Stabil huvudbunt

Inom matematiken , och särskilt differentialgeometri och algebraisk geometri , är en stabil huvudbunt en generalisering av begreppet en stabil vektorbunt till inställningen av huvudbuntar . Begreppet stabilitet för huvudbuntar introducerades av Annamalai Ramanathan i syfte att definiera modulrymden för G-principalbuntar över en Riemann-yta , en generalisering av tidigare arbete av David Mumford och andra om modulutrymmena för vektorbuntar.

Många uttalanden om stabiliteten hos vektorbuntar kan översättas till språket för stabila huvudbuntar. Till exempel visades analogen till Kobayashi-Hitchin-korrespondensen för huvudbuntar, att en holomorf huvudbunt över ett kompakt Kähler-grenrör tillåter en Hermite-Einstein-koppling om och endast om den är polystabil, vara sann i fallet med projektiva grenrör. av Subramanian och Ramanathan, och för godtyckliga kompakta Kähler-grenrör av Anchouche och Biswas .

Definition

Den väsentliga definitionen av stabilitet för huvudbuntar gjordes av Ramanathan, men gäller endast fallet med Riemann-ytor. I det här avsnittet anger vi definitionen som förekommer i Anchouches och Biswas verk, som är giltig över alla Kählers mångfald, och faktiskt är mer allmänt vettig för algebraiska varianter . Detta reducerar till Ramanathans definition i det fall grenröret är en Riemann-yta.

Låt $G$ vara en sammankopplad reduktiv algebraisk grupp över de komplexa talen $\mathbb {C}$ . Låt $(X,\omega )$ vara ett kompakt Kähler-grenrör med komplex dimension $n$ . Antag att $P\to X$ är en holomorf principal $G$ -bunt över $X$ . Holomorphic betyder här att övergångsfunktionerna för $P$ varierar holomorft, vilket är vettigt eftersom strukturgruppen är en komplex Lie-grupp . Huvudpaketet $P$ kallas stabil (resp. semi-stable ) om för varje reduktion av strukturgruppen $\sigma :U\to P/Q$ för $Q\subset G$ en maximal parabolisk undergrupp där $U\subset X$ är någon öppen delmängd med samdimensionen $\operatorname {codim} (X \backslash U)\geq 2$ , vi har

$\deg \sigma ^{*}T_{\operatörsnamn {rel} }P/Q>0\quad ({\text{resp. }}\geq 0).$

Här är $T_{\operatörsnamn {rel} }P/Q$ det relativa tangentknippet för fiberknippet $\left.P/Q\right|_{U}\to U$ annars känd som den vertikala bunten av $T(\left.P/Q\ höger|_{U})$ . Kom ihåg att graden av en vektorbunt (eller koherent sträng ) $F\to X$ definieras som

$\operatorname {deg} (F):=\int _{X}c_{1}(F)\wedge \omega ^{n-1},$

där $c_{1}(F)$ är den första Chern-klassen av $F$ . I ovanstående inställning beräknas graden för en bunt definierad över $U$ inuti ${\displaystyle X} ,$ men eftersom kodimensionen för komplementet till $U$ är större än två, är värdet på integral kommer att överensstämma med det över hela $X$ .

Lägg märke till att i fallet där $\dim X=1$ , det vill säga där $X$ är en Riemann-yta , genom antagande om kodimensionen för $U$ måste vi ha att $U=X$ , så det räcker att överväga reduktioner av strukturgruppen över hela ${\displaystyle X} ,$ σ $\displaystyle \sigma :X\to P /Q}$ .

Förhållande till stabilitet hos vektorbuntar

Givet ett principiellt $G$ -paket för en komplex Lie-grupp $G$ finns det flera naturliga vektorbuntar man kan associera till det.

För det första om ${\displaystyle G=\operatörsnamn {GL} (n,\mathbb {C} )} ,$ den allmänna linjära gruppen , då standardrepresentationen av ${ \displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$ på $\mathbb {C} ^{n}$ låter en konstruera den associerade bunten $E=P\ gånger _{\operatörsnamn {GL} (n,\mathbb {C} )}\mathbb {C} ^{n}$ . Detta är en holomorf vektorbunt över $X$ , och definitionen ovan av stabilitet för huvudbunten är ekvivalent med lutningsstabilitet för $E$ . Det väsentliga är att en maximal parabolisk undergrupp $Q\subset \operatornamn {GL} (n,\mathbb {C} )$ motsvarar ett val av flagga ${\displaystyle 0\subset W\subset \mathbb {C} ^{n}} ,$ där $W$ är invariant under undergruppen $Q$ . Eftersom strukturgruppen för $P$ har reducerats till $Q$ , och $Q$ bevarar vektordelrummet $W\subset \mathbb {C} ^{ n}$ , kan man ta det associerade paketet ${\displaystyle F=P\times _{Q}W} ,$ vilket är ett underpaket av $E$ över delmängden $U\subset X$ på vilken reduktionen av strukturgruppen är definierad, och därför en subsheaf av $E$ över hela $X$ . Då kan man räkna ut det

$\deg \sigma ^{*}T_{\operatörsnamn {rel} }P/Q=\mu (E)-\mu (F)$

där $\mu$ anger lutningen för vektorbuntarna.

När strukturgruppen inte är $G=\operatörsnamn {GL} (n,\mathbb {C} )$ finns det fortfarande en naturlig associerad vektorbunt till $P$ , den adjoint buntannonsen $\displaystyle \operatorname {ad} P}$ , med fiber som ges av Lie-algebra ${\mathfrak {g}}$ av $G$ . Huvudpaketet $P$ är semistabelt om och endast om den adjoint buntannonsen $\displaystyle \operatorname {ad} P}$ är halvstabil lutning, och dessutom om $P$ är stabil, då $\operatorname {ad} P$ är lutningspolystabil. Återigen är nyckelpoängen här att för en parabolisk undergrupp $Q\subset G$ , får man en parabolisk subalgebra ${\mathfrak {q}}\subset {\mathfrak {g}}$ och kan ta det associerade underpaketet. I det här fallet måste mer försiktighet iakttas eftersom den angränsande representationen av $G$ på ${\mathfrak {g}}$ inte alltid är trogen eller irreducerbar , det senare villkoret antyder varför huvudbuntens stabilitet leder bara till polystabilitet av det adjoint buntet (eftersom en representation som delas upp som en direkt summa skulle leda till att den tillhörande bunten splittras som en direkt summa).

Generaliseringar

Precis som man kan generalisera en vektorbunt till föreställningen om en Higgs-bunt , är det möjligt att formulera en definition av en principiell $G$ -Higgs-bunt. Ovanstående definition av stabilitet för huvudknippen generaliserar till dessa objekt genom att kräva att minskningarna av strukturgruppen är kompatibla med Higgs-fältet i det huvudsakliga Higgs-knippet. Det visades av Anchouche och Biswas att analogen till den icke-abelska Hodge-överensstämmelsen för Higgs vektorbuntar är sann för principiella $G$ -Higgs-buntar i fallet där basgrenröret $(X, \omega )}$ är en komplex projektiv variant .