Chows lemma

Ej att förväxla med Chows teorem .

Chows lemma , uppkallat efter Wei-Liang Chow , är ett av de grundläggande resultaten inom algebraisk geometri . Det säger ungefär att en riktig morfism är ganska nära att vara en projektiv morfism . Mer exakt, en version av den säger följande:

Om $X$ är ett schema som är korrekt över en nothersk bas $S$ , så finns det ett projektivt $S$ -schema $X'$ och ett surjektivt ${ \displaystyle S}$ -morfism $f:X'\to X$ som inducerar en isomorfism $f^{-1}(U)\simeq U$ för något tätt öppet $U\subseteq X.$

Bevis

Beviset här är ett standardbevis.

Reduktion till fallet $X$ irreducible

Vi kan först reducera till fallet där $X$ är irreducerbar. Till att börja med $X$ noetersk eftersom det är av finit typ över en notersk bas. Därför har den ändligt många irreducerbara komponenter ${\displaystyle X_{i}} ,$ och vi hävdar att det för varje $X_{i}$ finns ett irreducerbart egentligt $S$ -schema ${ \displaystyle Y_{i}}$ så att $Y_{i}\to X$ har mängdteoretisk bild $X_{i}$ och är en isomorfism på den öppna täta delmängden $X_{i}\setminus \cup _{j\neq i}X_{j}$ av $X_{i}$ . För att se detta, definiera $Y_{i}$ som den schemateoretiska bilden av den öppna nedsänkningen

$X\setminus \cup _{j\neq i}X_{j}\to X.$

Eftersom $X\setminus \cup _{j\neq i}X_{j}$ är mängdteoretiskt noetersk för varje $i$ , så är kartan $X\setminus \cup _{j\neq i}X_{j}\to X$ är kvasikompakt och vi kan beräkna denna schemateoretiska bild affinlokalt på $X$ , som omedelbart bevisar de två påståendena. Om vi ​​kan producera för varje $Y_{i}$ ett projektivt $S$ -schema $Y_{i}'$ som i satssatsen, då kan vi ta $X'$ för att vara den disjunkta föreningen $\coprod Y_{i}'$ och $f$ för att vara kompositionen ${ \displaystyle \coprod Y_{i}'\to \coprod Y_{i}\to X}$ : denna karta är projektiv och en isomorfism över en tät öppen uppsättning av $X$ , medan ${\ displaystyle \coprod Y_{i}'}$ är ett projektivt $S$ -schema eftersom det är en finit förening av projektiva $S$ -scheman. Eftersom varje $Y_{i}$ är korrekt över $S$ , har vi slutfört reduktionen till fallet $X$ irreducible.

$X$ kan täckas av ändligt många kvasiprojektiva $S$ -scheman

Därefter kommer vi att visa att $X$ kan täckas av ett ändligt antal öppna delmängder $U_{i}$ så att varje $U_{i}$ är kvasiprojektiv över $S$ . För att göra detta kan vi genom kvasi-kompakthet först täcka $S$ med ändligt många affina öppningar $S_{j}$ och sedan täcka förbilden av varje $S_{j}$ i $X$ av ändligt många affine öppnar $X_{jk}$ var och en med en sluten nedsänkning i $\mathbb {A} _{S_{j}} ^{n}$ eftersom $X\to S$ är av finit typ och därför kvasikompakt. Att komponera den här kartan med de öppna nedsänkningarna $\mathbb {A} _{S_{j}}^{n}\to \mathbb {P} _{S_{j}}^ {n}$ och ${\displaystyle \mathbb {P} _{S_{j}}^{n}\to \mathbb {P} _{S}^{n}} ,$ vi se att varje $X_{ij}$ är ett slutet delschema av ett öppet delschema av $\mathbb {P} _{S}^{n}$ . Eftersom $\mathbb {P} _{S}^{n}$ är noetersk, är varje stängt underschema i ett öppet underschema också ett öppet underschema till ett slutet underschema, och därför är varje $X_{ij}$ är kvasiprojektiv över $S$ .

