Mathieu grupp M ₁₂

Inom området för modern algebra känd som gruppteori är Mathieu -gruppen M ₁₂ en sporadisk enkel ordningsgrupp

12 · 11 · 10 · 9 · 8 = 2 ⁶ · 3 ³ · 5 · 11 = 95040.

Historia och fastigheter

M ₁₂ är en av de 26 sporadiska grupperna och introducerades av Mathieu ( 1861 , 1873 ). Det är en skarpt 5-transitiv permutationsgrupp på 12 objekt. Burgoyne & Fong (1968) visade att Schur-multiplikatorn för M ₁₂ har ordning 2 (rätta ett misstag i ( Burgoyne & Fong 1966 ) där de felaktigt hävdade att den hade ordning 1).

Den dubbla täckningen hade implicit hittats tidigare av Coxeter (1958) , som visade att M ₁₂ är en undergrupp av den projektiva linjära gruppen av dimension 6 över det finita fältet med 3 element.

Den yttre automorfismgruppen har ordning 2, och den fullständiga automorfismgruppen M ₁₂ .2 ingår i M ₂₄ som stabilisator för ett par komplementära dodekader på 24 punkter, med yttre automorfismer av M ₁₂ som byter ut de två dodecaderna.

Framställningar

Frobenius (1904) beräknade den komplexa teckentabellen för M ₁₂ .

M ₁₂ har en strikt 5-transitiv permutationsrepresentation på 12 punkter, vars punktstabilisator är Mathieu-gruppen M ₁₁ . Genom att identifiera de 12 punkterna med den projektiva linjen över fältet av 11 element, genereras M _{12 av permutationerna av PSL}₂ (11) tillsammans med permutationen (2,10)(3,4)(5,9)(6, 7). Denna permutationsrepresentation bevarar ett Steiner-system S(5,6,12) med 132 speciella hexader, så att varje pentad ingår i exakt 1 speciell hexad, och hexaderna är stöden för vikten 6 kodorden i den utökade ternära Golay- koden . Faktum är att M ₁₂ har två likvärdiga handlingar på 12 punkter, utbytta av en yttre automorfism; dessa är analoga med de två inekvivalenta verkningarna av den symmetriska gruppen S ₆ på 6 punkter.

Det dubbla locket 2.M ₁₂ är automorfismgruppen för den utökade ternära Golay-koden , en dimension 6 längd 12-kod över fältet ordning 3 med minsta vikt 6. I synnerhet har det dubbla locket en irreducerbar 6-dimensionell representation över fältet av 3 element.

Det dubbla höljet 2.M ₁₂ är automorfismgruppen för vilken 12×12 Hadamard-matris som helst .

M ₁₂ centraliserar ett element av ordning 11 i monstergruppen , som ett resultat av vilket det verkar naturligt på en vertexalgebra över fältet med 11 element, givet som Tate-kohomologin för monstervertexalgebra .

Maximala undergrupper

Det finns 11 konjugationsklasser av maximala undergrupper av M ₁₂ , 6 som förekommer i automorfa par, enligt följande:

M ₁₁ , order 7920, index 12. Det finns två klasser av maximala undergrupper, utbytta av en yttre automorfism. Den ena är undergruppen som fixerar en punkt med banor av storlek 1 och 11, medan den andra verkar transitivt på 12 punkter.
S6 :2 = M10.2 _, den yttre automorfismgruppen i den symmetriska gruppen S6 _av_ordningen 1440, index 66. Det finns två klasser av maximala undergrupper, utbytta av en yttre automorfism. Den ena är imprimitiv och transitiv, verkar med 2 block av 6, medan den andra är undergruppen som fixerar ett par punkter och har banor av storlek 2 och 10.
PSL(2,11), order 660, index 144, dubbelt transitiv på de 12 punkterna
3 ² :(2.S ₄ ), ordning 432. Det finns två klasser av maximala undergrupper, utbytta av en yttre automorfism. Den ena agerar med banor på 3 och 9, och den andra är imprimitiv på 4 uppsättningar av 3.

Isomorf till den affina gruppen på utrymmet C ₃ x C ₃ .

S ₅ x 2, ordning 240, dubbelt imprimitiv på 6 uppsättningar av 2 punkter

Centraliserare av en sexdubbel transposition

Q :S ₄ , ordning 192, banor av 4 och 8.

Centraliserare av en fyrdubbel transponering

4 ² :(2 x S ₃ ), order 192, imprimitiv på 3 set om 4
A ₄ x S ₃ , ordning 72, dubbelt imprimitiv, 4 set med 3 poäng.

Konjugationskurser

Cykelformen för ett element och dess konjugat under en yttre automorfism är relaterade på följande sätt: föreningen av de två cykelformerna är balanserad, med andra ord invariant vid ändring av varje n-cykel till en N/ n - cykel för något heltal N .

