Umbral månsken
Inom matematiken är umbral moonshine en mystisk koppling mellan Niemeier-galler och Ramanujans sken -theta - funktioner . Det är en generalisering av Mathieu-månskensfenomenet som förbinder representationer av Mathieu-gruppen M24 med K3-ytor .
Mathieu månsken
Förhistorien till Mathieu moonshine börjar med en sats av Mukai, som hävdar att varje grupp av symplektiska automorfismer av en K3-yta bäddar in i Mathieu-gruppen M23. Månskensobservationen uppstod från fysiska överväganden: varje K3 sigma-modell konform fältteori har en verkan av N=(4,4) superkonformal algebra , som härrör från en hyperkähler struktur. När Tohru Eguchi, Hirosi Ooguri och Yuji Tachikawa ( 2011 ) beräknade de första få termerna för sönderdelningen av det elliptiska släktet av en K3 CFT till tecken i N=(4,4) superkonformal algebra, fann de att multipliciteten stämde väl överens. med enkla kombinationer av representationer av M24. Men enligt Mukai-Kondo-klassificeringen finns det ingen trogen verkan av denna grupp på någon K3-yta genom symplektiska automorfismer , och genom arbete av Gaberdiel-Hohenegger-Volpato finns det ingen trogen verkan på någon K3 CFT, så utseendet av en handling på det underliggande Hilbert-utrymmet är fortfarande ett mysterium.
Eguchi och Hikami visade att N=(4,4) multipliciteterna är skenbara modulära former, och Miranda Cheng föreslog att tecken i element i M24 också skulle vara skenbara modulära former. Detta förslag blev Mathieu Moonshine-förmodan, som hävdade att den virtuella representationen av N=(4,4) som ges av det elliptiska släktet K3 är en oändligt dimensionell graderad representation av M24 med icke-negativa multipliciteter i den massiva sektorn, och att karaktärerna är skenbara modulära former. 2012 bevisade Terry Gannon att representationen av M24 existerar.
Umbral månsken
Under 2012 samlade Cheng, Duncan & Harvey (2012) numeriska bevis på en förlängning av Mathieu moonshine, där familjer av skenbara modulära former var kopplade till divisorer på 24. Efter några gruppteoretiska diskussioner med Glauberman, Cheng, Duncan & Harvey (2013) ) fann att denna tidigare förlängning var ett specialfall (A-serien) av en mer naturlig kodning av Niemeier-gitter. För varje Niemeier rotsystem X , med motsvarande gitter L X , definierade de en umbral grupp G X , given av kvoten för automorfismgruppen av L X av undergruppen av reflektioner - dessa är också kända som stabilisatorerna för djupa hål i Igelgaller . De antog att det för varje X finns en oändligt dimensionell graderad representation K X av G X , så att tecknen för element ges av en lista över vektorvärderade skenmodulära former som de beräknat. Kandidatformerna uppfyller minimalitetsegenskaper som ganska liknar släktets nollvillkor för Monstruus moonshine . Dessa minimalitetsegenskaper innebär att de skenbara modulformerna bestäms unikt av deras skuggor, som är vektorvärderade thetaserier konstruerade från rotsystemet. Det speciella fallet där X är rotsystemet A 1 24 ger exakt Mathieu Moonshine. Den umbrala månskensförmodan har bevisats i Duncan, Griffin & Ono (2015) .
Namnet på umbral moonshine kommer från användningen av skuggor i teorin om skenbara modulära former. Andra månskensrelaterade ord som "lambency" gavs tekniska betydelser (i det här fallet släktets nollgrupp fäst vid en skugga S X , vars nivå är det dubbla Coxeter-numret i rotsystemet X ) av Cheng, Duncan och Harvey till fortsätt med temat.
Även om den umbrala månskensförmodan har avgjorts, finns det fortfarande många frågor kvar. Till exempel är kopplingar till geometri och fysik fortfarande inte särskilt solida, även om det finns arbete som relaterar umbralfunktioner till duVal singulariteter på K3-ytor av Cheng och Harrison. Som ett annat exempel är det aktuella beviset för den umbrala månskensförmodan ineffektiv, i den meningen att den inte ger naturliga konstruktioner av representationerna. Detta liknar situationen med monstruöst månsken under 1980-talet: Atkin, Fong och Smith visade genom beräkningar att en månskensmodul existerade 1980, men gav ingen konstruktion. Det effektiva beviset för Conway-Norton-förmodan gavs av Borcherds 1992, med hjälp av monsterrepresentationen konstruerad av Frenkel, Lepowsky och Meurman. Det finns en vertexalgebrakonstruktion för E 8 3 -fallet av Duncan och Harvey, där G X är den symmetriska gruppen S 3 . Den algebraiska strukturen ges dock av en asymmetrisk konlimningskonstruktion, vilket tyder på att det inte är sista ordet.
Se även
- Cheng, Miranda CN ; Duncan, John FR; Harvey, Jeffrey A. (2012), Umbral Moonshine , arXiv : 1204.2779 , Bibcode : 2012arXiv1204.2779C
- Cheng, Miranda CN ; Duncan, John FR; Harvey, Jeffrey A. (2013), Umbral Moonshine , arXiv : 1307.5793 , Bibcode : 2013arXiv1307.5793C
- Duncan, John FR; Griffin, Michael J.; Ono, Ken (10 december 2015), "Proof of the umbral moonshine conjecture", Research in the Mathematical Sciences , 2 (1), arXiv : 1503.01472 , doi : 10.1186/s40687-015-0044-7
- Eguchi, Tohru; Hikami, Kazuhiro (2009), "Superconformal algebras and mock theta functions", Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical , 42 (30): 531–554 , arXiv : 0904.0911 , Bibcode : 2009JPhA ... 1751-8113/42/30/304010 , ISSN 1751-8113 , MR 2521329
- Eguchi, Tohru; Hikami, Kazuhiro (2009), "Superconformal algebras and mock theta functions. II. Rademacher expansion for K3 surface" , Communications in Number Theory and Physics , 3 (3): 531–554, arXiv : 0904.0911 , doi : 10.431p. 2009.v3.n3.a4 , ISSN 1931-4523 , MR 2591882
- Eguchi, Tohru; Ooguri, Hirosi; Tachikawa, Yuji (2011), "Notes on the K3 surface and the Mathieu group M 24 ", Experimental Mathematics , 20 (1): 91–96, arXiv : 1004.0956 , doi : 10.1080/105861458.84 8SN 5458.51 IS . , MR 2802725