Deformerad Hermitian Yang–Mills ekvation

Inom matematik och teoretisk fysik , och särskilt mätteori , är den deformerade Hermitian Yang–Mills (dHYM) ekvationen en differentialekvation som beskriver rörelseekvationerna för en D-bran i B-modellen (vanligen kallad B-bran ) av sträng teori . Ekvationen härleddes av Mariño-Minasian- Moore - Strominger i fallet med Abelian gauge group ( enhetsgruppen $\operatorname {U} (1)$ ), och av Leung– Yau – Zaslow med hjälp av spegelsymmetri från motsvarande rörelseekvationer för D-braner i strängteorins A-modell .

Definition

I det här avsnittet presenterar vi dHYM-ekvationen som förklaras i den matematiska litteraturen av Collins-Xie- Yau . Den deformerade Hermitian-Yang-Mills-ekvationen är en helt icke-linjär partiell differentialekvation för en Hermitian-metrik på en linjebunt över ett kompakt Kähler-grenrör , eller mer allmänt för en riktig $(1,1)$ -form . Antag nämligen att $(X,\omega )$ är ett Kähler-grenrör och $[\alpha ]\in H^{1, 1}(X,\mathbb {R} )$ är en klass. Fallet för en linjebunt består av att sätta $[\alpha ]=c_{1}(L)$ där $c_{1}(L)$ är den första Chern-klassen i en holomorfisk linjebunt $L\to X$ . Antag att $\dim X=n$ och betrakta den topologiska konstanten

{\hat {z}}([\omega ],[\alpha ])=\int _{X}(\omega +i\alpha )^{n}.

Lägg märke till att ${\hat {z}}$ endast beror på klassen av $\omega$ och $\alpha$ . Antag att ${\hat {z}}\neq 0$ . Då är detta ett komplext tal

{\hat {z}}([\omega ],[\alpha ])=re^{i\theta }

för vissa verkliga $r>0$ och vinkeln $\theta \in [0,2\pi )$ som är unikt bestämd.

Fixa en jämn representativ differentialform $\alpha$ i klassen $[\alpha ]$ . För en jämn funktion $\phi :X\to \mathbb {R}$ skriv $\alpha _{\phi }=\alpha +i \partial {\bar {\partial }}\phi$ , och lägg märke till att $[\alpha _{\phi }]=[\alpha ]$ . Den deformerade Hermitian Yang–Mills ekvationen för $(X,\omega )$ med avseende på $[\alpha ]$ är

{\begin{cases}\operatörsnamn {Im } (e^{-i\theta }(\omega +i\alpha _{\phi})^{n})=0\\\operatörsnamn {Re} (e^{-i\theta }(\omega + i\alpha _{\phi })^{n})>0.\end{cases}}

Det andra villkoret ska ses som ett positivitetsvillkor på lösningar till den första ekvationen. Det vill säga att man letar efter lösningar till ekvationen $\operatorname {Im} (e^{-i\theta }(\omega +i\ alpha _{\phi })^{n})=0$ så att $\operatorname {Re} (e^{-i\theta }(\omega +i\alpha _{\phi })^{n})>0$ . Detta är i analogi med det relaterade problemet med att hitta Kähler-Einstein-mått genom att leta efter måttenheter ${\displaystyle \omega +i\partial {\bar {\partial }}\phi } och$ lösa Einsteins ekvation, under förutsättning att $\phi$ är en Kähler-potential (vilket är ett positivitetsvillkor på formen $\omega +i\partial {\bar {\partial }}\ phi$ ).

Diskussion

Relation till Hermitian Yang–Mills ekvation

dHYM-ekvationerna kan transformeras på flera sätt för att belysa flera nyckelegenskaper hos ekvationerna. För det första visar enkel algebraisk manipulation att dHYM-ekvationen kan vara likvärdig skriven

\operatörsnamn {Im} ((\omega +i\alpha )^{n})=\tan \theta \operatörsnamn {Re} ((\omega +i\alpha )^{n}).

I denna form är det möjligt att se sambandet mellan dHYM-ekvationen och den vanliga Hermitian Yang-Mills-ekvationen . I synnerhet bör dHYM-ekvationen se ut som den vanliga HYM-ekvationen i den så kallade stora volymgränsen. Precis, man ersätter Kähler-formen $\omega$ med $k\omega$ för ett positivt heltal $k$ , och tillåter $k\to \infty$ . Lägg märke till att fasen $\theta _{k}$ för $(X,k\omega ,[\alpha ])$ beror på $k$ . Faktum är att ${\displaystyle \tan \theta _{k}=O(k^{-1})} ,$ och vi kan expandera

(k\omega +i\alpha )^{n}=k^{n}\omega ^{n}+ink^{n-1}\omega ^{n-1}\wedge \alpha +O (k^{n-2}).

