Mathieu grupp M ₂₂

Inom området för modern algebra känd som gruppteori är Mathieu- gruppen M 22 _en sporadisk enkel ordningsgrupp

2 ⁷ · 3 ² · 5 · 7 · 11 = 443520

≈ 4 × 10 ⁵ .

Historia och fastigheter

M ₂₂ är en av de 26 sporadiska grupperna och introducerades av Mathieu ( 1861 , 1873 ). Det är en 3-faldig transitiv permutationsgrupp på 22 objekt. Schur -multiplikatorn för M ₂₂ är cyklisk av ordning 12, och den yttre automorfismgruppen har ordning 2.

Det finns flera felaktiga påståenden om 2-delen av Schur-multiplikatorn i den matematiska litteraturen. Burgoyne & Fong (1966) hävdade felaktigt att Schur-multiplikatorn för M ₂₂ har ordning 3, och i en rättelse hävdade Burgoyne & Fong (1968) felaktigt att den har ordning 6. Detta orsakade ett fel i titeln på tidningen Janko (1976) ) som tillkännager upptäckten av Janko-gruppen J4 . Mazet (1979) visade att Schur-multiplikatorn i själva verket är cyklisk av ordning 12.

Adem & Milgram (1995) beräknade 2-delen av all kohomologi av M ₂₂ .

Framställningar

M ₂₂ har en 3-transitiv permutationsrepresentation på 22 punkter, med punktstabilisator gruppen PSL ₃ (4), ibland kallad M ₂₁ . Denna åtgärd fixerar ett Steiner-system S(3,6,22) med 77 hexader, vars fullständiga automorfismgrupp är automorfismgruppen _M22.2 av _M22 .

M ₂₂ har tre rang 3 permutationsrepresentationer : en på de 77 hexaderna med punktstabilisator 2 ⁴ :A ₆ och två rang 3 åtgärder på 176 heptader som är konjugerade under en yttre automorfism och har punktstabilisator A ₇ .

M ₂₂ är punktstabilisatorn för handlingen av M ₂₃ på 23 poäng, och även punktstabilisatorn för rang 3-åtgärden i Higman–Sims-gruppen på 100 = 1+22+77 poäng.

Trippelkåpan 3.M ₂₂ har en 6-dimensionell trogen representation över fältet med 4 element.

Det 6-faldiga locket av M ₂₂ visas i centraliseraren 2 ¹⁺¹² .3.(M ₂₂ :2) av en involution av Janko-gruppen J4 .

Maximala undergrupper

Det finns inga egentliga subgrupper transitiva på alla 22 punkter. Det finns 8 konjugationsklasser av maximala undergrupper av M ₂₂ enligt följande:

PSL(3,4) eller M ₂₁ , beställning 20160: enpunktsstabilisator
2 ⁴ :A ₆ , ordning 5760, banor på 6 och 16

Stabilisator av W ₂₂ block

A ₇ , ordning 2520, banor av 7 och 15

Det finns 2 uppsättningar, med 15 vardera, av enkla undergrupper av ordning 168. De av en typ har banor av 1, 7 och 14; de andra har banor av 7, 8 och 7.

_A7 , banor av 7 och 15

Konjugerar till föregående typ i M ₂₂ :2.

2 ⁴ :S ₅ , ordning 1920, banor på 2 och 20 (5 block av 4)

En 2-punktsstabilisator i sextettgruppen

2 ³ :PSL(3,2), ordning 1344, banor på 8 och 14
M ₁₀ , ordning 720, banor på 10 och 12 (2 block om 6)

En enpunktsstabilisator av M ₁₁ (punkt i omloppsbana av 11)

En icke-delad gruppförlängning av form A ₆ .2

PSL(2,11), ordning 660, orbitar av 11 och 11

En annan enpunktsstabilisator av M ₁₁ (punkt i omloppsbana om 12)

Konjugationskurser

Det finns 12 konjugationsklasser, även om de två klasserna av element av ordning 11 är sammansmälta under en yttre automorfism.

Beställa	Inga element	Cykelstruktur
1 = 1	1	1 ²²
2 = 2	1155 = 3 · 5 · 7 · 11	1 ⁶ 2 ⁸
3 = 3	12320 = 2 ⁵ · 5 · 7 · 11	1 ⁴ 3 ⁶
4 = 2 ²	13860 = 2 ² · 3 ² · 5 · 7 · 11	1 ² 2 ² 4 ⁴
4 = 2 ²	27720 = 2 ³ · 3 ² · 5 · 7 · 11	1 ² 2 ² 4 ⁴
5 = 5	88704 = 2 ⁷ · 3 ² · 7 · 11	1 ² 5 ⁴
6 = 2 · 3	36960 = 2 ⁵ · 3 · 5 · 7 · 11	2 ² 3 ² 6 ²
7 = 7	63360= 2 ⁷ · 3 ² · 5 · 11	1 7 ³	Effektekvivalent
7 = 7	63360= 2 ⁷ · 3 ² · 5 · 11	1 7 ³	Effektekvivalent
8 = 2 ³	55440 = 2 ⁴ · 3 ² · 5 · 7 · 11	2·4·8 ²
11 = 11	40320 = 2 ⁷ · 3 ² · 5 · 7	11 ²	Effektekvivalent
11 = 11	40320 = 2 ⁷ · 3 ² · 5 · 7	11 ²	Effektekvivalent

