . När ${\displaystyle i=0} är$ H $\displaystyle H_{0}(X,x_{0})}$ den fria modulen med en rankning mindre än $H_ {0}(X)$ . Den anslutna komponenten som innehåller $x_{0}$ blir trivial i relativ homologi.

Excisionssatsen säger att borttagning av en tillräckligt fin delmängd $Z\delmängd A$ lämnar de relativa homologigrupperna $H_{n}(X,A)$ oförändrade . Med hjälp av den långa exakta sekvensen av par och excisionssatsen kan man visa att $H_{n}(X,A)$ är samma som de n -te reducerade homologigrupperna i kvoten mellanslag $X/A$ .

Relativ homologi sträcker sig lätt till trippeln $(X,Y,Z)$ för $Z\subset Y\subset X$ .

Man kan definiera Euler-karakteristiken för ett par $Y\subset X$ med

\chi (X,Y)=\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}\operatörsnamn {rank} H_{j}(X,Y).

Sekvensens exakthet innebär att Euler-karakteristiken är additiv , dvs om $Z\subset Y\subset X$ , har man

\chi (X,Z)=\chi (X,Y)+\chi (Y,Z).

Lokal homologi

Den $n$ -:te lokala homologigruppen i ett mellanslag $X$ i en punkt $x_{0}$ , betecknad

H_{n,\{x_{0}\}}(X)

definieras som den relativa homologigruppen $H_{n}(X,X\setminus \{x_{0}\})$ . Informellt är detta den "lokala" homologin för $X$ nära $x_{0}$ .

Lokal homologi av konen CX vid ursprunget

Ett enkelt exempel på lokal homologi är att beräkna den lokala homologin för konen (topologin) för ett utrymme vid konens ursprung. Kom ihåg att konen definieras som kvotutrymmet

CX=(X\ gånger I)/(X\ gånger \{0\}),

där $X\times \{0\}$ har subrymdstopologin. Sedan är origo $x_{0}=0$ ekvivalensklassen för punkter $[X\times 0]$ . Genom att använda intuitionen att den lokala homologigruppen $H_{*,\{x_{0}\}}(CX)$ av $CX$ vid ${\ displaystyle x_{0}}$ fångar homologin för $CX$ "nära" origo, vi bör förvänta oss att detta är homologin för $H_{*}(X)$ eftersom $CX\setminus \{x_{0}\}$ har en homotopi att dra tillbaka till $X$ . Beräkning av den lokala homologin kan sedan göras med användning av den långa exakta sekvensen i homologi

{\begin{aligned}\to &H_{n}(CX\setminus \{x_{0}\})\to H_{n}(CX)\to H_{n,\{x_{0}\ }}(CX)\\\till &H_{n-1}(CX\setminus \{x_{0}\})\till H_{n-1}(CX)\till H_{n-1,\{x_ {0}\}}(CX).\end{aligned}}

Eftersom konen i ett utrymme är sammandragbar , är de mellersta homologigrupperna alla noll, vilket ger isomorfismen

{\begin{aligned}H_{n,\{x_{0 }\}}(CX)&\cong H_{n-1}(CX\setminus \{x_{0}\})\\&\cong H_{n-1}(X),\end{aligned}}

eftersom $CX\setminus \{x_{0}\}$ är sammandragbar till $X$ .

I algebraisk geometri

Notera att den tidigare konstruktionen kan bevisas i algebraisk geometri med den affina konen av en projektiv variant $X$ med hjälp av lokal kohomologi .

Lokal homologi av en punkt på ett jämnt grenrör

En annan beräkning för lokal homologi kan beräknas på en punkt $p$ i ett grenrör $M$ . Låt sedan $K$ vara en kompakt grannskap av $p$ isomorf till en stängd disk ${\displaystyle \mathbb {D} ^{n}=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:|x|\leq 1\}} och låt U$ = $displaystyle U=M\setminus K}$ . Med hjälp av excisionssatsen finns en isomorfism av relativa homologigrupper

{\begin{aligned }H_{n}(M,M\setminus \{p\})&\cong H_{n}(M\setminus U,M\setminus (U\kopp \{p\}))\\&=H_{ n}(K,K\setminus \{p\}),\end{aligned}}

därför reduceras den lokala homologin för en punkt till den lokala homologin för en punkt i en sluten boll $\mathbb {D} ^{n}$ . På grund av homotopi-ekvivalensen

\mathbb {D} ^{n}\setminus \{0\}\simeq S^{n-1}

och faktum

H_{k}(\mathbb {D} ^{n})\cong {\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0\\ 0&k\neq 0,\end{cases}}

den enda icke-triviala delen av den långa exakta sekvensen av paret $(\mathbb {D} ,\mathbb {D} \setminus \{0\})$ är

0\to H_{n,\{0\}}(\mathbb {D} ^{n}) \till H_{n-1}(S^{n-1})\till 0,

därför är den enda lokala homologigruppen som inte är noll $H_{n,\{0\}}(\mathbb {D} ^{n})$ .

