Mathieu grupp M ₂₄

Inom området för modern algebra känd som gruppteori är Mathieu -gruppen M ₂₄ en sporadisk enkel ordningsgrupp

2 ¹⁰ · 3 ³ · 5 · 7 · 11 · 23 = 244823040

≈ 2 × 10 ⁸ .

Historia och fastigheter

M ₂₄ är en av de 26 sporadiska grupperna och introducerades av Mathieu ( 1861 , 1873 ). Det är en 5-transitiv permutationsgrupp på 24 objekt. Schur -multiplikatorn och den yttre automorfismgruppen är båda triviala .

Mathieu-grupperna kan byggas upp på olika sätt. Till en början konstruerade Mathieu och andra dem som permutationsgrupper . Det var svårt att se att M ₂₄ faktiskt existerade, att dess generatorer inte bara genererade den alternerande gruppen A ₂₄ . Saken klargjordes när Ernst Witt konstruerade M ₂₄ som automorfism (symmetri) grupp av ett S(5,8,24) Steiner system W ₂₄ ( Witt design ). M ₂₄ är gruppen av permutationer som mappar varje block i denna design till något annat block. Undergrupperna M ₂₃ och M ₂₂ kan sedan lätt definieras som stabilisatorerna för en enskild punkt respektive ett par punkter.

Konstruktion som en permutationsgrupp

M ₂₄ är undergruppen av S ₂₄ som genereras av de tre permutationerna:

$_ (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23)}$
$,$ och
$(1,24)(2,23)(3,12)(4,16)(5,18)(6,10)(7,20)(8) ,14)(9,21)(11,17)(13,22)(15,19)$ .

M ₂₄ kan också genereras av två permutationer:

$_ ,16,8,23,13,14,5)(2,7,11,19,20,24,12)(3,4,17,9,22,21,15)}$ och
$(1,24)(2,21)(3,10)(4,22)(5,9)(6,23)(7,8)(11,18)(12,20)(13) ,14)(15,19)(16,17).$

M ₂₄ från PSL(3,4)

M ₂₄ kan byggas med utgångspunkt från PSL(3,4), den projektiva speciella linjära gruppen av 3-dimensionell rymd över det finita fältet med 4 element ( Dixon & Mortimer 1996, s. 192–205). Denna grupp, ibland kallad M21 _kallas , verkar på det projektiva planet över fältet F4 _, W21 _ett S(2,5,21)-system som . Dess 21 block kallas linjer . Alla två linjer skär varandra vid en punkt.

M ₂₁ har 168 enkla undergrupper av ordning 360 och 360 enkla undergrupper av ordning 168. I den större projektiva generella linjära gruppen PGL(3,4) bildar båda uppsättningarna av undergrupper enkla konjugationsklasser, men i M ₂₁ är båda uppsättningarna uppdelade i 3 konjugationsklasser . Undergrupperna har respektive banor om 6, kallade hyperovaler , och banor om 7, kallade Fano-subplan . Dessa uppsättningar gör det möjligt att skapa nya block för större Steiner-system. M ₂₁ är normal i PGL(3,4), av index 3. PGL(3,4) har en yttre automorfism inducerad genom att transponera konjugerade element i F ₄ (fältautomorfismen). PGL(3,4) kan därför utökas till gruppen PΓL(3,4) av projektiva semilinjära transformationer , som är _en delad förlängning av M21 _av den symmetriska gruppen S3 . PΓL(3,4) har en inbäddning som en maximal undergrupp av M ₂₄ .( Griess 1998 , s. 55)

En hyperoval har inga 3 punkter som är kolinjära. Ett Fano-underplan uppfyller också lämpliga unika villkor.

Till W ₂₁ lägg 3 nya punkter och låt automorfismerna i PΓL(3,4) men inte i M ₂₁ permutera dessa nya punkter. Ett S(3,6,22)-system W22 _bildas genom att bara lägga till en ny punkt till var och en av de 21 linjerna och nya block är 56 hyperovaler konjugerade under _M21 .

