Smidigt schema

I algebraisk geometri är ett jämnt schema över ett fält ett schema som är väl approximerat av affint utrymme nära vilken punkt som helst. Jämnhet är ett sätt att precisera uppfattningen om ett schema utan några enstaka punkter. Ett specialfall är föreställningen om en jämn variation över ett fält. Släta scheman spelar rollen i algebraisk geometri för grenrör i topologi.

Definition

Låt först X vara ett affint schema av finit typ över ett fält k . På motsvarande sätt har X en sluten nedsänkning i affint utrymme A ⁿ över k för något naturligt tal n . Då X det slutna delschemat som definieras av några ekvationer g ₁ = 0, ..., gi _g r ₌ 0, där varje är i polynomringen k [ x ₁ ,..., x _n ]. Det affina schemat X är jämnt av dimensionen m över k om X har dimensionen minst m i närheten av varje punkt, och matrisen av derivator (∂ g _i /∂ x _j ) har minst n − m rangordning överallt på X . (Därav följer att X har en dimension lika med m i närheten av varje punkt.) Jämnhet är oberoende av valet av nedsänkning av X i affint utrymme.

Villkoret på matrisen av derivator förstås som att den slutna delmängden av X där alla ( n − m ) × ( n − m ) minorer i matrisen av derivator är noll är den tomma mängden. På motsvarande sätt är _idealet i polynomringen som genereras av alla gi och alla dessa mindre hela polynomringen.

I geometriska termer ger matrisen av derivator (∂ g _i /∂ x _j ) vid en punkt p i X en linjär karta F ⁿ → F ^r , där F är restfältet för p . Kärnan i denna karta kallas Zariski-tangensrummet för X vid p . Jämnheten hos X betyder att dimensionen på Zariski-tangensrummet är lika med dimensionen på X nära varje punkt; vid en singulär punkt skulle Zariski-tangensutrymmet vara större.

Mer generellt är ett schema X över ett fält k jämnt över k om varje punkt i X har en öppen grannskap som är ett jämnt affint schema av någon dimension över k . I synnerhet är ett jämnt schema över k lokalt av finit typ .

Det finns en mer allmän uppfattning om en slät morfism av scheman, som ungefär är en morfism med släta fibrer. I synnerhet är ett schema X jämnt över ett fält k om och endast om morfismen X → Spec k är jämn.

Egenskaper

Ett smidigt schema över ett fält är regelbundet och därför normalt . I synnerhet minskas ett smidigt schema över ett fält .

Definiera en variation över ett fält k som ett integrerat separerat schema av finit typ över k . Då är varje jämnt separerat schema av finit typ över k en finit disjunkt förening av jämna varianter över k .

För en jämn variation X över de komplexa talen är utrymmet X ( C ) för komplexa punkter i X ett komplext mångfald , med den klassiska (euklidiska) topologin. På samma sätt, för en jämn variation X över de reella talen , är utrymmet X ( R ) av reella punkter en reell mångfald , möjligen tom.

För varje schema X som lokalt är av ändlig typ över ett fält k , finns det en koherent sträng Ω ¹ av differentialer på X . Schemat X är jämnt över k om och endast om Ω ¹ är en vektorbunt av rang lika med dimensionen av X nära varje punkt. I så fall kallas Ω ^{1 för} cotangensknippet av X . Tangentbunten för ett jämnt schema över k kan definieras som det dubbla knippet, TX = (Ω ¹ ) ^* .

Jämnhet är en geometrisk egenskap , vilket betyder att för varje fältförlängning E av k , är ett schema X jämnt över k om och endast om schemat X _E := X × _{Spec k} Spec E är jämnt över E. För ett perfekt fält k är ett schema X jämnt över k om och endast om X är lokalt av finit typ över k och X är regelbundet .

Generisk jämnhet

Ett schema X sägs vara generiskt jämnt av dimension n över k om X innehåller en öppen tät delmängd som är jämn av dimension n över k . Varje sort över ett perfekt fält (särskilt ett algebraiskt stängt fält) är generiskt jämn.

Exempel

Affint utrymme och projektivt utrymme är jämna scheman över ett fält k .
Ett exempel på en slät hyperyta i projektivt utrymme _{P n över k är Fermat-hyperytan xd + ... + xn} d ⁼ over k is the Fermat hypersurface x₀^d + ... + x^d = 0, for any positive integer d that is invertible in k.
Ett exempel på ett singulärt (icke jämnt) schema över ett fält k är det slutna underschemat x ² = 0 i den affina linjen A ¹ över k .
Ett exempel på en singular (icke-slät) variant över k är den kuspidala kubiska kurvan x ² = y ³ i det affina planet A ² , som är slät utanför origo ( x , y ) = (0,0).
En 0-dimensionell variation X över ett fält k är av formen X = Spec E , där E är ett ändligt förlängningsfält av k . Sorten X är jämn över k om och endast om E är en separerbar förlängning av k . Således, om E inte är separerbar över k , så är X ett vanligt schema men är inte jämnt över k . Låt till exempel k vara fältet för rationella funktioner F _p ( t ) för ett primtal p , och låt E = F _p ( t1 ^{/ p} ); då är Spec E en variation av dimension 0 över k som är ett vanligt schema, men inte jämnt över k .
Schubert-varianter är i allmänhet inte släta.

Anteckningar

D. Gaitsgorys anteckningar om planhet och jämnhet på http://www.math.harvard.edu/~gaitsgde/Schemes_2009/BR/SmoothMaps.pdf
Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry , Graduate Texts in Mathematics , vol. 52, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9 , MR 0463157
Matsumura, Hideyuki (1989), Commutative Ring Theory , Cambridge Studies in Advanced Mathematics (2nd ed.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-36764-6 , MR 1011461

Se även