Semiortogonal nedbrytning

Inom matematiken är en semiortogonal nedbrytning ett sätt att dela upp en triangulerad kategori i enklare bitar. Ett sätt att producera en semiortogonal nedbrytning är från en exceptionell samling , en speciell sekvens av föremål i en triangulerad kategori. För en algebraisk variant X har det varit fruktbart att studera semiortogonala nedbrytningar av den avgränsade härledda kategorin av koherenta skivor , ${\text{D}}^{\text{b}}(X)$ .

Semiortogonal nedbrytning

Alexei Bondal och Mikhail Kapranov (1989) definierade en semiortogonal nedbrytning av en triangulerad kategori ${\mathcal {T}}$ till att vara en sekvens ${\mathcal {A}}_ {1},\ldots ,{\mathcal {A}}_{n}$ av strikt fullständigt triangulerade underkategorier så att:

• för alla $1\leq i<j\leq n$ och alla objekt $A_{i}\in {\mathcal {A}}_{i}$ och ${\displaystyle A_{j}\in {\mathcal {A}}_{j}} ,$ varje morfism från $A_{j}$ till $A_{ i}$ är noll. Det vill säga, det finns "inga morfismer från höger till vänster".
• ${\mathcal {T}}$ genereras av ${\mathcal {A}}_{1},\ldots ,{\mathcal {A}}_{n }$ . Det vill säga den minsta strikt fullständigt triangulerade underkategorin av ${\mathcal {T}}$ som innehåller ${\mathcal {A}}_{1},\ldots ,{\ mathcal {A}}_{n}$ är lika med ${\mathcal {T}}$ .

Notationen ${\mathcal {T}}=\langle {\mathcal {A}}_{1},\ldots ,{\mathcal {A}}_{ n}\rangle$ används för en semiortogonal nedbrytning.

Att ha en semiortogonal sönderdelning innebär att varje objekt av ${\mathcal {T}}$ har en kanonisk "filtrering" vars graderade bitar är (successivt) i underkategorierna ${\displaystyle {\$ . Det vill säga, för varje objekt T av ${\mathcal {T}}$ finns det en sekvens

$0=T_{n}\to T_{n-1}\to \cdots \to T_{0}=T$

av morfismer i ${\mathcal {T}}$ så att konen av $T_{i}\to T_{i-1}$ är i ${\mathcal {A}}_{i}$ , för varje i . Dessutom är denna sekvens unik upp till en unik isomorfism.

Man kan också överväga "ortogonala" nedbrytningar av en triangulerad kategori, genom att kräva att det inte finns några morfismer från ${\mathcal {A}}_{i}$ till ${\mathcal {A} }_{j}$ för alla $i\neq j$ . Den egenskapen är dock för stark för de flesta ändamål. Till exempel, för en (icke reducerbar) jämn projektiv varietet X över ett fält , den avgränsade härledda kategorin ${\text{D}}^{\text{b}}(X)$ av koherenta skivor har aldrig en icke-trivial ortogonal sönderdelning, medan den kan ha en semiortogonal sönderdelning enligt exemplen nedan.

En semiortogonal nedbrytning av en triangulerad kategori kan anses vara analog med en finit filtrering av en abelisk grupp . Alternativt kan man betrakta en semiortogonal nedbrytning ${\mathcal {T}}=\langle {\mathcal {A}},{\mathcal {B}}\rangle$ som närmare en dela exakt sekvens , eftersom den exakta sekvensen $0\to {\mathcal {A}}\to {\mathcal {T}}\to {\mathcal {T}}/{ \mathcal {A}}\till 0$ av triangulerade kategorier delas av underkategorin ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subset {\mathcal {T}}} ,$ avbildning isomorft till ${\ displaystyle {\mathcal {T}}/{\mathcal {A}}}$ .

Med den observationen, en semiortogonal sönderdelning ${\mathcal {T}}=\langle {\mathcal {A}}_{1},\ldots ,{\mathcal { A}}_{n}\rangle$ innebär en direkt summauppdelning av Grothendieck-grupper :

$K_{0}({\mathcal {T}})\cong K_{0}({\mathcal {A}}_{1})\oplus \cdots \oplus K_{0}({\mathcal { En}}}).$

Till exempel, när ${\displaystyle {\mathcal {T}}={\text{D}}^{\text{b}}(X)} är$ den avgränsade härledda kategorin av koherenta skivor på en jämn projektiv variant X , $K_{0}({\mathcal {T}})$ kan identifieras med Grothendieck-gruppen $K_{0}(X)$ av algebraiska vektorbuntar på X . I denna geometriska situation, med användning av att ${\text{D}}}^{\text{b}}(X)$ kommer från en dg-kategori , ger en semiortogonal nedbrytning faktiskt en uppdelning av alla de algebraiska K-grupperna av X :

$K_{i}(X)\cong K_{i}({\mathcal {A}}_{1}) \oplus \cdots \oplus K_{i}({\mathcal {A_{n}}})$

för allt jag .