Ett S(5,8,24)-system skulle ha 759 block, eller oktader . Lägg till alla 3 nya punkter till varje rad av W ₂₁ , en annan ny punkt till Fano-subplanen i var och en av uppsättningarna med 120, och lägg till lämpliga par av nya punkter till alla hyperovaler. Det står för alla utom 210 av oktaderne. Dessa återstående oktader är delmängder av W ₂₁ och är symmetriska skillnader av linjepar. Det finns många möjliga sätt att utöka gruppen PΓL(3,4) till M ₂₄ .

Automorfismgrupp av Golay-koden

Gruppen M24 _är också permutationsautomorfismgruppen för den binära Golay-koden W , dvs gruppen av permutationer av koordinater som avbildar W till sig själv. Kodord motsvarar på ett naturligt sätt delmängder av en uppsättning av 24 objekt. (I kodningsteorin hänvisar termen "binär Golay-kod" ofta till en kortare relaterad längd 23-kod, och längd 24-koden som används här kallas den "extended binära Golay-koden".) De delmängder som motsvarar kodord med 8 eller 12 koordinater lika till 1 kallas oktader respektive dodekader . Oktaderne är blocken i ett S(5,8,24) Steiner-system och den binära Golay-koden är vektorutrymmet över fältet F ₂ som sträcks över av Steiner-systemets oktader.

De enkla undergrupperna M23 _, M22 _, M12 och _M11 kan definieras som undergrupper av M24, _{stabilisatorer} för en enda koordinat, ett ordnat koordinatpar, en dodecad och en dodecad tillsammans med en enda koordinat _.

Det finns en naturlig koppling mellan Mathieu-grupperna och de större Conway-grupperna , eftersom den binära Golay-koden och Leech-gittret båda ligger i utrymmen med dimension 24. Conway-grupperna återfinns i sin tur i Monstergruppen . Robert Griess hänvisar till de 20 sporadiska grupperna som finns i Monster som den lyckliga familjen , och till Mathieu-grupperna som den första generationen .

Polyedriska symmetrier

M ₂₄ kan konstrueras från symmetrier av Klein quartic , förstärkt av en (icke-geometrisk) symmetri av dess nedsänkning som den lilla cubicuboctahedron .

M ₂₄ kan konstrueras med utgångspunkt från symmetrierna för Klein-kvartiken (symmetrierna för en tessellation av släktets tre yta), vilket är PSL(2,7), som kan förstärkas med en ytterligare permutation. Denna permutation kan beskrivas genom att börja med plattsättningen av Klein-kvartiken med 56 trianglar (med 24 hörn – de 24 punkter som gruppen verkar på), sedan bildar kvadrater av några av de 2 trianglarna, och oktagoner av 6 trianglar, med den tillagda permutationen "byt ut de två ändpunkterna av de kanter av den ursprungliga triangulära plattsättningen som delar kvadraterna och oktagonerna". Detta kan visualiseras genom att färglägga trianglarna – motsvarande plattsättning är topologiskt men inte geometriskt t _0,1 {4, 3, 3} plattsättningen och kan (polyedriskt) nedsänkas i det euklidiska 3-rummet som den lilla cubicuboctahedron (som också har 24 hörn).

Ansökningar

Teorin om umbral moonshine är ett delvis förmodat förhållande mellan K3-ytor och M ₂₄ .

Conway -gruppen Co1 , Fischer -gruppen Fi24 och Janko-gruppen J4 har vardera maximala undergrupper som är en förlängning av Mathieu-gruppen M ₂₄ med en grupp 2 ¹¹ . (Dessa tillägg är inte likadana.) ^{[ citat behövs ]}

Framställningar

Frobenius (1904) beräknade den komplexa teckentabellen för M ₂₄ .

Mathieu-gruppen M ₂₄ har en 5-faldig transitiv permutationsrepresentation på 24 punkter. Den motsvarande linjära representationen över de komplexa talen är summan av den triviala representationen och en 23-dimensionell irreducerbar representation. ^{[ citat behövs ]}

M ₂₄ har två rang 3 permutationsrepresentationer : en på 276 = 1+44+231 paren av punkter (eller duads) med stabilisator M ₂₂ .2, och en på 1288 = 1+495+792 duads, med stabilisator M ₁₂ .2. ^{[ citat behövs ]}

