Gratis abelian grupp

Ej att förväxla med Free group .

I matematik är en fri abelsk grupp en abelisk grupp med en bas . Att vara en abelsk grupp betyder att det är en mängd med en additionsoperation som är associativ , kommutativ och inverterbar. En bas, även kallad en integralbas , är en delmängd så att varje element i gruppen kan uttryckas unikt som en heltalskombination av ändligt många baselement . Till exempel bildar det tvådimensionella heltalsgittret en fri abelisk grupp, med koordinataddition som sin operation, och med de två punkterna (1,0) och (0,1) som sin grund. Fria abelska grupper har egenskaper som gör att de liknar vektorrum , och kan på motsvarande sätt kallas fria $\mathbb {Z}$ -moduler , de fria modulerna över heltalen. Gitterteori studerar fria abelska undergrupper av verkliga vektorrum. Inom algebraisk topologi används fria abelska grupper för att definiera kedjegrupper , och i algebraisk geometri används de för att definiera divisorer .

Elementen i en fri abelsk grupp med bas $B$ kan beskrivas på flera likvärdiga sätt. Dessa inkluderar formella summor över $B$ , som är uttryck för formen ${\textstyle \sum a_{i}b_{i}}$ där varje $a_{i}$ är ett heltal som inte är noll, varje $b_{i}$ är ett distinkt grundelement, och summan har ändligt många termer. Alternativt kan elementen i en fri abelsk grupp ses som tecken med flera uppsättningar som innehåller ändligt många element av ${\displaystyle B} ,$ med multipliciteten av ett element i multimängden lika med dess koefficient i den formella summan. Ett annat sätt att representera ett element i en fri abelisk grupp är som en funktion från $B$ till heltal med ändligt många icke-nollvärden; för denna funktionella representation är gruppoperationen punktvis addition av funktioner.

Varje uppsättning $B$ har en fri abelsk grupp med $B$ som bas. Denna grupp är unik i den meningen att varje två fria abelska grupper med samma bas är isomorfa . Istället för att konstruera den genom att beskriva dess individuella element, kan en fri abelsk grupp med bas $B$ konstrueras som en direkt summa av kopior av den additiva gruppen av heltal, med en kopia per medlem av $B$ . Alternativt kan den fria abelska gruppen med bas ${\displaystyle B} beskrivas genom en$ presentation med elementen i $B$ som dess generatorer och med kommutatorerna av par av medlemmar som dess släktskap. Rangen för en fri abelsk grupp är kardinaliteten av en bas ; varannan bas för samma grupp ger samma rang, och varannan fria abelska grupper med samma rang är isomorfa. Varje undergrupp av en fri abelisk grupp är själv fri abelian; detta faktum tillåter en allmän abelsk grupp att förstås som en kvot av en fri abelsk grupp genom "relationer", eller som en kokkärna av en injektiv homomorfism mellan fria abelska grupper. De enda fria abelska grupperna som är fria grupper är den triviala gruppen och den oändliga cykliska gruppen .

Definition och exempel

Ett galler i det euklidiska planet . Att lägga till två valfria blå gitterpunkter ger ytterligare en gitterpunkt; gruppen som bildas av denna additionsoperation är en fri abelsk grupp.

En fri abelisk grupp är en abelisk grupp som har en grund. Här betyder att vara en abelsk grupp att den beskrivs av en uppsättning $S$ av dess element och en binär operation på $S$ , konventionellt betecknad som en additiv grupp med symbolen $+$ (även om det inte behöver vara den vanliga additionen av siffror) som följer följande egenskaper:

• Operationen $+$ är kommutativ och associativ , vilket betyder för alla element $x$ y av $S$ , $\displaystyle y}$ , och $z$$x+y=y+x$ och $(x+y)+z=x+(y+z)$ . Därför, när två eller flera element av ${\displaystyle S} kombineras$ med denna operation, påverkar inte ordningen och grupperingen av elementen resultatet.
• $S$ innehåller ett identitetselement (konventionellt betecknat $0$ ) med egenskapen att för varje element $x$ , $x+0=0+ x=x$ .
• Varje element $x$ i $S$ har ett inverst element $-x$ , så att $x+(-x)=0$ .