Tillåten underkategori

Ett sätt att producera en semiortogonal nedbrytning är från en tillåten underkategori. Per definition är en fullständig triangulerad underkategori A ⊂ T {\displaystyle {\mathcal {A}}\subset {\mathcal {T}}} tillåten $:$ A → $\colon {\ mathcal {A}}\to {\mathcal {T}}}$ har en vänster adjoint funktion , skriven $i^{*}$ . Likaså ${\mathcal {A}}\subset {\mathcal {T}}$ rätt tillåtet om inkluderingen har en rätt adjoint, skriven $i^{!}$ , och det är tillåtet om det är både vänster och höger tillåtet.

En rätt tillåten underkategori ${\mathcal {B}}\subset {\mathcal {T}}$ bestämmer en semiortogonal nedbrytning

${\mathcal {T}}=\langle {\mathcal {B}}^{\perp },{\mathcal {B}}\rangle$ ,

var

${\mathcal {B}}^{\perp }:=\{T\in {\mathcal {T}}:\operatörsnamn {Hom} ({\mathcal {B}},T)=0\}$

är den högra ortogonalen av ${\mathcal {B}}$ i ${\mathcal {T}}$ . Omvänt, varje semiortogonal nedbrytning ${\displaystyle {\mathcal {T}}=\langle {\mathcal {A}},{\mathcal {B}}\rangle } uppstår$ på detta sätt, i känner att ${\mathcal {B}}$ är rätt tillåtet och ${\mathcal {A}}={\mathcal {B}}^{\perp }$ . På samma sätt, för varje semiortogonal nedbrytning ${\displaystyle {\mathcal {T}}=\langle {\mathcal {A}},{\mathcal {B}}\rangle } , underkategorin$ A $\ displaystyle {\mathcal {A}}}$ är tillåtet, och ${\displaystyle {\mathcal {B}}={}^{\perp }{\mathcal {A}}} ,$ där

${}^{\perp }{\mathcal {A}}:=\{T\in {\mathcal {T}}: \operatörsnamn {Hom} (T,{\mathcal {A}})=0\}$

är den vänstra ortogonalen av ${\mathcal {A}}$ .

Om ${\mathcal {T}}$ är den avgränsade härledda kategorin för en jämn projektiv varietet över ett fält k , så är varje vänster- eller högertillåten underkategori av ${\mathcal {T}}$ i faktum tillåtet. Enligt resultat av Bondal och Michel Van den Bergh , gäller detta mer generellt för ${\mathcal {T}}$ vilken vanlig riktig triangulerad kategori som helst som är idempotent-komplett .

Dessutom, för en vanlig idempotent-komplett triangulerad kategori ${\displaystyle {\mathcal {T}}},$ är en fullständig triangulerad underkategori tillåten om och endast om den är regelbunden och idempotent-komplett. Dessa egenskaper är inneboende i underkategorin. Till exempel, för X en jämn projektiv varietet och Y en undervarietet som inte är lika med X , underkategorin ${\text{D}}^{\text{b}}(X)$ av objekt stöds på Y är inte tillåtet.

Exceptionell samling

Låt k vara ett fält och låt ${\mathcal {T}}$ vara en k -linjär triangulerad kategori. Ett objekt E av ${\mathcal {T}}$ kallas exceptionellt om Hom( E , E ) = k och Hom( E , E [ t ]) = 0 för alla heltal som inte är noll t , där [ t ] är skiftfunktion i ${\mathcal {T}}$ . (I den härledda kategorin av en jämn komplex projektiv varietet X är första ordningens deformationsutrymme ${\displaystyle \operatorname { Ext} _{X}^{1}(E,E)\cong \operatorname {Hom} (E,E[1])} , och därför är$ ett objekt E Ext ett exceptionellt objekt särskilt stelbent. Det följer till exempel att det finns är som mest uträkneligt många exceptionella objekt i ${\displaystyle {\text{D}}^{\text{b}}(X)} ,$ upp till isomorfism. Det hjälper till att förklara namnet.)

Den triangulerade underkategorin som genereras av ett exceptionellt objekt E är ekvivalent med den härledda kategorin ${\text{D}}^{\text{b}}(k)$ av ändligt dimensionella k -vektorrymder , den enklaste triangulerade kategorin i detta sammanhang. (Till exempel är varje objekt i den underkategorin isomorft till en ändlig direkt summa av skift av E .)