Här ser vi det

\operatörsnamn {Re} ((k\omega +i\alpha )^{n})=k^{n}\omega ^{n}+O(k^{ n-2}),\quad \operatörsnamn {Im} ((k\omega +i\alpha )^{n})=nk^{n-1}\omega ^{n-1}\wedge \alpha +O (k^{n-3}),

och vi ser att dHYM-ekvationen för $k\omega$ tar formen

Ck^{n-1}\omega ^{n }+O(k^{n-3})=nk^{n-1}\omega ^{n-1}\wedge \alpha +O(k^{n-3})

för någon topologisk konstant $C$ bestäms av $\tan \theta$ . Således ser vi ledordet i dHYM-ekvationen är

n\omega ^{n-1}\wedge \alpha =C\omega ^{n}

som bara är HYM-ekvationen (ersätter $\alpha$ med $F(h)$ om det behövs).

Lokal form

dHYM-ekvationen kan också skrivas i lokala koordinater. Fixa $p\in X$ och holomorfa koordinater $(z^{1},\dots ,z^{n})$ så att vid punkten $p$ , vi har

\omega =\sum _{j=1}^{n}idz^{j}\wedge d{\bar {z}}^{j},\quad \alpha =\sum _{j=1 }^{n}\lambda _{j}idz^{j}\wedge d{\bar {z}}^{j}.

Här $\lambda _{j}\in \mathbb {R}$ för alla $j$ eftersom vi antog att $\alpha$ var en riktig form. Definiera den lagrangska fasoperatorn att vara

\Theta _{\omega }(\alpha )=\sum _{j=1}^{n}\arctan(\lambda _{j}).

Sedan visar enkel beräkning att dHYM-ekvationen i dessa lokala koordinater tar formen

\Theta _{\omega }(\alpha )=\phi

där $\phi =\theta \mod 2\pi$ . I denna form ser man att dHYM-ekvationen är helt icke-linjär och elliptisk.

Lösningar

Det är möjligt att använda algebraisk geometri för att studera förekomsten av lösningar till dHYM-ekvationen, vilket framgår av Collins–Jacob–Yaus och Collins–Yaus arbete. Antag att $V\subset X$ är en analytisk undervarietet av dimensionen $p$ . Definiera den centrala laddningen $Z_{V}([\alpha ])$ med

Z_{V}([\alpha ])=-\int _{V}e^{-i\omega +\alpha }.

När dimensionen för $X$ är 2 visar Collins–Jacob–Yau att om $\operatorname {Im} (Z_{X}([\alpha ]))>0$ , då finns det en lösning av dHYM-ekvationen i klassen $[\alpha ]\in H^{1,1}(X ,\mathbb {R} )$ om och bara om vi har för varje kurva $C\subset X$

\operatorname {Im} \left({\frac {Z_{C}([\alpha ])}{Z_{ X}([\alpha ])}}\right)>0.

I det specifika exemplet där ${\displaystyle X=\operatörsnamn {Bl} _{p}\mathbb {CP} ^{n}} , sprängningen$ av komplext projektivt utrymme , Jacob-Sheu visa att $[\alpha ]$ medger en lösning till dHYM-ekvationen om och endast om $Z_{X}([\alpha ])\neq 0$ och för alla $V\subset X$ har vi på liknande sätt

\operatorname {Im} \left({\frac {Z_{V}([\alpha ])}{Z_{ X}([\alpha ])}}\right)>0.

Det har visat sig av Gao Chen att i den så kallade superkritiska fasen, där ${\displaystyle {\frac {(n-2)\pi }{2}}< \theta <{\frac {n\pi }{2}}} ,$ algebraiska förhållanden som är analoga med de ovan antyder att det finns en lösning på dHYM-ekvationen. Detta uppnås genom jämförelser mellan dHYM och den så kallade J-ekvationen i Kählers geometri. J-ekvationen visas som den *lilla volymgränsen* för dHYM-ekvationen, där $\omega$ ersätts med $\varepsilon \omega$ för ett litet reellt tal $\varepsilon >0$ och en tillåter $\epsilon \to 0$ .

