Quadric (algebraisk geometri)

Den här artikeln handlar om kvadriker i algebraisk geometri . För kvadriker över de reella talen , se kvadrisk .

De två familjerna av linjer på en slät (delad) kvadratisk yta

Inom matematiken är en quadric eller quadric hyperyta delrummet av N -dimensionellt utrymme som definieras av en polynomekvation av grad 2 över ett fält . Quadrics är grundläggande exempel inom algebraisk geometri . Teorin förenklas genom att arbeta i projektivt rum snarare än affint rum. Ett exempel är den kvadriska ytan

$xy=zw$

i projektivt utrymme ${\mathbf {P} }^{3}$ över de komplexa talen C . En quadric har en naturlig verkan av den ortogonala gruppen , och därför kan studiet av quadrics betraktas som en ättling till den euklidiska geometrin .

Många egenskaper hos quadrics gäller mer generellt för projektiva homogena varianter . En annan generalisering av quadrics tillhandahålls av Fano-varianter .

Grundläggande egenskaper

Per definition är ett kvadriskt X med dimensionen n över ett fält k delrummet av $\mathbf {P} ^{n+1}$ definierat av q = 0, där q är ett homogent polynom som inte är noll grad 2 över k i variablerna $x_{0},\ldots ,x_{n+1}$ . (Ett homogent polynom kallas också en form , och därför kan q kallas en kvadratisk form .) Om q är produkten av två linjära former, då är X föreningen av två hyperplan . Det är vanligt att anta att $n\geq 1$ och q är irreducible , vilket utesluter det speciella fallet.

Här betraktas algebraiska varianter över ett fält k som en speciell klass av scheman över k . När k är algebraiskt stängd kan man också tänka på en projektiv varietet på ett mer elementärt sätt, som en delmängd av ${\mathbf {P} } ^{N}(k)=(k^{N+1}-0)/k^{*}$ definieras av homogena polynomekvationer med koefficienter i k .

En singulär fyrkantig yta, konen över en slät konisk kurva

Om q kan skrivas (efter en viss linjär förändring av koordinater) som ett polynom i en riktig delmängd av variablerna, så är X den projektiva könen över en lägre dimensionell kvadrik. Det är rimligt att fokusera uppmärksamheten på fallet där X inte är en kon. För k med egenskapen inte 2 är X inte en kon om och endast om X är jämn över k . När k har egenskapen inte 2, är jämnheten för en kvadris också ekvivalent med den hessiska matrisen för q som har en determinant som inte är noll , eller med den associerade bilinjära formen b ( x , y ) = q ( x + y ) – q ( x ) – q ( y ) att vara icke degenererad . I allmänhet, för k av karakteristika inte 2, betyder rangen för en quadric rangordningen för den hessiska matrisen. En quadric med rang r är en itererad kon över en jämn quadric med dimensionen r − 2.

Det är ett grundläggande resultat att en jämn kvadrik över ett fält k är rationell över k om och endast om X har en k - rationell punkt . Det vill säga om det finns en lösning av ekvationen q = 0 av formen $(a_{0},\ldots ,a_{n+1})$ med $a_{0},\ldots ,a_{n+1}$ i k , inte alla noll (därav motsvarande en punkt i projektiv rymd), då finns det en en-till-en överensstämmelse definierad av rationella funktioner över k mellan ${\mathbf {P} }^{n}$ minus en lägre dimensionell delmängd och X minus en lägre dimensionell delmängd. Till exempel, om k är oändligt, följer det att om X har en k -rationell punkt så har den oändligt många. Denna likvärdighet bevisas genom stereografisk projektion . I synnerhet är varje kvadratisk över ett algebraiskt slutet fält rationell.

En kvadrik över ett fält k kallas isotrop om den har en k -rationell punkt. Ett exempel på en anisotrop quadric är quadric

$x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+\cdots +x_{n+1}^{2}= 0$

i projektivt rymd ${\mathbf {P} }^{n+1}$ över de reella talen R .

