Veronese yta

I matematik är Veronese -ytan en algebraisk yta i femdimensionellt projektivt utrymme och realiseras av Veronese-inbäddningen , inbäddningen av det projektiva planet som ges av det kompletta linjära systemet av koniska koner . Den är uppkallad efter Giuseppe Veronese (1854–1917). Dess generalisering till högre dimension är känd som Veronese-varianten .

Ytan tillåter en inbäddning i det fyrdimensionella projektiva utrymmet som definieras av projektionen från en allmän punkt i det femdimensionella rummet. Dess allmänna projektion till tredimensionellt projektivt utrymme kallas en Steiner-yta .

Definition

Den Veronese ytan är bilden av kartläggningen

\nu :\mathbb {P} ^{2}\to \mathbb {P} ^{5}

getts av

\nu :[x:y:z]\mapsto [x^{2} :y^{2}:z^{2}:yz:xz:xy]

där $[x:\cdots ]$ anger homogena koordinater . Kartan $\nu$ är känd som Veronese-inbäddningen.

Motivering

Den Veronese ytan uppstår naturligt i studiet av koner . En konisk är en plankurva på 2 grader, alltså definierad av en ekvation:

Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dxz+Eyz+Fz^{ 2}=0.

Parningen mellan koefficienter $(A,B,C,D,E,F)$ och variabler $(x,y ,z)$ är linjär i koefficienter och kvadratisk i variablerna; Veronese-kartan gör den linjär i koefficienterna och linjär i monomialerna. Således för en fixpunkt ${\displaystyle [x:y:z],} är$ villkoret att en kägel innehåller punkten en linjär ekvation i koefficienterna, som formaliserar påståendet att "passerar genom en punkten ställer ett linjärt villkor för koner".

Veronese karta

Veronese -kartan eller Veronese-varianten generaliserar denna idé till mappningar av generell grad d i n +1-variabler. Det vill säga den Veronese kartan av grad d är kartan

\nu _{d}\colon \mathbb {P} ^{n}\to \mathbb {P} ^{m}

med m givet av multisetkoefficienten , eller mer bekant den binomiala koefficienten , som:

m=\left(\!\!{n+1 \choose d}\!\!\right)- 1={n+d \choose d}-1.

Kartan skickar $[x_{0}:\ldots :x_{n}]$ till alla möjliga monomer av total grad d (av vilka det finns $m+ 1$ ); vi har $n+1$ eftersom det finns $n+1$ variabler $x_{0},\ldots ,x_{n}$ att välja från; och vi subtraherar $1$ eftersom det projektiva rummet $\mathbb {P} ^{m}$ har $m+1$ koordinater. Den andra likheten visar att för fast källdimension n är måldimensionen ett polynom i d av grad n och ledande koefficient $1/n!.$

För låg grad är $d=0$ den triviala konstantavbildningen till $\mathbf {P} ^{0},$ och $d=1$ är identitetskartan på $\mathbf {P} ^{n},$ så antas d i allmänhet vara 2 eller mer.

Man kan definiera Veronese-kartan på ett koordinatfritt sätt, som

\nu _{d}:\mathbb {P} (V)\ni [v]\mapsto [v^{d}]\in \mathbb {P} ({\rm {{Sym}^{d}V)}}

där V är ett vektorrum med ändlig dimension, och ${\rm {{Sym}^{d}V}}$ är dess symmetriska potenser av grad d . Detta är homogent av grad d under skalär multiplikation på V , och övergår därför till en kartläggning av de underliggande projektiva utrymmena .

Om vektorrummet V definieras över ett fält K som inte har karakteristisk noll , måste definitionen ändras för att förstås som en avbildning till det dubbla rymden av polynom på V. Detta beror på att för fält med ändlig karakteristisk p är de p :te potenserna för element i V inte rationella normalkurvor , utan är naturligtvis en linje. (Se till exempel additivt polynom för en behandling av polynom över ett fält med ändliga egenskaper).

Rationell normalkurva

För $n=1,$ är varianten Veronese känd som den rationella normalkurvan , varav de lägre exemplen är bekanta.

För $n=1,d=1$ är Veronese-kartan helt enkelt identitetskartan på den projektiva linjen.
För $n=1,d=2,$ är Veronese-varianten standardparabeln $\displaystyle [x^{2}:xy :y^{2}],}$ , i affina koordinater $(x,x^{2}).$
För $n=1,d=3,$ är Veronese-varianten den vridna kubiska , $[x ^{3}:x^{2}y:xy^{2}:y^{3}],$ i affina koordinater $(x,x^{2},x^{3}).$

Biregelbunden

Bilden av en sort under Veronese-kartan är återigen en variation, snarare än bara en konstruerbar uppsättning ; dessutom är dessa isomorfa i den meningen att den omvända kartan existerar och är regelbunden – Veronesiska kartan är tvåregelbunden . Mer exakt är bilderna av öppna uppsättningar i Zariski-topologin öppna igen.

Se även

Veronese-ytan är den enda Severi-varianten av dimension 2

Joe Harris, Algebraic Geometry, A First Course , (1992) Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-97716-3