Kvotienten för den 24-dimensionella linjära representationen av permutationsrepresentationen genom dess 1-dimensionella fasta delrum ger en 23-dimensionell representation, som är irreducerbar över vilket fält som helst med karaktäristik inte 2 eller 3, och ger den minsta trogna representationen över sådana fält. ^{[ citat behövs ]}

Att reducera den 24-dimensionella representationen mod 2 ger en åtgärd på F
²⁴₂ . Detta har oföränderliga delrum med dimension 1, 12 (Golay-koden) och 23. Underkvoterna ger två irreducerbara representationer av dimension 11 över fältet med 2 element. ^{[ citat behövs ]}

Maximala undergrupper

Choi (1972b) hittade de 9 konjugationsklasserna av maximala undergrupper av M24 _. Curtis (1977) gav ett kort bevis på resultatet och beskrev de 9 klasserna i termer av kombinatoriska data på de 24 punkterna: undergrupperna fixar en punkt, duad, oktad, duum, sextett, triad, trio, projektiv linje eller oktern, som beskrivet nedan. Todd (1966) gav teckentabellerna för M ₂₄ (ursprungligen beräknade av Frobenius (1904) ) och de 8 maximala undergrupper som var kända vid den tiden.

M ₂₄ innehåller icke-abelska enkla undergrupper av 13 isomorfismtyper: fem klasser av A5 _, fyra klasser av PSL(3,2), två klasser av A6 _, två klasser av PSL(2,11), en klass vardera av A ₇ , PSL(2,23), M11 _,_PSL (3,4), A8 _, M12 _, M22 , _M23 och _M24 . ^{[ citat behövs ]} A ₆ noteras också nedan som en underkvot i sextettundergruppen.

Mathieu-gruppen agerar på 2048 = 1+759+1288 punkter i Golay-koden modulo det fasta utrymmet med 3 omlopp, och på 4096 = 1+24+276+2024+1771 punkter i samkoden med 5 omlopp, och undergrupper som fixerar en icke-trivial punkt i koden eller samkoden ger 6 av de 9 klasserna av maximala undergrupper.

De 9 klasserna av maximala undergrupper är följande:

Punkt undergrupp

M ₂₃ , order 10200960

Duad undergrupp

En duad är ett par poäng. Undergruppen som fixerar en duad är M ₂₂ :2, order 887040, med banor på 2 och 22.

Octad undergrupp

Undergruppen som fixerar en av de 759 (= 3·11·23) oktaderne i Golay-koden eller Steiner-systemet är oktadgruppen 2 ⁴ :A ₈ , ordning 322560, med banor av storlek 8 och 16. Den linjära gruppen GL(4) ,2) har en exceptionell isomorfism till den alternerande gruppen _A8 . Den punktvisa stabilisatorn O för en oktad är en abelisk grupp av ordningen 16, exponent 2, vars involutioner flyttar alla 16 punkter utanför oktaden. Stabilisatorn för oktaden är en delad förlängning av O med A ₈ . ( Thompson 1983 , s. 197–208)

Duum undergrupp

En duum är ett par kompletterande dodecads (12 poängs set) i Golay-koden. Undergruppen som fixar en duad är M ₁₂ :2, ordning 190080, transitiv och imprimitiv. Denna undergrupp upptäcktes av Frobenius. Undergruppen M12 _verkar olika på 2 uppsättningar av 12, vilket återspeglar den yttre automorfismen hos _M12 .

Sextett undergrupp

2 ⁶ :(3.S ₆ ), order 138240: sextettgrupp

Betrakta en tetrad , vilken som helst uppsättning av 4 punkter i Steiner-systemet W ₂₄ . En oktad bestäms genom val av en femte punkt från de återstående 20. Det finns 5 oktader möjliga. Därför bestämmer vilken tetrad som helst en partition i 6 tetrader, kallad sextett , vars stabilisator i M ₂₄ kallas en sextettgrupp .

Det totala antalet tetrads är 24*23*22*21/4! = 23*22*21. Att dividera det med 6 ger antalet sextetter, 23*11*7 = 1771. Vidare är en sextettgrupp en undergrupp av en kransprodukt av ordningen 6!*(4!) ⁶ , vars enda primtalsdelare är 2, 3, och 5. ^{[ citat behövs ]} Nu känner vi till primtallarna för |M ₂₄ |. Ytterligare analys skulle bestämma ordningen för sextettgruppen och därmed |M ₂₄ |.