Linjära delrum av kvadriker

En central del av geometrin i kvadriken är studiet av de linjära utrymmen som de innehåller. (I sammanhanget för projektiv geometri är ett linjärt delrum av ${\mathbf {P} }^{N}$ isomorft till ${\mathbf {P} }^{a}$ för vissa $a\leq N$ .) En nyckelpunkt är att varje linjärt utrymme som finns i en jämn kvadris har dimensionen högst halva dimensionen av kvadriken. Dessutom, när k är algebraiskt stängd, är detta en optimal gräns, vilket betyder att varje jämn kvadrik av dimension n över k innehåller ett linjärt delrum av dimension $\lfloor n/2\rfloor$ .

Över vilket fält k som helst kallas en jämn kvadrik med dimension n split om den innehåller ett linjärt utrymme med dimension $\lfloor n/2\rfloor$ över k . Således delas varje jämn kvadric över ett algebraiskt stängt fält. Om ett kvadriskt X över ett fält k delas, kan det skrivas (efter en linjär ändring av koordinater) som

$x_{0}x_{1}+x_{2}x_{3}+\cdots +x_{2m-2}x_{2m-1}+x_{2m}^{2}=0$

om X har dimensionen 2 m − 1, eller

$x_{0}x_{1}+x_{2}x_{3}+\cdots +x_{2m}x_{ 2m+1}=0$

om X har dimension 2 m . I synnerhet, över ett algebraiskt stängt fält, finns det bara en jämn kvadrik av varje dimension, upp till isomorfism.

För många tillämpningar är det viktigt att beskriva utrymmet Y för alla linjära delrum med maximal dimension i en given jämn kvadrisk X . (För tydlighetens skull, anta att X är delad över k .) Ett slående fenomen är att Y hänger ihop om X har en udda dimension, medan den har två sammankopplade komponenter om X har en jämn dimension. Det vill säga, det finns två olika "typer" av maximala linjära utrymmen i X när X har en jämn dimension. De två familjerna kan beskrivas med: för en jämn kvadrisk X med dimensionen 2 m , fixera ett m -plan Q som finns i X . Sedan särskiljs de två typerna av m -plan P som finns i X genom om dimensionen av skärningspunkten $P\cap Q$ är jämn eller udda. (Den tomma uppsättningens dimension antas vara -1 här.)

Lågdimensionella kvadricker

Låt X vara en delad kvadrik över ett fält k . (I synnerhet X vara vilken som helst jämn kvadratisk över ett algebraiskt slutet fält.) I låga dimensioner kan X och de linjära utrymmen som den innehåller beskrivas enligt följande.

• En kvadrisk kurva i $\mathbf {P} ^{2}$ kallas en konisk . En delad konisk över k är isomorf till den projektiva linjen $\mathbf {P} ^{1}$ över k , inbäddad i $\mathbf {P} ^{2}$ av 2:a Veronese inbäddning . (Till exempel, ellipser, paraboler och hyperboler är olika typer av koniska koner i det affina planet över R , men deras stängningar i det projektiva planet är alla isomorfa till $\mathbf {P} ^{1}$ över R . )

• En delad kvadratisk yta X är isomorf till ${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}\times \mathbf {P} ^{1}} ,$ inbäddad i $\mathbf {P } ^{3}$ av Segre-inbäddningen . Linjeutrymmet i den kvadriska ytan X har två sammankopplade komponenter, var och en isomorf till $\mathbf {P} ^{1}$ .

• En delad quadric 3-faldig X kan ses som en isotrop Grassmannian för den symplektiska gruppen Sp(4, k ). (Detta är relaterat till den exceptionella isomorfismen av linjära algebraiska grupper mellan SO(5, k ) och $\operatorname {Sp} (4,k)/\{\pm 1\}$ .) Givet ett 4-dimensionellt vektorrum V med en symplektisk form , kan det kvadratiska 3-faldiga X identifieras med utrymmet LGr(2,4) av 2-plan i V som formen begränsar till noll. Dessutom är linjeutrymmet i det kvadriska 3-faldiga X isomorft till $\mathbf {P} ^{3}$ .

