Stein grenrör

I matematiken, i teorin om flera komplexa variabler och komplexa grenrör , är en Stein grenrör en komplex undergren av vektorrummet med n komplexa dimensioner. De introducerades av och uppkallades efter Karl Stein ( 1951 ). Ett Stein-utrymme liknar ett Stein-manifold men tillåts ha singulariteter. Steinutrymmen är analogerna till affina varianter eller affina scheman i algebraisk geometri.

Definition

Antag att $X$ är en komplex mångfald av komplex dimension $n$ och låt ${\mathcal {O}}(X)$ beteckna ringen av holomorfa funktioner på $X.$ Vi kallar ${\displaystyle X} för$ en Stein-manifold om följande villkor gäller:

• $X$ är holomorft konvex, dvs för varje kompakt delmängd ${\displaystyle K\subset X} ,$ det så kallade holomorfiskt konvexa skrovet ,

${\displaystyle {\bar {K}}=\left\{z\in X\,\left|\,|f(z)|\leq \sup _{w\in K}|f(w)|\ \forall f\in {\mathcal {O}}(X)\right.\right\},} är också en kompakt delmängd av$

X { \ $X}$ .

• $X$ är holomorft separerbar, dvs om $x\neq y$ är två punkter i $X$ , så finns det $f\in { \mathcal {O}}(X)$ så att $f(x)\neq f(y).$

Icke-kompakta Riemann-ytor är Stein-grenrör

Låt X vara en sammankopplad, icke-kompakt Riemann-yta . Ett djupt teorem av Heinrich Behnke och Stein (1948) hävdar att X är en mångfald av Stein.

Ett annat resultat, tillskrivet Hans Grauert och Helmut Röhrl (1956), säger dessutom att varje holomorf vektorbunt på X är trivial. I synnerhet är varje radbunt trivial, så $H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})=0$ . Den exponentiella kärvsekvensen leder till följande exakta sekvens:

$H^{1}(X,{\mathcal { O}}_{X})\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})\longrightarrow H^{2}(X,\mathbb {Z}) \longrightarrow H^{2}(X,{\mathcal {O}}_{X})$

Nu visar Cartans sats B att $H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})=H^ {2}(X,{\mathcal {O}}_{X})=0$ , därför $H^{2}(X,\mathbb {Z} )=0$ .

Detta är relaterat till lösningen av det andra kusinproblemet .

Egenskaper och exempel på Stein-grenrör

• Det komplexa standardutrymmet $\mathbb {C} ^{n}$ är ett Stein-grenrör.

• Varje domän av holomorfi i $\mathbb {C} ^{n}$ är ett Steinmanifold.

• Det kan påvisas ganska enkelt att varje sluten komplex del av ett Stein-grenrör också är ett Stein-grenrör.

• Inbäddningssatsen för Stein-grenrör anger följande: Varje Stein-grenrör $X$ med komplex dimension $n$ kan bäddas in i $\mathbb {C} ^{2n+1 }$ av en biholomorf karta .

Dessa fakta antyder att en Stein-manifold är en sluten komplex delmanifold av komplext utrymme, vars komplexa struktur är det omgivande rummets (eftersom inbäddningen är biholomorf).

• Varje Stein-manifold av (komplex) dimension n har homotopitypen av ett n -dimensionellt CW-komplex.

• I en komplex dimension kan Stein-tillståndet förenklas: en ansluten Riemann-yta är en Stein-grenrör om och bara om den inte är kompakt. Detta kan bevisas med hjälp av en version av Runge-satsen för Riemann-ytor, på grund av Behnke och Stein.

• Varje Stein-grenrör $X$ är holomorft spridbar, dvs för varje punkt $x\in X$ finns det $n$ holomorfa funktioner definierade på alla $X$ som bildar ett lokalt koordinatsystem när det är begränsat till ett öppet område av $x$ .

• Att vara en Stein-manifold motsvarar att vara en (komplex) starkt pseudokonvex manifold . Det senare betyder att den har en starkt pseudokonvex (eller plurisubharmonisk ) uttömmande funktion, dvs en jämn reell funktion $\psi$ på $X$ (som kan antas vara en morsefunktion ) med $i\partial {\bar {\partial }}\psi >0$ , så att delmängderna $\{z\in X\mid \psi (z)\leq c\}$ är kompakta i $X$ för varje reellt tal $c$ . Detta är en lösning på det så kallade Levi-problemet , uppkallat efter Eugenio Levi (1911). Funktionen $\psi$ uppmanar till en generalisering av Stein-manifold till idén om en motsvarande klass av kompakta komplexa manifolds med gräns som kallas Stein-domäner . En Stein-domän är förbilden $\{z\mid -\infty \leq \psi (z)\leq c\}$ . Vissa författare kallar sådana grenrör därför strikt pseudokonvexa grenrör.