Det är bekvämt att ordna de 24 punkterna i en 6-av-4-array:

AEIMQU

BFJNRV

CGKOSW

DHLPTX

Dessutom är det bekvämt att använda elementen i fältet F ₄ för att numrera raderna: 0, 1, u, u ² .

Sextettgruppen har en normal abelisk undergrupp H av ordningen 64, isomorf till hexakoden , ett vektorrum med längd 6 och dimension 3 över F ₄ . Ett element som inte är noll i H gör dubbla transpositioner inom 4 eller 6 av kolumnerna. Dess verkan kan ses som addition av vektorkoordinater till radnummer.

Sextettgruppen är en delad förlängning av H med en grupp 3.S6 ( _en stamförlängning ) . ^{[ citat behövs ]} Här är ett exempel inom Mathieu-grupperna där en enkel grupp (A ₆ ) är en underkvot , inte en undergrupp. 3.S ₆ är normaliseraren i M ₂₄ i undergruppen genererad av r =(BCD)(FGH)(JKL)(NOP)(RST)(VWX), vilket kan ses som en multiplikation av radnummer med u ² . Undergruppen 3.A ₆ är centraliseraren för ⟨r⟩. Generatorer av 3.A ₆ är:

(AEI)(BFJ)(CGK)(DHL)(RTS)(VWX) (roterande första 3 kolumnerna)

(AQ)(BS)(CT)(DR)(EU)(FX)(GV)(HW) (

AUEIQ ) )(BXGKT)(CVHLR)(DWFJS) (produkt av föregående två)

(FGH)(JLK)(MQU)(NRV)(OSW)(PTX) (roterande sista 3 kolumnerna).

En udda permutation av kolumner, säg (CD)(GH)(KL)(OP)(QU)(RV)(SX)(TW), genererar sedan _3.S6 .

Gruppen 3.A ₆ är isomorf till en undergrupp av SL(3,4) vars bild i PSL(3,4) har noterats ^{[ av vem? ]} ovan som den hyperovala gruppen.

Appleten Moggie har en funktion som visar sextetter i färg.

Triad undergrupp

En triad är en uppsättning av 3 poäng. Undergruppen som fixerar en triad är PSL(3,4):S ₃ , order 120960, med banor av storlek 3 och 21.

Trio undergrupp

En trio är en uppsättning av 3 osammanhängande oktader av Golay-koden. Undergruppen som fixar en trio är triogruppen 2 ⁶ :(PSL(2,7) x S ₃ ), ordning 64512, transitiv och imprimitiv.

Projektiv linje undergrupp

Undergruppen som fixerar en projektiv linjestruktur på de 24 punkterna är PSL(2,23), order 6072, vars verkan är dubbelt transitiv. Denna undergrupp observerades av Mathieu.

Octern undergrupp

En oktern är en viss uppdelning av de 24 punkterna i 8 block av 3. Undergruppen som fixerar en oktern är okterngruppen isomorf till PSL(2,7), av ordningen 168, enkel, transitiv och imprimitiv. Det var den sista maximala undergruppen av M ₂₄ som hittades.

Konjugationskurser

Det finns 26 konjugationsklasser. Cykelformerna är alla balanserade i den meningen att de förblir oföränderliga under ändrade längd k cykler till längd N / k cykler för något heltal N beroende ^{[ hur? ]} på konjugationsklassen.