Generellt antas det att förekomsten av lösningar till dHYM-ekvationen för en klass $[\alpha ]=c_{1}(L)$ bör vara ekvivalent med Bridgelands stabilitet för linjebunten $L$ . Detta motiveras både från jämförelser med liknande satser i det icke-deformerade fallet, såsom den berömda Kobayashi-Hitchin-korrespondensen som hävdar att lösningar finns på HYM-ekvationerna om och endast om den underliggande bunten är lutningsstabil. Det är också motiverat av fysiska resonemang som kommer från strängteorin, som förutsäger att fysiskt realistiska B-braner (de som medger lösningar till dHYM-ekvationen till exempel) bör motsvara Π-stabilitet .

Relation till strängteori

Supersträngteorin förutsäger att rymdtiden är 10-dimensionell, bestående av ett Lorentziskt grenrör av dimension 4 (vanligtvis antas vara Minkowski-rymden eller De sitter eller anti-De Sitter-rymden ) tillsammans med ett Calabi-Yau-grenrör $X$ av dimension 6 (som därför har komplex dimension 3). I denna strängteorin öppna strängar uppfylla Dirichlets gränsvillkor på sina ändpunkter. Dessa förhållanden kräver att strängens ändpunkter ligger på så kallade D-braner (D för Dirichlet), och det finns ett stort matematiskt intresse för att beskriva dessa braner.

Öppna strängar med ändpunkter fixerade på D-branes

I B-modellen för topologisk strängteori föreslår homologisk spegelsymmetri att $X$ -braner bör ses som delar av den härledda kategorin av koherenta remsor på Calabi-Yau 3-faldiga X . Denna karakterisering är abstrakt, och fallet av primär betydelse, åtminstone för att formulera dHYM-ekvationen, är när en B-bran består av en holomorf undergren $Y\subset X$ och en holomorf vektorbunt $E\to Y$ över den (här skulle $Y$ ses som stödet för den sammanhängande bunten $E$ över $X$ ), möjligen med en kompatibel Chern-anslutning på bunten.

Denna Chern-koppling uppstår från ett val av hermitisk metrisk $h$ på $E$ , med motsvarande anslutning $\nabla$ och krökningsform $F(h)$ . Omgivning i rumtiden finns också ett B-fält eller Kalb–Ramond-fält $B$ (inte att förväxla med B i B-modellen), som är den strängteoretiska motsvarigheten till det klassiska elektromagnetiska bakgrundsfältet (därav användningen av $B$ , som vanligtvis betecknar magnetfältets styrka). Matematiskt är B-fältet en gerbe eller buntgerbe över rumtid, vilket betyder att $B$ består av en samling tvåformer $B_{i}\in \Omega ^{2}(U_{i})$ för ett öppet lock $U_{i}$ av rumtid, men dessa former kanske inte kommer överens om överlappningar, där de måste uppfylla samcykelvillkor i analogi med övergångsfunktionerna för linjebuntar (0-gerbes). Detta B-fält har egenskapen att när det dras tillbaka längs inklusionskartan $\iota :Y\to X$ är gerben trivial, vilket betyder att B-fältet kan identifieras med en globalt definierad två -form på $Y$ , skrivet $\beta$ . Differentialformen $\alpha$ som diskuterats ovan i detta sammanhang ges av ${\displaystyle \alpha =F(h)+\beta } ,$ och genom att studera dHYM-ekvationerna i specialfallet där $\alpha =F(h)$ eller motsvarande $[\alpha ]=c_{1}(L)$ ska ses som vridande B-fältet av eller inställningen $\beta =0$ , vilket i strängteorin motsvarar en rumtid utan något högre elektromagnetiskt fält i bakgrunden.

dHYM-ekvationen beskriver rörelseekvationerna för denna D-bran $(Y,E)$ i rymdtid utrustad med ett B-fält $B$ , och härleds från motsvarande ekvationer för rörelse för A-braner genom spegelsymmetri. Matematiskt beskriver A-modellen D-braner som element i Fukaya-kategorin X $\displaystyle X}$ , speciella lagrangiska undergrenrör av $X$ utrustade med en platt enhetlig linjebunt över dem, och rörelseekvationerna för dessa A-branes förstås. I avsnittet ovan har dHYM-ekvationen formulerats för D6-branen $Y=X$ .

Se även