En bas är en delmängd $B$ av elementen i $S$ med egenskapen att varje element i $S$ kan bildas på ett unikt sätt genom att välja ändligt många baselement ${ \displaystyle b_{i}}$ av $B$ , välja ett heltal som inte är noll $k_{i}$ för vart och ett av de valda grundelementen och lägga ihop $k_{i}$ kopior av baselementen $b_{i}$ för vilka $k_{i}$ är positiv, och $-k_{i}$ kopior av ${\ displaystyle -b_{i}}$ för varje baselement för vilket $k_{i}$ är negativ. Som ett specialfall kan identitetselementet alltid bildas på detta sätt som kombinationen av nollbaselement, enligt den vanliga konventionen för en tom summa , och det får inte vara möjligt att hitta någon annan kombination som representerar identiteten.

0 Heltalen { $\mathbb {Z}$ , under den vanliga additionsoperationen, bildar en fri abelsk grupp med basen $\displaystyle \{1\}}$ . Heltalen är kommutativa och associativa, med som additiv identitet och med varje heltal som har en additiv invers , dess negation. Varje icke-negativ $x$ är summan av $x$ kopior av $1$ , och varje negativt heltal $x$ är summan av $-x$ kopior av $-1$ , så grundegenskapen är också uppfylld.

Ett exempel där gruppoperationen skiljer sig från den vanliga additionen av tal ges av de positiva rationella talen ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{+}} ,$ som bildar en fri abelsk grupp med den vanliga multiplikationsoperationen på tal och med primtalen som grund. Multiplikation är kommutativ och associativ, med talet $1$ som sin identitet och med $1/x$ som det inversa elementet för varje positivt rationellt tal $x$ . Det faktum att primtalen utgör en grund för multiplikation av dessa tal följer av aritmetikens grundläggande sats, enligt vilken varje positivt heltal kan faktoriseras unikt till produkten av ändligt många primtal eller deras inverser. Om $q=a/b$ är ett positivt rationellt tal uttryckt i enklaste termer, så kan $q$ uttryckas som en finit kombination av primtal som förekommer i faktoriseringarna av ${\ displaystyle a}$ och $b$ . Antalet kopior av varje primtal som ska användas i denna kombination är dess exponent i faktoriseringen av ${\displaystyle a} ,$ eller negationen av dess exponent i faktoriseringen av $b$ .

Polynomen för en enda variabel $x$ , med heltalskoefficienter, bildar en fri abelsk grupp under polynomaddition, med potenserna $x$ som bas. Som en abstrakt grupp är detta detsamma som (en isomorf grupp till) den multiplikativa gruppen av positiva rationella tal. Ett sätt att mappa dessa två grupper till varandra, vilket visar att de är isomorfa, är att omtolka exponenten för i {\ $i}: e$ primtalet i den multiplikativa gruppen av rationalerna som att istället ge koefficienten för $x^{i-1}$ i motsvarande polynom, eller vice versa. Till exempel har det rationella talet ${\displaystyle 5/27} exponenter för$$0,-3,1$ för de tre första primtalen ${\displaystyle 2,3 ,5} och$$0,-3,1$ på detta sätt motsvara polynomet $-3x+x^{2}$ med samma koefficienter för dess konstanta, linjära och kvadratiska termer. Eftersom dessa mappningar bara omtolkar samma siffror, definierar de en bijektion mellan elementen i de två grupperna. Och eftersom gruppoperationen att multiplicera positiva rationaler verkar additivt på primtalens exponenter, på samma sätt som gruppoperationen att addera polynom verkar på polynomens koefficienter, bevarar dessa kartor gruppstrukturen; de är homomorfier . En bijektiv homomorfism kallas en isomorfism, och dess existens visar att dessa två grupper har samma egenskaper.