Beställa	Inga element	Cykelstruktur
1 = 1	1	1 ²⁴
2 = 2	11385 = 3 ² · 5 · 11 · 23	1 ⁸ 2 ⁸
2 = 2	31878 = 2 · 3 ² · 7 · 11 · 23	2 ¹²
3 = 3	226688 = 2 ⁷ · 7 · 11 · 23	1 ⁶ 3 ⁶
3 = 3	485760 = 2 ⁷ · 3 · 5 · 11 · 23	3 ⁸
4 = 2 ²	637560 = 2 ³ · 3 ² · 5 · 7 · 11 · 23	2 ⁴ 4 ⁴
	1912680 = 2 ³ · 3 ³ · 5 · 7 · 11 · 23	1 ⁴ 2 ² 4 ⁴
	2550240 = 2 ⁵ · 3 ² · 5 · 7 · 11 · 23	4 ⁶
5 = 5	4080384 = 2 ⁸ · 3 ³ · 7 · 11 · 23	1 ⁴ 5 ⁴
6 = 2 · 3	10200960 = 2 ⁷ · 3 ² · 5 · 7 · 11 · 23	1 ² 2 ² 3 ² 6 ²
6 = 2 · 3	10200960 = 2 ⁷ · 3 ² · 5 · 7 · 11 · 23	6 ⁴
7 = 7	5829120 = 2 ⁹ · 3 ² · 5 · 11 · 23	1 ³ 7 ³	effektekvivalent
7 = 7	5829120 = 2 ⁹ · 3 ² · 5 · 11 · 23	1 ³ 7 ³	effektekvivalent
8 = 2 ³	15301440 = 2 ⁶ · 3 ³ · 5 · 7 · 11 · 23	1 ² 2·4·8 ²
10 = 2 · 5	12241152 = 2 ⁸ · 3 ³ · 7 · 11 · 23	2 ² 10 ²
11 = 11	22256640 = 2 ¹⁰ · 3 ³ · 5 · 7 · 23	1 ² 11 ²
12 = 2 ² · 3	20401920 = 2 ⁸ · 3 ² · 5 · 7 · 11 · 23	2 ·4·6·12
12 = 2 ² · 3	20401920 = 2 ⁸ · 3 ² · 5 · 7 · 11 · 23	12 ²
14 = 2 · 7	17487360 = 2 ⁹ · 3 ³ · 5 · 11 · 23	1·2·7·14	effektekvivalent
14 = 2 · 7	17487360 = 2 ⁹ · 3 ³ · 5 · 11 · 23	1·2·7·14	effektekvivalent
15 = 3 · 5	16321536 = 2 ¹⁰ · 3 ² · 7 · 11 · 23	1·3·5·15	effektekvivalent
15 = 3 · 5	16321536 = 2 ¹⁰ · 3 ² · 7 · 11 · 23	1·3·5·15	effektekvivalent
21 = 3 · 7	11658240 = 2 ¹⁰ · 3 ² · 5 · 11 · 23	3·21	effektekvivalent
21 = 3 · 7	11658240 = 2 ¹⁰ · 3 ² · 5 · 11 · 23	3·21	effektekvivalent
23 = 23	10644480 = 2 ¹⁰ · 3 ³ · 5 · 7 · 11	1·23	effektekvivalent
23 = 23	10644480 = 2 ¹⁰ · 3 ³ · 5 · 7 · 11	1·23	effektekvivalent