Funktionalitet

Precis som i absolut homologi inducerar kontinuerliga kartor mellan utrymmen homomorfismer mellan relativa homologigrupper. Faktum är att denna karta är exakt den inducerade kartan på homologigrupper, men den går ner till kvoten.

Låt $(X,A)$ och $(Y,B)$ vara par av blanksteg så att $A\subseteq X$ och $B\subseteq Y$ , och låt $f\colon X\to Y$ vara en kontinuerlig karta. Sedan finns det en inducerad karta ${\displaystyle f_{\#}\colon C_{n}(X)\to C_{n}(Y)} på$ ( absoluta) kedjegrupper. Om $f(A)\subseteq B$ , då $f_{\#}(C_{n}(A) ))\subseteq C_{n}(B)$ . Låta

${\begin{aligned}\ pi _{X}&:C_{n}(X)\longrightarrow C_{n}(X)/C_{n}(A)\\\pi _{Y}&:C_{n}(Y)\longrightarrow C_{n}(Y)/C_{n}(B)\\\end{aligned}}$

vara de naturliga projektionerna som tar element till sina ekvivalensklasser i kvotgrupperna . Därefter kartan $\pi _{Y}\circ f_{\#}\colon C_{n}(X )\to C_{n}(Y)/C_{n}(B)$ är en grupphomomorfism. Eftersom $f_{\#}(C_{n}(A))\subseteq C_{n}(B)=\ker \pi _{Y}$ , denna karta sjunker till kvoten, vilket inducerar en väldefinierad karta ${\displaystyle \ varphi \colon C_{n}(X)/C_{n}(A)\to C_{n}(Y)/C_{n}(B)} så att följande diagram pendlar$ :

Kedjekartor inducerar homomorfismer mellan homologigrupper, så $f$ inducerar en karta $f_{*}\colon H_{n}( X,A)\till H_{n}(Y,B)$ på de relativa homologigrupperna.

Exempel

En viktig användning av relativ homologi är beräkningen av homologigrupperna för kvotutrymmen $X/A$ . I fallet att $A$ är ett delrum till $X$ som uppfyller det milda regelbundenhetsvillkoret att det finns en grannskap av $A$ som har $A$ som en deformationsretur, då är gruppen ${\tilde {H}}_{n}(X/A)$ isomorf till $H_{n}(X ,A)$ . Vi kan omedelbart använda detta faktum för att beräkna homologin för en sfär. Vi kan realisera $S^{n}$ som kvoten för en n-skiva genom dess gräns, dvs $S^{n}=D^{n }/S^{n-1}$ . Användning av den exakta sekvensen av relativ homologi ger följande: $\cdots \to {\tilde {H}}_{n}(D^{n})\högerpil H_{n}(D^{n},S^{n-1})\högerpil {\ tilde {H}}_{n-1}(S^{n-1})\högerpil {\tilde {H}}_{n-1}(D^{n})\to \cdots .$

Eftersom skivan är sammandragbar vet vi att dess reducerade homologigrupper försvinner i alla dimensioner, så ovanstående sekvens kollapsar till den korta exakta sekvensen:

$0\rightarrow H_{n}(D^{n},S^{n-1 })\högerpil {\tilde {H}}_{n-1}(S^{n-1})\högerpil 0.$

Därför får vi isomorfismer $H_{n}(D^{n},S^{n-1}) \cong {\tilde {H}}_{n-1}(S^{n-1})$ . Vi kan nu gå vidare med induktion för att visa att $H_{n}(D^{n},S^{n-1})\cong \mathbb {Z }$ . Eftersom $S^{n-1}$ är deformationsåtergången av ett lämpligt område av sig självt i $D^{n}$ får vi att $H_{n}(D^{n},S^{n-1})\cong {\tilde {H}}_{n}( S^{n})\cong \mathbb {Z}$ .

Ett annat insiktsfullt geometriskt exempel ges av den relativa homologin för $(X=\mathbb {C} ^{*},D=\{1,\alpha \ })$ där $\alpha \neq 0,1$ . Då kan vi använda den långa exakta sekvensen

{\begin{aligned}0&\to H_{1}(D)\to H_{1}(X)\to H_{1}(X,D)\\&\to H_{0}(D)\till H_{0}(X)\till H_{0}(X,D)\end{aligned}}={\begin{aligned}0&\to 0\to \mathbb {Z } \to H_{1}(X,D)\\&\to \mathbb {Z} ^{\oplus 2}\to \mathbb {Z} \to 0\end{aligned}}

Genom att använda sekvensens exakthet kan vi se att $H_{1}(X,D)$ innehåller en slinga $\sigma$ moturs runt origo. Eftersom kokkärnan av $\phi \colon \mathbb {Z} \to H_{1}(X,D)$ passar in i den exakta sekvensen