Även om representationen av varje gruppelement i termer av en given bas är unik, har en fri abelsk grupp i allmänhet mer än en bas, och olika baser kommer i allmänhet att resultera i olika representationer av dess element. Till exempel, om man ersätter något element i en bas med dess invers, får man en annan bas. Som ett mer utarbetat exempel bildar det tvådimensionella heltalsgittret ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}} ,$ bestående av punkterna i planet med heltals kartesiska koordinater , en fri abelsk grupp under vektoraddition med basis $\{(1,0),(0,1)\}$ . För denna grund kan elementet $(4,3)$ skrivas $\displaystyle (4,3) =4\cdot (1,0)+3\cdot (0,1)}$ , där 'multiplikation' definieras så att till exempel $\ 4\cdot (1,0):=(1,0)+(1,0)+(1,0)+(1,0)$ . Det finns inget annat sätt att skriva $(4,3)$ på samma grund. Men med en annan grund som $\{(1,0),(1,1)\}$ , kan det skrivas som $(4,3)=(1,0)+3\cdot (1,1)$ . Genom att generalisera detta exempel bildar varje gitter en ändligt genererad fri abelisk grupp. Det $d$ -dimensionella heltalsgittret $\mathbb {Z} ^{d}$ har en naturlig bas som består av de positiva heltalsenhetsvektorerna , men den har också många andra baser: om ${ \displaystyle M}$ är en $d\times d$ heltalsmatris med determinant $\pm 1$ , ± då bildar raderna av $M$ en bas, och varje bas för heltalsgittret har denna form. För mer om det tvådimensionella fallet, se fundamentalt par av perioder .

Konstruktioner

Varje uppsättning kan vara grunden för en fri abelsk grupp, som är unik upp till gruppisomorfismer. Den fria abelska gruppen för en given basuppsättning kan konstrueras på flera olika men ekvivalenta sätt: som en direkt summa av kopior av heltalen, som en familj av heltalsvärderade funktioner, som en signerad multimängd eller genom en presentation av en grupp .

Produkter och summor

Den direkta produkten av grupper består av tuplar av ett element från varje grupp i produkten, med komponentvis addition. Den direkta produkten av två fria abelska grupper är i sig fria abelska, med grunden den osammanhängande föreningen av de två gruppernas baser. Mer allmänt är den direkta produkten av ett ändligt antal fria abelska grupper fria abelska. Det $d$ heltalsgittret -dimensionella $\mathbb {Z}$ . , till exempel, är isomorft till den direkta produkten av $d$ kopior av heltalsgruppen Den triviala gruppen $\{0\}$ anses också vara fri abelsk, med den tomma uppsättningen som utgångspunkt . Det kan tolkas som en tom produkt , den direkta produkten av noll kopior av $\mathbb {Z}$ .

För oändliga familjer av fria abelska grupper är den direkta produkten inte nödvändigtvis fri abelsk. Till exempel Baer–Specker-gruppen ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{\mathbb {N} }} ,$ en oräknelig grupp bildad som den direkta produkten av oräkneligt många kopior av $\mathbb {Z}$ , visades 1937 av Reinhold Baer för att inte vara fri abelian, även om Ernst Specker bevisade 1950 att alla dess räkningsbara undergrupper är fri abelian. Istället, för att få en fri abelsk grupp från en oändlig familj av grupper, bör den direkta summan snarare än den direkta produkten användas. Den direkta summan och den direkta produkten är desamma när de tillämpas på ändligt många grupper, men skiljer sig åt på oändliga grupper av grupper. I den direkta summan är elementen återigen tuplar av element från varje grupp, men med den begränsningen att alla utom ändligt många av dessa element är identiteten för sin grupp. Den direkta summan av oändligt många fria abelska grupper förblir fria abelska. Den har en bas som består av tupler där alla utom ett element är identiteten, med det återstående elementet en del av en grund för sin grupp.