Beställa	siffra	Centraliserare	Cyklar	Fusion
1	1	95040	1 ¹²
2	396	240	2 ⁶
2	495	192	1 ⁴ 2 ⁴
3	1760	54	1 ³ 3 ³
3	2640	36	3 ⁴
4	2970	32	2 ² 4 ²	Sammansmält under en yttre automorfism
4	2970	32	1 ⁴ 4 ²	Sammansmält under en yttre automorfism
5	9504	10	1 ² 5 ²
6	7920	12	6 ²
6	15840	6	1 2 3 6
8	11880	8	1 ² 2 8	Sammansmält under en yttre automorfism
8	11880	8	4 8	Sammansmält under en yttre automorfism
10	9504	10	2 10
11	8640	11	1 11	Sammansmält under en yttre automorfism
11	8640	11	1 11	Sammansmält under en yttre automorfism

Adem, Alejandro ; Maginnis, John; Milgram, R. James (1991), "The geometri and cohomology of the Mathieu group M₁₂", Journal of Algebra , 139 (1): 90–133, doi : 10.1016/0021-8693(91)90285-G , hdl : 2027.42/29344 , ISSN 0021-8693 , MR 1106342
Burgoyne, N.; Fong, Paul (1966), "The Schur multipliers of the Mathieu groups" , Nagoya Mathematical Journal , 27 (2): 733–745, doi : 10.1017 /S0027763000026519 , ISSN 0027-74201 9 75MR
Burgoyne, N.; Fong, Paul (1968), " A correction to: "The Schur multipliers of the Mathieu groups" " , Nagoya Mathematical Journal , 31 : 297–304, doi : 10.1017/ S0027763000012782 , ISSN 00027-763
Cameron, Peter J. (1999), Permutation Groups , London Mathematical Society Student Texts, vol. 45, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-65378-7
Carmichael, Robert D. (1956) [1937], Introduktion till teorin om grupper av ändlig ordning , New York: Dover Publications , ISBN 978-0-486-60300-1 , MR 0075938
Conway, John Horton (1971), "Tre föreläsningar om exceptionella grupper", i Powell, MB; Higman, Graham (red.), Finite simple groups , Proceedings of an Instructional Conference organiserad av London Mathematical Society (ett NATO Advanced Study Institute), Oxford, september 1969., Boston, MA: Academic Press , s. 215–247, ISBN 978-0-12-563850-0 , MR 0338152 Reprinted in Conway & Sloane (1999 , 267–298)
Conway, John Horton ; Parker, Richard A.; Norton, Simon P.; Curtis, RT; Wilson, Robert A. (1985), Atlas of finite groups , Oxford University Press , ISBN 978-0-19-853199-9 , MR 0827219
Conway, John Horton ; Sloane, Neil JA (1999), Sphere Packings, Lattices and Groups , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 290 (3:e upplagan), Berlin, New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4757-2016-7 , ISBN 978-0-387-98585-5 , MR 0920369
Coxeter, Harold Scott MacDonald (1958), "Tolv poäng i PG(5,3) med 95040 självförvandlingar", Proceedings of the Royal Society of London. Series A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences , 247 (1250): 279–293, doi : 10.1098 /rspa.1958.0184 , ISSN 0962-8444 , JSTOR 100667 , MR 012028ID 12028ID 769
Curtis, RT (1984), "Steiner-systemet S(5, 6, 12), Mathieu-gruppen M₁₂ och "kattungen" ", i Atkinson, Michael D. (red.), Computational group theory. Proceedings of the London Mathematical Society symposium som hölls i Durham, 30 juli–9 augusti 1982. , Boston, MA: Academic Press , s. 353–358, ISBN 978-0-12-066270-8 , MR 0760669
Cuypers, Hans, Mathieu-grupperna och deras geometrier ( PDF)
Dixon, John D.; Mortimer, Brian (1996), Permutation groups , Graduate Texts in Mathematics, vol. 163, Berlin, New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4612-0731-3 , ISBN 978-0-387-94599-6 , MR 1409812
Frobenius, Ferdinand Georg (1904), "Über die Charaktere der mehrfach transitiven Gruppen", Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften (på tyska), Königliche Akademie der Wissenschaften, Berlin, 16 : 558–571, Omtryckt i volym III av hans samlade Arbetar.
Gill, Nick; Hughes, Sam (2019), "The character table of a sharply 5-transitive subgroup of the alternating group of degree 12", International Journal of Group Theory , doi : 10.22108/IJGT.2019.115366.1531 , S2CID 119151614
Griess, Robert L. Jr. (1998), Twelve sporadic groups , Springer Monographs in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-662-03516-0 , ISBN 978-3-540- 62778-4 , MR 1707296
Hughes, Sam (2018), Representation and Character Theory of the Small Mathieu Groups (PDF)
Mathieu, Émile (1861), "Mémoire sur l'étude des fonctions de plusieurs quantités, sur la manière de les former et sur les substitutions qui les laissent invariables" , Journal de Mathématiques Pures et Appliquées , 6 : 241–323
Mathieu, Émile (1873), "Sur la fonction cinq fois transitive de 24 quantités" , Journal de Mathématiques Pures et Appliquées (på franska), 18 : 25–46, JFM 05.0088.01 ^{[ permanent död länk ]}
Thompson, Thomas M. (1983), Från felkorrigerande koder genom sfärförpackningar till enkla grupper , Carus Mathematical Monographs, vol. 21, Mathematical Association of America , ISBN 978-0-88385-023-7 , MR 0749038
Witt, Ernst (1938a), "über Steinersche Systeme", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg , 12 : 265–275, doi : 10.1007/BF02948948 , ISSN 0025-5858 , S72CID 3133
Witt, Ernst (1938b), "Die 5-fach transitiven Gruppen von Mathieu", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg , 12 : 256–264, doi : 10.1007/BF02948947 , S2CID 10136586

externa länkar

Mathieu grupp M 12