Alexei Gorodentsev och Alexei Rudakov (1987) definierade en exceptionell samling som en sekvens av exceptionella objekt $E_{1},\ldots ,E_{m}$ så att $\operatorname {Hom} (E_{j},E_{i}[t])=0$ för alla i < j och alla heltal t . (Det vill säga, det finns "inga morfismer från höger till vänster".) I en riktig triangulerad kategori ${\mathcal {T}}$ över k , såsom den avgränsade härledda kategorin av koherenta skivor på en jämn projektiv varietet , genererar varje exceptionell samling en tillåten underkategori, och så bestämmer den en semiortogonal nedbrytning:

${\mathcal {T}}=\langle {\mathcal {A}},E_{1},\ldots ,E_{m}\rangle ,$

där ${\mathcal {A}}=\langle E_{1},\ldots ,E_{m}\rangle ^{\perp }$ och $E_{i}$ betecknar den fullständiga triangulerade underkategorin som genereras av objektet $E_{i}$ . En exceptionell samling kallas full om underkategorin ${\mathcal {A}}$ är noll. (Därför delar en fullständig exceptionell samling upp hela den triangulerade kategorin i ändligt många kopior av ${\displaystyle {\text{D}}^{\text{b}}(k)} .$ )

Speciellt om X är en jämn $E_{1},\ldots ,E_{m}$ variant så att ${\text{D}}^{\text{b}}(X)$ har en fullständig exceptionell samling , då är Grothendieck-gruppen av algebraiska vektorbuntar på X den fria abelska gruppen på klasserna för dessa objekt:

$K_{0}(X)\cong \mathbb {Z} \{E_{1},\ldots ,E_{m}\}.$

En jämn komplex projektiv variant X med en fullständig exceptionell samling måste ha trivial Hodge-teori , i den meningen att $h^{p,q}(X)=0$ för alla $p\neq q$ ; dessutom, cykelklasskartan ${\displaystyle CH^{*}(X)\otimes \mathbb {Q} \to H^{*}(X$ måste vara en isomorfism.

Exempel

Det ursprungliga exemplet på en fullständig exceptionell samling upptäcktes av Alexander Beilinson (1978): den härledda kategorin av projektivt utrymme över ett fält har hela exceptionella samlingen

${\text{D}}^{\text{b}}(\mathbf {P} ^{n} )=\langle O,O(1),\ldots ,O(n)\rangle$ ,

där O( j ) för heltal j är linjebuntarna på projektivt utrymme . Fullständiga exceptionella samlingar har också konstruerats på alla släta projektiva toriska varianter , del Pezzo-ytor , många projektiva homogena varianter och några andra Fano-varianter .

Mer allmänt, om X är en jämn projektiv variation av positiv dimension så att de koherenta kärvkohomologigrupperna $H^{i}(X,O_{X})$ är noll för i > 0, då är objektet $O_{X}$ i ${\text{D}}^{\text{b}}(X)$ exceptionellt, och därför inducerar det en icke-trivial semiortogonal nedbrytning ${\text{D}}^{\text{b}}(X)=\langle (O_{X}) ^{\perp },O_{X}\rangle$ . Detta gäller till exempel varje Fano-variant över ett fält med karakteristisk noll . Det gäller även för vissa andra sorter, såsom Enriques ytor och vissa ytor av allmän typ .

Å andra sidan är många naturligt förekommande triangulerade kategorier "osammansättbara". Speciellt för en jämn projektiv variant X vars kanoniska bunt $K_{X}$ är baspunktsfri , varje semiortogonal nedbrytning ${\displaystyle {\text{D} }^{\text{b}}(X)=\langle {\mathcal {A}},{\mathcal {B}}\rangle } är trivialt i den meningen att A {\displaystyle {\mathcal {$ A $} }$ eller ${\mathcal {B}}$ måste vara noll. Detta gäller till exempel varje sort som är Calabi-Yau i den meningen att dess kanoniska bunt är trivialt.

Se även

• Härledd icke-kommutativ algebraisk geometri

Anteckningar

• Bondal, Alexei; Kapranov, Mikhail (1990), " Representable functors, Serre functors and reconstructions", Mathematics of the USSR Izvestia , 35 : 519–541, doi : 10.1070/IM1990v035n03ABEH0006716 , 399  
•    Huybrechts, Daniel (2006), Fourier–Mukai transforms in algebraic geometry , Oxford University Press , ISBN 978-0199296866 , MR 2244106
•   Kuznetsov, Alexander (2007), "Homological projective duality", Publications Mathématiques de l'IHÉS , 105 : 157–220, arXiv : math /0507292 , doi : 10.1007/s10240-0607-740 MR 062350,02
•   Kuznetsov, Alexander (2014), "Semiorthogonal decompositions in algebraic geometry", Proceedings of the International Congress of Mathematicians (Seoul, 2014), vol. 2, Seoul: Kyung Moon Sa, s. 635--660, arXiv : 1404.3143 , MR 3728631
•   Marcolli, Matilde ; Tabuada, Gonçalo (2015), " From exceptional collections to motivic decompositions via noncommutative motives", Journal für die reine und angewandte Mathematik , 701 : 153–167, arXiv : 1202.6297 , doi : 3/crelle-0205 , 3/crelle- 3205 , 3/ 125-3205 9
• Orlov, Dmitri (2016), "Smooth and proper noncommutative schemes and gluing of DG categories", Advances in Mathematics , 302 : 59–105, arXiv : 1402.7364 , doi : 10.1016/j.aim.72016 , 4016 , 4016 , 4016 .