Varje fri abelsk grupp kan beskrivas som en direkt summa av kopior av ${\displaystyle \mathbb {Z} } ,$ med en kopia för varje medlem av dess bas. Den här konstruktionen tillåter vilken uppsättning ${\displaystyle B} som helst$ att bli grunden för en fri abelisk grupp.

Heltalsfunktioner och formella summor

Givet en mängd $B$ till kan man definiera en grupp $\mathbb {Z} ^{(B)}$ vars element är funktioner från $B$ heltal, där parentesen i den upphöjda skriften indikerar att endast funktioner med ändligt många icke-nollvärden ingår. Om $f(x)$ och $g(x)$ är två sådana funktioner, då är $f+g$ funktionen vars värden är summor av värdena i $f$ och $g$ : det vill säga $(f+g)(x)= f(x)+g(x)$ . Denna punktvisa additionsoperation ger $\mathbb {Z} ^{(B)}$ strukturen för en abelsk grupp.

Varje element $x$ från den givna mängden $B$ motsvarar en medlem av $\mathbb {Z} ^{(B)}$ , funktionen $e_{x}$ för vilken $e_{x}(x)=1$ och för vilken $e_{x}(y)=0$ för alla $y\neq x$ . Varje funktion $f$ i $\mathbb {Z} ^{(B)}$ är unikt en linjär kombination av ett ändligt antal baselement:

$$f=\summa _{\{x\mid f(x)\neq 0\}}f(x)e_{x}.$$

Således utgör dessa element $e_{x}$ en grund för $\mathbb {Z} ^{(B)}$ och Z $\displaystyle \mathbb {Z } ^{(B)}}$ är en fri abelsk grupp. På detta sätt kan varje uppsättning $B$ göras till basen för en fri abelsk grupp.

Elementen i $\mathbb {Z} ^{(B)}$ kan också skrivas som formella summor , uttryck i form av en summa av ändligt många termer, där varje term skrivs som produkten av ett heltal som inte är noll med en distinkt medlem av $B$ . Dessa uttryck anses likvärdiga när de har samma termer, oavsett ordningsföljd av termer, och de kan läggas till genom att bilda föreningen av termerna, lägga till heltalskoefficienterna för att kombinera termer med samma grundelement och ta bort termer för vilka denna kombination ger en nollkoefficient. De kan också tolkas som de förtecknade multiuppsättningarna av ändligt många element i $B$ .

Presentation

En presentation av en grupp är en uppsättning element som genererar gruppen (vilket innebär att alla gruppelement kan uttryckas som produkter av ändligt många generatorer), tillsammans med "relatorer", produkter av generatorer som ger identitetselementet. Elementen i en grupp som definieras på detta sätt är ekvivalensklasser av sekvenser av generatorer och deras inverser, under en ekvivalensrelation som tillåter att infoga eller ta bort alla relatorer eller generator-inverspar som en sammanhängande undersekvens. Den fria abelska gruppen med bas $B$ har en presentation där generatorerna är elementen i $B$ , och relatorerna är kommutatorerna för par av element i $B$ . Här är kommutatorn för två element $x$ och $y$ produkten $x^{-1}y^{-1}xy$ ; att ställa in denna produkt till identiteten gör att $xy$ blir lika med $yx$ , så att $x$ och $y$ pendlar. Mer generellt, om alla par av generatorer pendlar, så pendlar alla par av produkter av generatorer också. Därför är gruppen som genereras av denna presentation abelsk, och presentationens släktingar utgör en minimal uppsättning relatorer som behövs för att säkerställa att den är abelsk.

