Cartans satser A och B

Inom matematiken är Cartans satser A och B två resultat som bevisats av Henri Cartan omkring 1951, angående en sammanhängande bunt F på ett Stein-grenrör X . De är signifikanta både när de tillämpas på flera komplexa variabler och i den allmänna utvecklingen av kärvekohomologi .

Sats A – F spänns över av dess globala sektioner .

Teorem B anges i kohomologiska termer (en formulering som Cartan ( 1953 , s. 51) tillskriver J.-P. Serre):

Sats B — H ^p ( X , F ) = 0 för alla p > 0 .

Analoga egenskaper fastställdes av Serre ( 1957 ) för koherenta skivor i algebraisk geometri , när X är ett affint schema . Analogen till sats B i detta sammanhang är följande ( Hartshorne 1977 , sats III.3.7):

Sats B (Scheme theoretic analoge) — Låt X vara ett affint schema, F en kvasikoherent bunt av O _X -moduler för Zariski-topologin på X . Då H ^p ( X , F ) = 0 för alla p > 0 .

Dessa satser har många viktiga tillämpningar. Till exempel antyder de att en holomorf funktion på en sluten komplex submanifold, Z , av en Stein-manifold X kan utökas till en holomorf funktion på hela X. På en djupare nivå användes dessa satser av Jean-Pierre Serre för att bevisa GAGA -satsen.

Sats B är skarp i den meningen att om H ¹ ( X , F ) = 0 för alla koherenta skivor F på ett komplext grenrör X (resp. kvasi-koherenta skivor F på ett noeterskt schema X ), så är X Stein (resp. affin); se ( Serre 1956 ) (resp. ( Serre 1957 ) och ( Hartshorne 1977 , Theorem III.3.7)).

Se även

• Kusin problem

•   Cartan, H. (1953), "Variétés analytiques complexes et cohomologie", Colloque tenu à Bruxelles : 41–55, Zbl 0053.05301 .
•   Gunning, Robert C. ; Rossi, Hugo (1965), Analytic Functions of Several Complex Variables , Prentice Hall , doi : 10.1090/chel/368 , ISBN 9780821821657 .
•     Hartshorne, Robin (1977). Algebraisk geometri . Examentexter i matematik. Vol. 52. Berlin, New York: Springer-Verlag . doi : 10.1007/978-1-4757-3849-0 . ISBN 978-0-387-90244-9 . MR 0463157 . Zbl 0367.14001 . .
•    Serre, Jean-Pierre (1956), "Géométrie algébrique et géométrie analytique" , ​​Annales de l'Institut Fourier , 6 : 1–42, doi : 10.5802/aif.59 , ISSN 0373-0956 , MR 750082MR 75008
•   Serre, Jean-Pierre (1957), "Sur la cohomologie des variétés algébriques", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées , 36 : 1–16, Zbl 0078.34604
  •   Serre, Jean-Pierre (2 december 2013). "35. Sur la cohomologie des variétés algébriques". Oeuvres - Collected Papers I: 1949 - 1959 . s. 469–484. ISBN 978-3-642-39815-5 .