Cameron, Peter J. (1999), Permutation Groups , London Mathematical Society Student Texts, vol. 45, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-65378-7
Carmichael, Robert D. (1956) [1937], "Introduktion till teorin om grupper av ändlig ordning" , Nature , New York: Dover Publications , 78 (2028): 442–443, Bibcode : 1908Natur..78..442G , doi : 10.1038/078442a0 , ISBN 978-0-486-60300-1 , MR 0075938
Choi, C. (maj 1972a), "On Subgroups of M ₂₄ . I: Stabilizers of Subsets", Transactions of the American Mathematical Society , 167 : 1–27, doi : 10.2307/1996123 , JSTOR 1996123
Choi, C. (maj 1972b). "Om undergrupper av M _24. II: Maximala undergrupper av M ₂₄ ". Transaktioner från American Mathematical Society . 167 : 29–47. doi : 10.2307/1996124 . JSTOR 1996124 .
Conway, John Horton (1971), "Tre föreläsningar om exceptionella grupper", i Powell, MB; Higman, Graham (red.), Finite simple groups , Proceedings of an Instructional Conference organiserad av London Mathematical Society (ett NATO Advanced Study Institute), Oxford, september 1969., Boston, MA: Academic Press , s. 215–247, ISBN 978-0-12-563850-0 , MR 0338152 Reprinted in Conway & Sloane (1999 , 267–298)
Conway, John Horton ; Parker, Richard A.; Norton, Simon P.; Curtis, RT; Wilson, Robert A. (1985), Atlas of finite groups , Oxford University Press , ISBN 978-0-19-853199-9 , MR 0827219
Conway, John Horton ; Sloane, Neil JA (1999), "Sphere Packings, Lattices and Groups" , Zeitschrift für Kristallographie , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften (3:e upplagan), Berlin, New York: Springer-Verlag , 290 (3–4): 286, Bibcode : 1990ZK....191..286F , doi : 10.1524/zkri.1990.191.3-4.286 , ISBN 978-0-387-98585-5 , MR 0920369
Curtis, Robert T. (1976), "A new combinatorial approach to M ₂₄ ", Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 79 (1): 25–42, Bibcode : 1976MPCPS..79...25C , doi : 10.1017 /S0305004100052075 , ISSN 0305-0041 , MR 0399247
Curtis, Robert T. (1977), "The maximum subgroups of M ₂₄ ", Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 81 (2): 185–192, Bibcode : 1977MPCPS..81..185C , doi : 10.1017/S5024010050503403050 , ISSN 0305-0041 , MR 0439926
Curtis, Robert T. (2007), Symmetric Generation of groups , Encyclopedia of Mathematics, Cambridge, Storbritannien: Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-85721-5
Cuypers, Hans, Mathieu-grupperna och deras geometrier ( PDF)
Dixon, John D.; Mortimer, Brian (1996), Permutation groups , Graduate Texts in Mathematics, vol. 163, Berlin, New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4612-0731-3 , ISBN 978-0-387-94599-6 , MR 1409812
Frobenius, Ferdinand Georg (1904), "Über die Charaktere der mehrfach transitiven Gruppen", Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften (på tyska), Königliche Akademie der Wissenschaften, Berlin, 16 : 558–571, Omtryckt i volym III av hans samlade Arbetar.
Griess, Robert L. Jr. (1998), Twelve sporadic groups , Springer Monographs in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-62778-4 , MR 1707296
Mathieu, Émile (1861), "Mémoire sur l'étude des fonctions de plusieurs quantités, sur la manière de les former et sur les substitutions qui les laissent invariables" , Journal de Mathématiques Pures et Appliquées , 6 : 241–323
Mathieu, Émile (1873), "Sur la fonction cinq fois transitive de 24 quantités" , Journal de Mathématiques Pures et Appliquées (på franska), 18 : 25–46, JFM 05.0088.01 ^{[ permanent död länk ]}
Miller, GA (1898), "Om den förmodade femfaldiga transitiva funktionen av 24 element och 19!/48 värden", Messenger of Mathematics , 27 : 187–190
Miller, GA (1900), "Sur plusieurs groupes simples" , Bulletin de la Société Mathématique de France , 28 : 266–267, doi : 10.24033/bsmf.635
Ronan, Mark (2006), Symmetry and the Monster , Oxford, ISBN 978-0-19-280722-9 (en introduktion för lekmannaläsaren, som beskriver Mathieu-grupperna i ett historiskt sammanhang)
Thompson, Thomas M. (1983), Från felkorrigerande koder genom sfärförpackningar till enkla grupper , Carus Mathematical Monographs, vol. 21, Mathematical Association of America , ISBN 978-0-88385-023-7 , MR 0749038
Todd, JA (1966), "A representation of the Mathieu group M ₂₄ as a collineation group", Annali di Matematica Pura ed Applicata , Series 4, 71 : 199–238, doi : 10.1007/BF02413742 , ISSN 6202 , ISSN 6202 0202854 , S2CID 119392616
Witt, Ernst (1938a), "über Steinersche Systeme", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg , 12 : 265–275, doi : 10.1007/BF02948948 , ISSN 0025-5858 , S72CID 3133
Witt, Ernst (1938b), "Die 5-fach transitiven Gruppen von Mathieu", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg , 12 : 256–264, doi : 10.1007/BF02948947 , S2CID 10136586

externa länkar

MathWorld: Mathieu-grupper
Atlas över ändliga grupprepresentationer: M ₂₄
Richter, David A., How to Make the Mathieu Group M ₂₄ , hämtad 2010-04-15

Mathieu grupp M 24