När uppsättningen av generatorer är ändlig, är presentationen av en fri abelsk grupp också ändlig, eftersom det bara finns ändligt många olika kommutatorer att inkludera i presentationen. Detta faktum, tillsammans med det faktum att varje undergrupp av en fri abelisk grupp är fri abelsk ( nedan ) kan användas för att visa att varje ändligt genererad abelisk grupp presenteras ändligt. För, om $G$ ändligt genereras av en mängd $B$ , är det en kvot av den fria abelska gruppen över $B$ av en fri abelsk undergrupp, undergruppen som genereras av relatorerna av presentationen av $G$ . Men eftersom denna undergrupp i sig själv är fri abelisk, genereras den också ändligt, och dess bas (tillsammans med kommutatorerna över $B$ ) bildar en ändlig uppsättning relationer för en presentation av $G$ .

Som en modul

Modulerna över heltalen definieras på samma sätt som vektorrum över de reella talen eller rationella talen : de består av system av element som kan adderas till varandra, med en operation för skalär multiplikation med heltal som är kompatibel med denna additionsoperation. Varje abelsk grupp kan betraktas som en modul över heltal, med en skalär multiplikationsoperation definierad enligt följande:

$0\,x=0$
$1\,x=x$
$n\,x=x+(n-1)\,x,\quad$	om $n>1$
$n\,x=-((-n)\,x),$	om $n<0$

Men till skillnad från vektorrum har inte alla abelska grupper en bas, därav det speciella namnet "gratis" för de som har det. En fri modul är en modul som kan representeras som en direkt summa över sin basring , så fria abelska grupper och fria $\mathbb {Z}$ -moduler är likvärdiga begrepp: varje fri abelisk grupp är (med multiplikationen operation ovan) en fri $\mathbb {Z}$ -modul, och varje ledig $\mathbb {Z}$ -modul kommer från en fri abelsk grupp på detta sätt. Förutom den direkta summan är ett annat sätt att kombinera fria abelska grupper att använda tensorprodukten av Z $\displaystyle \mathbb {Z} }$ -moduler. Tensorprodukten av två fria abelska grupper är alltid fria abelska, med en bas som är den kartesiska produkten av baserna för de två grupperna i produkten.

Många viktiga egenskaper hos fria abelska grupper kan generaliseras till fria moduler över en huvudsaklig idealdomän . Till exempel undermoduler av fria moduler över huvudsakliga idealdomäner fria, ett faktum som Hatcher (2002) skriver tillåter "automatisk generalisering" av homologiskt maskineri till dessa moduler. Dessutom generaliserar teoremet att varje projektiv $\mathbb {Z}$ -modul är fri på samma sätt.

Egenskaper

Universell egendom

En fri abelsk grupp $F$ med bas $B$ har följande universella egenskap : för varje funktion $f$ från $B$ till en abelsk grupp $A$ , det finns en unik grupphomomorfism från $F$ till $A$ som sträcker sig $f$ . Här är en grupphomomorfism en kartläggning från en grupp till en annan som är förenlig med gruppproduktlagen: att utföra en produkt före eller efter kartläggningen ger samma resultat. Med en allmän egenskap hos universella egenskaper visar detta att "den" abelska gruppen av bas $B$ är unik upp till en isomorfism. Därför kan den universella egenskapen användas som en definition av den fria abelska gruppen av bas $B$ . Det unika hos gruppen som definieras av den här egenskapen visar att alla andra definitioner är likvärdiga.

grupper kallas "fria": de är de fria objekten i kategorin abelska grupper , kategorin som har abelska grupper som sina objekt och homomorfismer som sina pilar. Kartan från en bas till dess fria abelska grupp är en funktor , en strukturbevarande kartläggning av kategorier, från mängder till abelska grupper, och är angränsande till den glömska funktorn från abelska grupper till mängder. En fri abelsk grupp är dock inte en fri grupp förutom i två fall: en fri abelsk grupp som har en tom bas (rang noll, vilket ger den triviala gruppen ) eller har bara ett element i basen (rang ett, ger den oändliga cykliska gruppen ). Andra abelska grupper är inte fria grupper eftersom ${\displaystyle ab} i fria grupper$ måste skilja sig från $ba$ om $a$ och $b$ är olika element i basen, medan i fria abelska grupper måste de två produkterna vara identiska för alla par av element. I den allmänna kategorin grupper är det en extra begränsning att kräva att ${\displaystyle ab=ba} ,$ medan detta är en nödvändig egenskap i kategorin abelska grupper.