Se även

M ₂₂ graf

Adem, Alejandro ; Milgram, R. James (1995), "The cohomology of the Mathieu group M₂₂", Topology , 34 ( 2): 389–410, doi : 10.1016 /0040-9383(94)00029-K , ISSN 0040-9383 1318884
Burgoyne, N.; Fong, Paul (1966), "The Schur multipliers of the Mathieu groups" , Nagoya Mathematical Journal , 27 (2): 733–745, doi : 10.1017 /S0027763000026519 , ISSN 0027-74201 9 75MR
Burgoyne, N.; Fong, Paul (1968), " A correction to: "The Schur multipliers of the Mathieu groups" " , Nagoya Mathematical Journal , 31 : 297–304, doi : 10.1017/ S0027763000012782 , ISSN 00027-763
Cameron, Peter J. (1999), Permutation Groups , London Mathematical Society Student Texts, vol. 45, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-65378-7
Carmichael, Robert D. (1956) [1937], Introduktion till teorin om grupper av ändlig ordning , New York: Dover Publications , ISBN 978-0-486-60300-1 , MR 0075938
Conway, John Horton (1971), "Tre föreläsningar om exceptionella grupper", i Powell, MB; Higman, Graham (red.), Finite simple groups , Proceedings of an Instructional Conference organiserad av London Mathematical Society (ett NATO Advanced Study Institute), Oxford, september 1969., Boston, MA: Academic Press , s. 215–247, ISBN 978-0-12-563850-0 , MR 0338152 Reprinted in Conway & Sloane (1999 , 267–298)
Conway, John Horton ; Parker, Richard A.; Norton, Simon P.; Curtis, RT; Wilson, Robert A. (1985), Atlas of finite groups , Oxford University Press , ISBN 978-0-19-853199-9 , MR 0827219
Conway, John Horton ; Sloane, Neil JA (1999), Sphere Packings, Lattices and Groups , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 290 (3:e upplagan), Berlin, New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4757-2016-7 , ISBN 978-0-387-98585-5 , MR 0920369
Cuypers, Hans, Mathieu-grupperna och deras geometrier ( PDF)
Dixon, John D.; Mortimer, Brian (1996), Permutation groups , Graduate Texts in Mathematics, vol. 163, Berlin, New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4612-0731-3 , ISBN 978-0-387-94599-6 , MR 1409812
Griess, Robert L. Jr. (1998), Twelve sporadic groups , Springer Monographs in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-662-03516-0 , ISBN 978-3-540- 62778-4 , MR 1707296
Harada, Koichiro; Solomon, Ronald (2008), "Finita grupper med en standardkomponent L av typ M₁₂ eller M₂₂", Journal of Algebra , 319 (2): 621–628, doi : 10.1016/j.jalgebra.2006.09.0001 , ISSN -SN-SN- SN 8693 , MR 2381799
Janko, Z. (1976). "En ny finit enkel grupp av ordningen 86,775,570,046,077,562,880 som har M ₂₄ och den heltäckande gruppen M ₂₂ som undergrupper" . J. Algebra . 42 : 564-596. doi : 10.1016/0021-8693(76)90115-0 . (Rubriken på denna artikel är felaktig, eftersom den heltäckande gruppen av M ₂₂ senare upptäcktes vara större: ordningens centrum 12, inte 6.)
Mathieu, Émile (1861), "Mémoire sur l'étude des fonctions de plusieurs quantités, sur la manière de les former et sur les substitutions qui les laissent invariables" , Journal de Mathématiques Pures et Appliquées , 6 : 241–323
Mathieu, Émile (1873), "Sur la fonction cinq fois transitive de 24 quantités" , Journal de Mathématiques Pures et Appliquées (på franska), 18 : 25–46, JFM 05.0088.01 ^{[ permanent död länk ]}
Mazet, Pierre (1979), "Sur le multiplicateur de Schur du groupe de Mathieu M₂₂", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série A et B , 289 ( 14): A659–A661, ISSN 0151-0509 , MR 05600
Thompson, Thomas M. (1983), Från felkorrigerande koder genom sfärförpackningar till enkla grupper , Carus Mathematical Monographs, vol. 21, Mathematical Association of America , ISBN 978-0-88385-023-7 , MR 0749038
Witt, Ernst (1938a), "über Steinersche Systeme", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg , 12 : 265–275, doi : 10.1007/BF02948948 , ISSN 0025-5858
Witt, Ernst (1938b), "Die 5-fach transitiven Gruppen von Mathieu", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg , 12 : 256–264, doi : 10.1007/BF02948947

externa länkar

Mathieu grupp M 22