• En delad kvadratisk 4-faldig X kan ses som Grassmannian Gr(2,4), rymden av 2-plan i ett 4-dimensionellt vektorrum (eller motsvarande, av linjer i $\mathbf {P} ^{3}$ ). (Detta är relaterat till den exceptionella isomorfismen av linjära algebraiska grupper mellan SO(6, k ) och $\operatorname {SL} (4,k)/\{\pm 1\}$ .) Utrymmet för 2-plan i det kvadriska 4-faldiga X har två sammankopplade komponenter, var och en isomorf till $\mathbf {P} ^{3}$ .

• Utrymmet av 2-plan i en delad quadric 5-faldig är isomorft till en delad quadric 6-faldig. På samma sätt är båda komponenterna i utrymmet av 3-plan i en delad quadric 6-faldig isomorfa till en delad quadric 6-faldig. (Detta är relaterat till fenomenet triality för gruppen Spin(8).)

Som dessa exempel antyder, har utrymmet för m -plan i en delad kvadrik med dimensionen 2 m alltid två sammankopplade komponenter, var och en isomorf till den isotropa Grassmannian av ( m − 1)-plan i en delad quadric med dimensionen 2 m − 1. Varje reflektion i den ortogonala gruppen mappar en komponent isomorft till den andra.

Bruhat-nedbrytningen

En slät quadric över ett fält k är en projektiv homogen variation för den ortogonala gruppen (och för den speciella ortogonala gruppen ), sedd som linjära algebraiska grupper över k . Liksom någon projektiv homogen sort för en delad reduktiv grupp , har en delad quadric X en algebraisk cellnedbrytning, känd som Bruhat-nedbrytningen . (Särskilt gäller detta för varje jämn kvadratisk över ett algebraiskt stängt fält.) Det vill säga, X kan skrivas som en finit förening av disjunkta delmängder som är isomorfa för att affina rum över k av olika dimensioner. (För projektiva homogena varianter kallas cellerna för Schubert-celler , och deras förslutningar kallas Schubert-varianter .) Cellulära varianter är mycket speciella bland alla algebraiska varianter. Till exempel är en cellulär sort rationell och (för k = C ) är Hodge-teorin om en smidig projektiv cellulär sort trivial, i den meningen att $h^{p,q} (X)=0$ för $p\neq q$ . För en cellulär variant Chow-gruppen av algebraiska cykler på X den fria abelska gruppen på uppsättningen av celler, liksom den integrerade homologin för X (om k = C ).

En delad kvadratisk X med dimension n har bara en cell av varje dimension r , utom i mittdimensionen av en jämn dimensionell kvadratisk, där det finns två celler. Motsvarande cellförslutningar (Schubert-varianter) är:

• För $0\leq r<n/2$ , ett linjärt mellanslag $\mathbf {P} ^{r}$ som finns i X .

• För r = n /2 är båda Schubert-varianterna linjära utrymmen $\mathbf {P} ^{r}$ som finns i X , en från var och en av de två familjerna av mellandimensionella linjära utrymmen (som beskrivits ovan) .

• För $n/2<r\leq n$ , är Schubert-varianten av dimension r skärningspunkten mellan X och ett linjärt utrymme med dimensionen r + 1 i $\ mathbf {P} ^{n+1}$ ; så det är en r -dimensionell kvadrik. Det är den itererade könen över en jämn kvadric med dimensionen 2 r − n .

Med Bruhat-sönderdelningen är det enkelt att beräkna Chow-ringen för en delad kvadrik med dimension n över ett fält, enligt följande. När basfältet är de komplexa talen är detta också den integrala kohomologiringen av en jämn kvadrik, med $CH^{j}$ isomorft avbildning till $\displaystyle H^{2j}}$ . (Kohomologin i udda grader är noll.)

• För n = 2 m − 1, ${\displaystyle CH^{*}(X)\cong \mathbb {Z$ , där | h | = 1 och | l | = m .

• För n = 2 m , $*}(X)\ cong \mathbb {Z} [h,l]/(h^{m+1}-2hl,l^{2}-ah^{m}l)} ,$ där | h | = 1 och | l | = m , och a är 0 för m udda och 1 för m jämnt.