Rang

Varje två baser av samma fria abelska grupp har samma kardinalitet , så kardinaliteten av en bas bildar en invariant av gruppen som kallas dess rang. Två fria abelska grupper är isomorfa om och endast om de har samma rang. En fri abelsk grupp genereras ändligt om och endast om dess rang är ett ändligt tal $n$ , i vilket fall gruppen är isomorf till $\mathbb {Z} ^{n}$ .

Denna uppfattning om rang kan generaliseras, från fria abelska grupper till abelska grupper som inte nödvändigtvis är fria. Rangen för en abelsk grupp $G$ definieras som rangordningen för en fri abelsk undergrupp $F$ av $G$ för vilken kvotgruppen $G/F$ är en torsionsgrupp . På motsvarande sätt är det kardinaliteten för en maximal delmängd av $G$ som genererar en fri undergrupp. Rangen är en gruppinvariant: den beror inte på valet av undergruppen.

Undergrupper

Varje undergrupp av en fri abelsk grupp är i sig själv en fri abelsk grupp. Detta resultat av Richard Dedekind var en föregångare till den analoga Nielsen-Schreier-satsen att varje undergrupp i en fri grupp är fri, och är en generalisering av det faktum att varje icke-trivial undergrupp av den oändliga cykliska gruppen är oändlig cyklisk . Beviset behöver valets axiom . Ett bevis som använder Zorns lemma (ett av många likvärdiga antaganden till valets axiom) kan hittas i Serge Langs Algebra . Solomon Lefschetz och Irving Kaplansky menar att användningen av den välordnade principen i stället för Zorns lemma leder till ett mer intuitivt bevis.

I fallet med ändligt genererade fria abelska grupper är bevisningen lättare, behöver inte valets axiom och leder till ett mer exakt resultat. Om $G$ är en undergrupp av en ändligt genererad fri abelsk grupp $F$ , så är $G$ fri och det finns en bas $(e_{1},\ldots ,e_{n})$ av $F$ och positiva heltal $d_{1}|d_{2}|\ldots |d_{k}$ (det vill säga var och en delar nästa) så att ${ \displaystyle (d_{1}e_{1},\ldots ,d_{k}e_{k})}$ är en grund för $G.$ Dessutom beror sekvensen $d_{1},d_{2},\ldots ,d_{k}$ endast på $F$ och $G$ och inte på basis. Ett konstruktivt bevis för existensdelen av satsen tillhandahålls av vilken algoritm som helst som beräknar Smiths normala form av en matris av heltal. Unikhet följer av det faktum att, för varje ${\displaystyle r\leq k} ,$ den största gemensamma delaren av minorerna i rang $r$ i matrisen inte ändras under Smiths normalformsberäkning och är produkten $d_{1}\cdots d_{r}$ i slutet av beräkningen.

Torsion och delbarhet

Alla fria abelska grupper är torsionsfria , vilket betyder att det inte finns något icke-identitetsgruppelement $x$ och heltal ${\displaystyle n} som inte är noll$ så att $nx=0$ . Omvänt är alla ändligt genererade torsionsfria abelska grupper fria abelska.

Den additiva gruppen av rationella tal $\mathbb {Q}$ ger ett exempel på en vridningsfri (men inte ändligt genererad) abelsk grupp som inte är fri abelsk. En anledning till att $\mathbb {Q}$ inte är fri abelian är att den är delbar , vilket betyder att för varje element $x\in \mathbb {Q}$ och varje heltal som inte är noll ${ \displaystyle n}$ , det är möjligt att uttrycka $x$ som en skalär multipel $ny$ av ett annat element $y=x/n$ . Däremot är icke-triviala fria abelska grupper aldrig delbara, eftersom i en fri abelisk grupp baselementen inte kan uttryckas som multiplar av andra element.

