Segre inbäddning

I matematik används Segre-inbäddningen i projektiv geometri för att betrakta den kartesiska produkten (av uppsättningar) av två projektiva utrymmen som en projektiv variation . Den är uppkallad efter Corrado Segre .

Definition

Segre-kartan kan definieras som kartan

$\sigma :P^{n}\ gånger P^{m}\till P^{(n+1)( m+1)-1}\$

tar ett par punkter $([X],[Y])\i P^{n}\ gånger P^{m}$ till sin produkt

$\sigma :([X_{0}:X_{1}:\cdots :X_{n}],[Y_{0}:Y_{1}:\cdots :Y_{m}])\mapsto [ X_{0}Y_{0}:X_{0}Y_{1}:\cdots :X_{i}Y_{j}:\cdots :X_{n}Y_{m}]\$

( X _i Y _j är tagna i lexikografisk ordning ).

Här är $P^{n}$ och $P^{m}$ projektiva vektorrum över något godtyckligt fält , och notationen

$[X_{0}:X_{1}:\cdots :X_{n}]\$

är homogena koordinater på utrymmet. Bilden av kartan är en sort, en så kallad Segre-variant . Det skrivs ibland som $\Sigma _{n,m}$ .

Diskussion

linjär algebras språk , för givna vektorrum U och V över samma fält K , finns det ett naturligt sätt att mappa sin kartesiska produkt till sin tensorprodukt .

$\varphi :U\times V\to U\otimes V.\$

I allmänhet behöver detta inte vara injektivt eftersom, för $u$ i $U$ , $v$ i $V$ och alla ${\displaystyle c} som inte är noll$ i ${ \displaystyle K}$ ,

$\varphi (u,v)=u\otimes v=cu\otimes c^{-1}v=\varphi (cu,c^{-1}v).\$

Med tanke på de underliggande projektiva utrymmena P ( U ) och P ( V ), blir denna kartläggning en morfism av varieteter

$\sigma :P(U)\ gånger P(V)\till P(U\otider V).\$

Detta är inte bara injektivt i mängdteoretisk mening: det är en sluten nedsänkning i betydelsen algebraisk geometri . Det vill säga man kan ge en uppsättning ekvationer för bilden. Förutom notationsproblem är det lätt att säga vad sådana ekvationer är: de uttrycker två sätt att faktorisera produkter av koordinater från tensorprodukten, erhållna på två olika sätt som något från U gånger något från V .

Denna kartläggning eller morfism σ är Segre-inbäddningen . Om man räknar dimensioner visar det hur produkten av projektiva utrymmen med dimensionerna m och n bäddas in i dimensionen

$(m+1)(n+1)-1=mn+m+n.\$

Klassisk terminologi kallar koordinaterna på produkten multihomogena och produkten generaliserad till k- faktorer k-vägs projektivt utrymme .

Egenskaper

Sorten Segre är ett exempel på en determinantal sort ; det är nollpunkten för 2×2 moll i matrisen $\displaystyle (Z_{i,j})}$ . Det vill säga att Segre-varianten är den vanliga nollpunkten för de kvadratiska polynomen

$Z_{i,j}Z_{k,l}-Z_{i,l}Z_{k,j}.\$

Här förstås $Z_{i,j}$ som den naturliga koordinaten på bilden av Segre-kartan.

Segre-varianten $\Sigma _{n,m}$ är den kategoriska produkten av $P^{n}\$ och $P^{m}$ . Projektionen

$\pi _{X}:\Sigma _{n,m}\to P^{n}\$

till den första faktorn kan specificeras av m+1-kartor på öppna delmängder som täcker Segre-varianten, vilka överensstämmer om skärningspunkterna mellan delmängderna. För fast $j_{0}$ ges kartan genom att skicka $[Z_{i,j}]}$$] {\displaystyle [Z_{$ till . Ekvationerna $Z_{i,j}Z_{k,l}=Z_{i,l}Z_{k,j}\$ säkerställer att dessa kartor överensstämmer med varandra, för om $Z_{i_{0},j_{0}}\neq 0$$[Z_{i,j_{1}}]=[Z_{i_{0},j_{0 }}Z_{i,j_{1}}]=[Z_{i_{0},j_{1}}Z_{i,j_{0}}]=[Z_{i,j_{0}}]$ vi .

Fibrerna i produkten är linjära delrum. Det vill säga låt

$\pi _{X}:\Sigma _{n,m}\to P^{n}\$

vara projektionen till den första faktorn; och likaså $\pi _{Y}$ för den andra faktorn. Sedan bilden av kartan

$\sigma (\pi _{X}(\cdot ), \pi _{Y}(p)):\Sigma _{n,m}\to P^{(n+1)(m+1)-1}\$

för en fast punkt är p ett linjärt delrum av koddomänen .

Exempel

Quadric

Till exempel med m = n = 1 får vi en inbäddning av produkten av den projektiva linjen med sig själv i P ³ . Bilden är en quadric och är lätt att se innehålla två enparameterfamiljer av linjer. Över de komplexa talen är detta en ganska allmän icke-singular kvadrik. Uthyrning

$[Z_{0}:Z_{1}:Z_{2}:Z_{3}]\$

vara de homogena koordinaterna på P ³ , ges denna kvadratiska som nollpunkten för det kvadratiska polynomet som ges av determinanten

$\det \left({\begin{matrix}Z_{0}&Z_{1}\\Z_{2}&Z_{3}\end{matrix}}\right)=Z_{0}Z_{3} -Z_{1}Z_{2}.\$

Segre trefaldigt

Kartan

$\sigma :P^{2}\ gånger P^{1}\till P^{5}$

är känd som Segre trefaldigt . Det är ett exempel på en rationell normal rullning . Skärningen av Segre trefaldiga och ett treplan $P^{3}$ är en vriden kubisk kurva .

Veronese sort

Bilden av diagonalen $\Delta \subset P^{n}\times P^{n}$ under Segre-kartan är den Veronesiska varianten av grad två

$\nu _{2}:P^{n}\to P^{n^{2}+2n}.\$

Ansökningar

Eftersom Segre-kartan är den kategoriska produkten av projektiva rum, är den en naturlig kartläggning för att beskriva icke- trasslade tillstånd i kvantmekanik och kvantinformationsteori . Mer exakt beskriver Segre-kartan hur man tar produkter från projektiva Hilbert-rum .

I algebraisk statistik motsvarar Segre-varianter oberoendemodeller.

Segre-inbäddningen av P ² × P ² i P ⁸ är den enda Severi-varianten av dimension 4.

•   Harris, Joe (1995), Algebraic Geometry: A First Course , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-97716-4
•    Hassett, Brendan (2007), Introduction to Algebraic Geometry , Cambridge: Cambridge University Press, sid. 154, doi : 10.1017/CBO9780511755224 , ISBN 978-0-521-69141-3 , MR 2324354