Här är h klassen för en hyperplansektion och l är klassen för ett maximalt linjärt delrum av X . (För n = 2 m är klassen för den andra typen av maximalt linjärt delrum $h^{m}-l$ .) Den här beräkningen visar betydelsen av de linjära delrymden i en kvadrik: Chow ring av alla algebraiska cykler på X genereras av det "uppenbara" elementet h (draget tillbaka från klassen $c_{1}O(1)$ i ett hyperplan i ${\ displaystyle {\mathbf {P} }^{n+1}}$ ) tillsammans med klassen för ett maximalt linjärt delrum av X .

Isotropa Grassmannians och spinorsorten

Utrymmet av r -plan i en jämn n -dimensionell kvadrisk (som själva kvadriken) är en projektiv homogen variant, känd som den isotropa Grassmannian eller ortogonal Grassmannian OGr( r + 1, n + 2). (Numreringen hänvisar till dimensionerna för motsvarande vektorrum. I fallet med mellandimensionella linjära delrum av en kvadratisk med jämn dimension 2 m , skriver man $\ operatornamn {OGr} _{+}(m+1,2m+2)$ för en av de två sammankopplade komponenterna.) Som ett resultat av detta har de isotropa Grassmannians i en delad quadric över ett fält också algebraiska cellnedbrytningar.

Den isotropiska Grassmannian W = OGr( m ,2 m + 1) av ( m − 1)-plan i en slät kvadrisk av dimensionen 2 m − 1 kallas även spinorvarianten , av dimensionen m ( m + 1)/2. (En annan beskrivning av spinorvarianten är som ${\displaystyle \operatorname {OGr} _{+}(m+1,2m+2)} .)$ För att förklara namnet : den minsta SO(2 m + 1)- ekvivariant projektiv inbäddning av W -land i projektivt utrymme med dimensionen $2^{m}-1$ . Verkan av SO(2 m + 1) på detta projektiva utrymme kommer inte från en linjär representation av SO(2 m +1) över k , utan snarare från en representation av dess enkelt sammankopplade dubbelhölje, spingruppen Spin(2 m + 1) över k . Detta kallas spinrepresentationen av Spin(2 m + 1), av dimensionen $2^{m}$ .

Över de komplexa talen är den isotropiska Grassmanniska OGr( r + 1, n + 2) av r -planen i ett n -dimensionellt kvadrisk X ett homogent utrymme för den komplexa algebraiska gruppen ${ \displaystyle G=\operatörsnamn {SO} (n+2,\mathbf {C} )} ,$ och även för dess maximala kompakta undergrupp , den kompakta Lie-gruppen SO( n + 2). Ur den senare synvinkeln är denna isotropa Grassmannian

$\operatörsnamn {SO} (n+2)/(\operatörsnamn {U} (r+ 1)\ gånger \operatörsnamn {SO} (n-2r)),$

där U( r +1) är den enhetliga gruppen . För r = 0 är den isotropa Grassmannian själva kvadriken, vilket därför kan ses som

$\operatörsnamn {SO} (n+2)/(\operatörsnamn {U} (1)\ gånger \operatörsnamn {SO} (n)).$

Till exempel kan den komplexa spinorvarianten OGr( m , 2 m + 1) ses som SO(2 m + 1)/U( m ), och även som SO(2 m +2)/U( m +1) . Dessa beskrivningar kan användas för att beräkna kohomologiringen (eller motsvarande Chow-ringen) för spinorsorten:

$CH^{*}\operatörsnamn {OGr} (m,2m+1)\cong \mathbb {Z} [e_{1},\ ldots ,e_{m}]/(e_{j}^{2}-2e_{j-1}e_{j+1}+2e_{j-2}e_{j+2}-\cdots +(-1 )^{j}e_{2j}=0{\text{ för alla }}j),$

där Chern-klasserna $c_{j}$ i den naturliga rank -m vektorbunten är lika med $2e_{j}$ . Här förstås ${\displaystyle e_{j}} som 0 för$ j > m .