• Relaterad till föregående punkt är en annan ekvivalent och mer topologisk definition i komplex dimension 2 följande: en Stein-yta är en komplex yta X med en realvärderad morsefunktion f på X så att, bort från de kritiska punkterna för f , fält av komplexa tangenser till förbilden $X_{c}=f^{-1}(c)$ är en kontaktstruktur som inducerar en orientering på X _c som överensstämmer med den vanliga orienteringen som gränsen för $f^{-1}(-\infty ,c).$ Det vill säga $f^{-1}(-\infty ,c)$ är en Stein fyllning av X _c .

Det finns många ytterligare karakteriseringar av sådana grenrör, i synnerhet genom att fånga egenskapen att de har "många" holomorfa funktioner som tar värden i de komplexa talen. Se till exempel Cartans satser A och B, som rör kärvekohomologi . Den första drivkraften var att ha en beskrivning av egenskaperna hos definitionsdomänen för den (maximala) analytiska fortsättningen av en analytisk funktion .

I GAGA -uppsättningen av analogier motsvarar Stein-grenrören affina varianter .

Stein grenrör är i någon mening dubbla till de elliptiska grenrören i komplex analys som tillåter "många" holomorfa funktioner från de komplexa talen in i sig själva. Det är känt att en Stein-manifold är elliptisk om och endast om den är fibrant i betydelsen så kallad "holomorphic homotopy theory".

Förhållande till släta grenrör

Varje kompakt slät grenrör med dimension 2 n , som endast har handtag med index ≤ n , har en Stein-struktur tillhandahållen n > 2, och när n = 2 gäller samma förutsatt att 2-handtagen är fästa med vissa ramar (inramning mindre än Thurston–Bennequin inramning ). Varje sluten slät 4-grenrör är en förening av två Stein 4-grenrör limmade längs deras gemensamma gräns.

Anteckningar

•   Andrist, Rafael (2010). "Stenrum som kännetecknas av deras endomorfismer" . Transaktioner från American Mathematical Society . 363 (5): 2341–2355. doi : 10.1090/S0002-9947-2010-05104-9 . S2CID 14903691 .
•   Forster, Otto (1981), Föreläsningar om Riemann-ytor , Graduate Text in Mathematics, vol. 81, New-York: Springer Verlag, ISBN 0-387-90617-7 (inklusive ett bevis på Behnke-Stein och Grauert-Röhrls satser)
•   Forstnerič, Franc (2011). Stein grenrör och holomorfiska kartläggningar . doi : 10.1007/978-3-642-22250-4 . ISBN 978-3-642-22249-8 .
•    Hörmander, Lars (1990), En introduktion till komplex analys i flera variabler , North-Holland Mathematical Library, vol. 7, Amsterdam: North-Holland Publishing Co., ISBN 978-0-444-88446-6 , MR 1045639 (inklusive ett bevis på inbäddningssatsen)
•     i   Gompf, Robert E. (1998), "Handlebody construction of Stein-ytor", Annals of Mathematics , Second Series, The Annals of Mathematics, Vol. 148, nr 2, 148 (2): 619–693, arXiv : math/9803019 , doi : 10.2307/121005 , ISSN 0003-486X , JSTOR 121005 , MR 6 166CID 5 och 1707 konstruktioner 3,725 konstruktioner Stein-domäner och grenrör dimension 4)
•    Grauert, Hans; Remmert, Reinhold (1979), Theory of Stein spaces , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 236, Berlin-New York: Springer-Verlag, ISBN 3-540-90388-7 , MR 0580152
•   Ornea, Liviu; Verbitsky, Misha (2010). "Lokalt konforma Kähler-grenrör med potential". Matematiska Annalen . 348 : 25–33. doi : 10.1007/s00208-009-0463-0 . S2CID 10734808 .
•   Iss'Sa, Hej (1966). "På det meromorfa funktionsfältet för en Stein-varietet". Annals of Mathematics . 83 (1): 34–46. doi : 10.2307/1970468 . JSTOR 1970468 .
•    Stein, Karl (1951), "Analytische Funktionen mehrerer komplexer Veränderlichen zu vorgegebenen Periodizitätsmoduln und das zweite Cousinsche Problem", Math. Ann. (på tyska), 123 : 201–222, doi : 10.1007/bf02054949 , MR 0043219 , S2CID 122647212
• Zhang, Jing (2006). "Algebraiska Stein-varianter". arXiv : math/0610886 . Bibcode : 2006math.....10886Z . {{ citera journal }} : Citera journal kräver |journal= ( hjälp )