Symmetri

Symmetrierna för vilken grupp som helst kan beskrivas som gruppautomorfismer , de inverterbara homomorfismerna från gruppen till sig själv. I icke-abelska grupper är dessa ytterligare uppdelade i inre och yttre automorfismer, men i abelska grupper är alla icke-identitetsautomorfismer yttre. De bildar en annan grupp, den automorfismgrupp , under kompositionens funktion . Automorfismgruppen för en fri abelsk grupp med finit rang $n$ är den allmänna linjära gruppen ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {Z} )} ,$ som kan beskrivas konkret (för en specifik grund för den fria automorfismgruppen) som uppsättningen av $n\ gånger n$ inverterbara heltalsmatriser under operationen av matrismultiplikation . Deras verkan som symmetrier på den fria abelska gruppen $\mathbb {Z} ^{n}$ är bara matris-vektormultiplikation.

Automorfismgrupperna av två oändliga fria abelska grupper har samma första ordningens teorier som varandra, om och bara om deras rang är ekvivalenta kardinaler ur andra ordningens logiks synvinkel . Detta resultat beror på strukturen av involutioner av fria abelska grupper, automorfismerna som är deras egen invers. Givet en grund för en fri abelsk grupp, kan man hitta involutioner som mappar vilken uppsättning av disjunkta par av baselement som helst till varandra, eller som negerar vilken som helst vald delmängd av baselement, vilket lämnar de andra baselementen fixerade. Omvänt, för varje involution av en fri abelsk grupp, kan man hitta en bas för gruppen för vilken alla baselement byts ut i par, förnekas eller lämnas oförändrade av involutionen.

Relation till andra grupper

Om en fri abelisk grupp är en kvot av två grupper $A/B$ , så är $A$ den direkta summan $B\oplus A/B$ .

Givet en godtycklig abelsk grupp $A$ finns det alltid en fri abelsk grupp $F$ och en surjektiv grupphomomorfism från $F$ till $A$ . Ett sätt att konstruera en surjection på en given grupp $A$ är att låta $F=\mathbb {Z} ^{(A)}$ vara den fria abelska gruppen över ${ \displaystyle A}$ , representerad som formella summor. Sedan kan en surjection definieras genom att avbilda formella summor i $F$ till motsvarande summor av medlemmar av $A$ . Det vill säga undersökningskartorna

$$\sum _{\{x\mid a_{x}\neq 0\}}a_{x }e_{x}\mapsto \summa _{\{x\mid a_{x}\neq 0\}}a_{x}x,$$

där $a_{x}$ är heltalskoefficienten för baselement $e_{x}$ i en given formell summa, den första summan är i $F$ och den andra summan är i $A$ . Denna surjection är den unika grupphomomorfismen som utökar funktionen ${\displaystyle e_{x}\mapsto x} ,$ och så dess konstruktion kan ses som en instans av den universella egenskapen.

När $F$ och $A$ är som ovan, är kärnan $G$ i surjection från $F$ till $A$ också fri abelsk, eftersom den är en undergrupp av $F$ (undergruppen av element mappade till identiteten). Därför bildar dessa grupper en kort exakt sekvens

$$0\to G\to F\to A\to 0$$

där $F$ och $G$ båda är fria abelska och $A$ är isomorf till faktorgruppen $F/G$ . Detta är en fri upplösning av $A$ . Dessutom, om man antar valets axiom, är de fria abelska grupperna just de projektiva objekten i kategorin abelska grupper .