Spinor-buntar på quadrics

Spinorbuntarna spelar en speciell roll bland alla vektorbuntar på en quadric, analogt med de maximala linjära delrymden bland alla undervarieteter av en quadric . För att beskriva dessa buntar, låt X vara en delad kvadrik med dimensionen n över ett fält k . Den speciella ortogonala gruppen SO( n +2) över k verkar på X och därför även dess dubbla täckning, spinngruppen G = Spin( n +2) över k . I dessa termer X ett homogent utrymme G / P , där P är en maximal parabolisk undergrupp av G . Den halvenkla delen av P är spingruppen Spin( n ), och det finns ett standardsätt att utöka spinrepresentationerna av Spin( n ) till representationer av P . (Det finns två spinnrepresentationer $V_{+},V_{-}$ för n = 2 m , var och en med dimensionen $2^{m-1}$ , och en spinrepresentation V för n = 2 m − 1, av dimensionen ${\displaystyle 2^{m-1}} .) Sedan$ definieras spinorbuntarna på den kvadratiska X = G / P som G -ekvivarianten vektorbuntar associerade med dessa representationer av P . Så det finns två spinorbuntar $S_{+},S_{-}$ av rang $2^{m-1}$ för n = 2 m , och en spinor bunt S av rang $2^{m-1}$ för n = 2 m − 1. För n jämn, växlar varje reflektion i den ortogonala gruppen de två spinorbuntarna på X .

Till exempel är de två spinorbuntarna på en kvadratisk yta $X\cong \mathbf {P} ^{1}\times \mathbf {P} ^{1}$ linjebuntarna O (−1,0) och O(0,−1). Spinorbunten på ett fyrfaldigt 3-faldigt X är det naturliga rank-2-underpaketet på X ses som den isotropa Grassmannian av 2-plan i ett 4-dimensionellt symplektiskt vektorrum.

För att indikera betydelsen av spinorbuntarna: Mikhail Kapranov visade att den avgränsade härledda kategorin av koherenta skivor på en delad quadric X över ett fält k har en fullständig exceptionell samling som involverar spinorbuntarna, tillsammans med de "uppenbara" linjebuntarna O ( j ) begränsad från projektivt utrymme:

$D^{b}(X)=\langle S_{+},S_{ -},O,O(1),\ldots ,O(n-1)\rangle$

om n är jämnt, och

$D^{b}(X)=\langle S,O,O(1),\ldots ,O(n-1)\rangle$

om n är udda. Konkret innebär detta det delade fallet av Richard Swans beräkning av Grothendieck-gruppen av algebraiska vektorbuntar på en jämn kvadrik; det är den fria abelska gruppen

$K_{0}(X)=\mathbb {Z} \{S_{+ },S_{-},O,O(1),\ldots ,O(n-1)\}$

för n jämn, och

$K_{0}(X)=\mathbb {Z} \{S,O,O(1 ),\ldots ,O(n-1)\}$

för n udda. När k = C , ges den topologiska K-gruppen $K^{0}(X)$ (av kontinuerliga komplexa vektorbuntar på det kvadriska X ) av samma formel, och $K^{1}(X)$ är noll.

Anteckningar

•    Elman, Richard ; Karpenko, Nikita; Merkurjev, Alexander (2008), Algebraisk och geometrisk teori om kvadratiska former , American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-4329-1 , MR 2427530
•    Fulton, William (1998), Intersection Theory , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98549-7 , MR 1644323
•    Harris, Joe (1995), Algebraic geometri: a first course , Springer-Verlag, ISBN 0-387-97716-3 , MR 1416564
•    Kapranov, Mikhail (1988), " On the derived categories of coherent sheaves on some homogeneous spaces", Inventiones Mathematicae , 92 (3): 479–508, Bibcode : 1988InMat..92..479K , doi : 10.4037, 10.4107 0939472 , S2CID 119584668
•    Mimura, Mamoru; Toda, Hirosi (1992), Topology of Lie groups , American Mathematical Society, ISBN 978-0821813423 , MR 1122592
•   Ottaviani, Giorgio (1988), "Spinor bundles on quadrics", Transactions of the American Mathematical Society , 307 : 301–316, doi : 10.1090/S0002-9947-1988-0936818-5 , MR 818099
•    Swan, Richard (1985), "K-theory of quadric hypersurfaces", Annals of Mathematics , 122 (1): 113–153, doi : 10.2307/1971371 , JSTOR 1971371 , MR 0799254