Konstruktion av $X'$ och $f:X'\to X$

Antag nu att $\{U_{i}\}$ är ett ändligt öppet omslag till $X$ av kvasiprojektiva $S$ -scheman, med $\phi _{i}:U_{i}\to P_{i}$ en öppen nedsänkning i ett projektivt $S$ -schema. Ange ${\displaystyle U=\cap _{i}U_{i}} ,$ vilket är icke-tomt eftersom $X$ är irreducerbar. Restriktionerna för $\phi _{i}$ till $U$ definierar en morfism

$\phi :U\to P=P_{1}\times _{S}\cdots \times _{S}P_{n}$

så att $U\to U_{i}\to P_{i}=U{\stackrel {\phi }{\to }}P {\stackrel {p_{i}}{\to }}P_{i}$ , där $U\to U_{i}$ är den kanoniska injektionen och ${\ displaystyle p_{i}:P\to P_{i}}$ är projektionen. Låter $j:U\to X$ beteckna den kanoniska öppna nedsänkningen, vi definierar ${\displaystyle \psi =(j,\phi )_{S}:U\to X\times _{S}P} ,$ som vi hävdar är en nedsänkning. För att se detta, notera att denna morfism kan faktoriseras som grafmorfismen ${\displaystyle U\to U\times _{S}P} ($ vilket är en sluten nedsänkning som $P \to S$ separeras) följt av den öppna nedsänkningen $U\times _{S}P\to X\times _{S}P$ ; eftersom $X\times _{S}P$ är noetersk, kan vi tillämpa samma logik som tidigare för att se att vi kan byta ordning på de öppna och slutna nedsänkningarna.

Låt nu $X'$ vara den schemateoretiska bilden av $\psi$ , och faktorn $\psi$ som

$\psi :U{\stackrel {\psi '}{\to }}X'{\stackrel {h}{\to }}X\ gånger _{S}P$

där $\psi '$ är en öppen nedsänkning och $h$ är en sluten nedsänkning. Låt $q_{1}:X\ gånger _{S}P\to X$ och $q_{2}:X\ gånger _{S}P\to P$ är de kanoniska projektionerna. Uppsättning

$f:X'{\stackrel {h}{\to }}X\ gånger _{S}P{\stackrel {q_{1}} {\to }}X,$

$g:X'{\stackrel {h}{\to }}X\ gånger _{S}P{\stackrel {q_{2}}{\to }}P.$

Vi kommer att visa att $X'$ och $f$ uppfyller slutsatsen av satsen.

Verifiering av de påstådda egenskaperna för $X'$ och $f$

För att visa att $f$ är surjektiv, noterar vi först att det är korrekt och därför stängt. Eftersom dess bild innehåller den täta öppna mängden $U\subset X$ ser vi att $f$ måste vara surjektiv. Det är också enkelt att se att $f$ inducerar en isomorfism på $U$ : vi kan bara kombinera fakta att $f^{-1}(U)=h^{-1}(U\ gånger _{S}P)$ och $\psi$ är en isomorfism på sin bild, eftersom $\psi$ faktorer som sammansättningen av en sluten nedsänkning följt av en öppen nedsänkning $U\to U\times _{S}P\to X\times _{S}P$ . Det återstår att visa att $X'$ är projektiv över $S$ .

Vi kommer att göra detta genom att visa att $g:X'\to P$ är en nedsänkning. Vi definierar följande fyra familjer av öppna delsystem:

$V_{i}=\phi _{i}(U_{i})\subset P_{i}$

$W_{i}=p_{i}^{-1}(V_{i})\subset P$

$U_{i})\delmängd X'}$

$U_{i} '=f^{-1$

$U_{i}''=g^{-1}(W_{i})\subset X'.$

Eftersom $U_{i}$ täcker $X$ , $​​{\displaystyle U_{i}'}$ täcker $X'$ , och vi vill visa att $U_{i}''$ täcker även $X'$ . Vi kommer att göra detta genom att visa att $U_{i}'\subset U_{i}''$ för alla $i$ . Det räcker att visa att ${\displaystyle p_{i}\circ g|_{U_{i}'}:U_{i}'\to P_{i}} är lika$ med ${\displaystyle \phi _{i}\circ f|_{U_{i}'}:U_{i}'\to P_{i}} som en karta över topologiska$ utrymmen . Genom att ersätta $​​{\displaystyle U_{i}'}$ med dess reduktion, som har samma underliggande topologiska rymd, har vi att de två morfismerna $(U_{i} ')_{red}\to P_{i}$ är båda förlängningar av den underliggande kartan över topologiska rymden ${\displaystyle U\to U_{i}\to P_{i}} ,$ så av de reducerade-till-separerade lemma måste vara lika eftersom $U$ är topologiskt tät i $U_{i}$ . Därför $U_{i}'\subset U_{i}''$ för alla $i$ och påståendet är bevisat.

Resultatet är att $W_{i}$ täcker $g(X')$ , och vi kan kontrollera att $g$ är en nedsänkning genom att kontrollera att $g|_{U_{i}''}:U_{i}''\to W_{i}$ är en fördjupning för alla $i$ . För detta, överväg morfismen

$u_{i}:W_{i}{\stackrel {p_{i}}{\to }}V_{i}{\stackrel {\phi _{i}^{-1}}{\to } }U_{i}\till X.$

Eftersom $X\to S$ är separerad, är grafmorfismen $\Gamma _{u_{i}}:W_{i}\to X \times _{S}W_{i}$ är en sluten nedsänkning och grafen $T_{i}=\Gamma _{u_{i}}(W_{i} )$ är ett slutet underschema av $\displaystyle X\times _{S}W_{i}}$ ; om vi visar att $U\to X\times _{S}W_{i}$ faktorer genom denna graf (där vi betraktar $U\subset X'$ via vår observation att $f$ är en isomorfism över $f^{-1}(U)$ från tidigare), sedan kartan från $U_{i }''$ måste också faktorisera genom denna graf genom konstruktion av den schemateoretiska bilden. Eftersom begränsningen av $q_{2}$ till $T_{i}$ är en isomorfism på $W_{i}$ , är begränsningen av $g$ till $U_{i}''$ kommer att vara en fördjupning i $W_{i}$ och vårt påstående kommer att bevisas. Låt $v_{i}$ vara den kanoniska injektionen $U\subset X'\to X\times _{S}W_{i}$ ; vi måste visa att det finns en morfism $w_{i}:U\subset X'\to W_{i}$ att $v_{i}=\Gamma _{u_{i}}\circ w_{i}$ . Enligt definitionen av fiberprodukten är det tillräckligt att bevisa att $q_{1}\circ v_{i}=u_{i}\circ q_{2 }\circ v_{i}$ , eller genom att identifiera $U\subset X$ och $U\subset X'$ , att $q_{1}\circ \psi =u_{i}\circ q_{2}\circ \psi$ . Men $q_{1}\circ \psi =j$ och $q_{2}\circ \psi =\phi$ , så den önskade slutsatsen följer av definitionen av $\phi :U\to P$ och $g$ är en nedsänkning. Eftersom ${\displaystyle X'\to S} är korrekt$ stängs alla $S$ -morfism från ${\displaystyle X'} , och därför$$g:X'\to P$ är en sluten nedsänkning, så $X'$ är projektiv. $\blacksquare$

Ytterligare uttalanden

I uttalandet av Chows lemma, om $X$ är reducerad, irreducerbar eller integral, kan vi anta att detsamma gäller för $X'$ . Om både $X$ och $X'$ är irreducerbara, så är $f:X'\to X$ en birational morfism.

Bibliografi

•   Grothendieck, Alexandre ; Dieudonné, Jean (1961). "Éléments de géométrie algébrique: II. Étude global élémentaire de quelques classes de morphismes" . Publications Mathématiques de l'IHÉS . 8 . doi : 10.1007/bf02699291 . MR 0217084 .
•    Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry , Graduate Texts in Mathematics , vol. 52, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9 , MR 0463157