Ansökningar

Algebraisk topologi

Huvudartikel: Chain (algebraisk topologi)

I algebraisk topologi kallas en formell summa av $k$ -dimensionella simpliceringar en $k$ -kedja, och den fria abelska gruppen som har en samling $k$ -simplices som bas är kallas en kedjegrupp. Simpliceringarna är i allmänhet hämtade från något topologiskt utrymme , till exempel som mängden $k$ -simplices i ett förenklat komplex , eller uppsättningen av singular $k$ -simplices i ett grenrör . Varje $k$ -dimensionell simplex har en gräns som kan representeras som en formell summa av $(k-1)$ -dimensionella simpliceringar, och den universella egenskapen hos fria abelska grupper tillåter detta gränsoperator som ska utökas till en grupphomomorfism från $k$ -kedjor till $(k-1)$ -kedjor. Systemet av kedjegrupper kopplade av gränsoperatorer på detta sätt bildar ett kedjekomplex , och studiet av kedjekomplex utgör grunden för homologiteorin .

Algebraisk geometri och komplex analys

Huvudartikel: Divisor (algebraisk geometri)

Den rationella funktionen $z^{4}/(z^{4}-1)$ har en nolla av ordningen fyra vid 0 (den svarta punkten i mitten av plottet) , och enkla poler vid de fyra komplexa talen $\pm 1$ och $\pm i$ (de vita punkterna i ändarna av de fyra kronbladen). Den kan representeras (upp till en skalär) av divisorn $4e_{0}-e_{1}-e_{-1}-e_{ i}-e_{-i}$ där $e_{z}$ är grundelementet för ett komplext tal $z$ i en fri abelsk grupp över de komplexa talen.

Varje rationell funktion över de komplexa talen kan associeras med en förtecknad multiuppsättning av komplexa tal ${\displaystyle c_{i}} ,$ funktionens nollor och poler (punkter där dess värde är noll eller oändligt ) . Multiplicititeten $m_{i}$ för en punkt i denna multimängd är dess ordning som en noll av funktionen, eller negationen av dess ordning som en pol. Sedan kan själva funktionen återställas från denna data, upp till en skalär faktor, som

$$f(q)=\prod (q-c_{i})^{m_{i}}.$$

Om dessa multimängder tolkas som medlemmar av en fri abelsk grupp över de komplexa talen, så motsvarar produkten eller kvoten av två rationella funktioner summan eller skillnaden av två gruppmedlemmar. Således kan den multiplikativa gruppen av rationella funktioner faktoriseras i den multiplikativa gruppen av komplexa tal (de associerade skalära faktorerna för varje funktion) och den fria abelska gruppen över de komplexa talen. De rationella funktionerna som har ett gränsvärde som inte är noll vid oändligheten (de meromorfa funktionerna på Riemanns sfär ) bildar en undergrupp av denna grupp där summan av multipliciteterna är noll.

Denna konstruktion har generaliserats, i algebraisk geometri , till begreppet en divisor . Det finns olika definitioner av divisorer, men i allmänhet bildar de en abstraktion av en samdimension-en-undervarietet av en algebraisk variation , uppsättningen av lösningspunkter för ett system av polynomekvationer . I det fall där ekvationssystemet har en frihetsgrad (dess lösningar bildar en algebraisk kurva eller Riemann-yta ), har en undervarietet kodimension ett när den består av isolerade punkter, och i det här fallet är en divisor återigen en förtecknad multiuppsättning av punkter från sorten. De meromorfa funktionerna på en kompakt Riemann-yta har ändligt många nollor och poler, och deras divisorer bildar en undergrupp av en fri abelisk grupp över ytans punkter, med multiplikation eller division av funktioner som motsvarar addition eller subtraktion av gruppelement. För att vara en divisor måste ett element i den fria abelska gruppen ha multipliciteter som summeras till noll och uppfylla vissa ytterligare begränsningar beroende på ytan.

Gruppringar

Integralgruppringen $\mathbb {Z} [G]$ , för vilken grupp $G$ som helst , är en ring vars additivgrupp är den fria abelska gruppen över G $\displaystyle G}$ . När $G$ är finit och abelisk, har den multiplikativa gruppen av enheter i $\mathbb {Z} [G]$ strukturen av en direkt produkt av en finit grupp och en ändligt genererad fri abelska gruppen.