Nonabelian Hodge korrespondens

Inom algebraisk geometri och differentialgeometri är den icke-abelska Hodge-korrespondensen eller Corlette-Simpson-korrespondensen (uppkallad efter Kevin Corlette och Carlos Simpson ) en överensstämmelse mellan Higgs-buntar och representationer av den grundläggande gruppen av en jämn, projektiv komplex algebraisk variant , eller en kompakt Kähler grenrör .

Satsen kan betraktas som en omfattande generalisering av Narasimhan-Seshadri-satsen som definierar en överensstämmelse mellan stabila vektorbuntar och enhetliga representationer av den grundläggande gruppen av en kompakt Riemann-yta . Faktum är att Narasimhan-Seshadri-satsen kan erhållas som ett specialfall av den icke-abelska Hodge-korrespondensen genom att ställa Higgs-fältet till noll.

Historia

Det bevisades av MS Narasimhan och CS Seshadri 1965 att stabila vektorbuntar på en kompakt Riemann-yta motsvarar irreducerbara projektiva enhetsrepresentationer av den grundläggande gruppen. Detta teorem formulerades i ett nytt ljus i Simon Donaldsons arbete 1983, som visade att stabila vektorbuntar motsvarar Yang-Mills-kopplingar , vars holonomi ger representationerna av den grundläggande gruppen Narasimhan och Seshadri. Narasimhan-Seshadri-satsen generaliserades från fallet med kompakta Riemann-ytor till inställningen av kompakta Kähler-grenrör av Donaldson i fallet med algebraiska ytor, och i allmänhet av Karen Uhlenbeck och Shing - Tung Yau . Denna överensstämmelse mellan stabila vektorbuntar och Hermitian Yang-Mills-förbindelser är känd som Kobayashi-Hitchin-korrespondensen .

Narasimhan-Seshadri-satsen handlar om enhetliga representationer av den fundamentala gruppen. Nigel Hitchin introducerade en föreställning om en Higgs-bunt som ett algebraiskt objekt som skulle motsvara komplexa representationer av den fundamentala gruppen (i själva verket introducerades terminologin "Higgs-bunt" av Carlos Simpson efter Hitchins arbete). Det första exemplet på den icke-abelska Hodge-satsen bevisades av Hitchin, som ansåg fallet med rangordna två Higgs-buntar över en kompakt Riemann-yta. Hitchin visade att en polystabil Higgs-bunt motsvarar en lösning av Hitchins ekvationer , ett system av differentialekvationer som erhålls som en dimensionsreduktion av Yang-Mills ekvationer till dimension två. Det visades av Donaldson i detta fall att lösningar på Hitchins ekvationer överensstämmer med representationer av den fundamentala gruppen.

Resultaten av Hitchin och Donaldson för Higgs-buntar av rang två på en kompakt Riemann-yta generaliserades kraftigt av Carlos Simpson och Kevin Corlette. Påståendet att polystabila Higgs-buntar motsvarar lösningar av Hitchins ekvationer bevisades av Simpson. Överensstämmelsen mellan lösningar av Hitchins ekvationer och representationer av den fundamentala gruppen visades av Corlette.

Definitioner

I det här avsnittet minns vi objekten av intresse i den icke-abelska Hodge-satsen.

Higgs buntar

Huvudartikel: Higgs bunt

En Higgs-bunt över ett kompakt Kähler-grenrör $(X,\omega )$ är ett par $(E,\Phi )$ där $E\ till X$ är en holomorf vektorbunt och $\Phi :E\to E\otimes {\boldsymbol {\Omega }}^{1}$ är ett ${ \displaystyle \operatorname {End} (E)}$ -värderad holomorphic $(1,0)$ -form på $X$ , kallad Higgs-fältet . Dessutom måste Higgs-fältet uppfylla $\Phi \wedge \Phi =0$ .

En Higgs-bunt är (semi-)stabil om, för varje korrekt, icke-noll koherent subsheaf ${\mathcal {F}}\subset E$ som bevaras av Higgs-fältet, så att ${\displaystyle \Phi ({\mathcal {F}})\subset {\mathcal {F}}\otimes {\boldsymbol {\Omega }}^{1}} , man$ har

$${\frac {\deg({\mathcal {F}})}{\operatörsnamn {rank} ({\mathcal {F}})}}<{\frac {\deg(E)}{\operatörsnamn {rank} (E)}}\quad {\text{(resp. }}\leq {\text{)}}.$$

Detta rationella tal kallas lutningen , betecknad $\mu (E)$ , och ovanstående definition speglar den för en stabil vektorbunt . En Higgs-bunt är polystabil om den är en direkt summa av stabila Higgs-buntar med samma lutning, och är därför halvstabil.

Hermitian Yang–Mills kopplingar och Hitchins ekvationer

Se även: Hermitian Yang–Mills-förbindelse

Generaliseringen av Hitchins ekvation till högre dimension kan formuleras som en analog av Hermitian Yang–Mills ekvationer för en viss anslutning konstruerad av paret $(E,\Phi )$ . En hermitisk metrisk $h$ på en Higgs-bunt $(E,\Phi )$ ger upphov till en Chern-koppling $\nabla _{A}$ och krökning $F_{A}$ . Villkoret att $\Phi$ är holomorft kan formuleras som ${\bar {\partial }}_{A}\Phi =0$ . Hitchins ekvationer, på en kompakt Riemann-yta, säger det

$${\begin{cases}&F_{A}+[\Phi ,\Phi ^{*}]=\lambda \operatorname { Id} _{E}\\&{\bar {\partial}}_{A}\Phi =0\end{cases}}$$

för en konstant $\lambda =-2\pi i\mu (E)$ . I högre dimensioner generaliserar dessa ekvationer enligt följande. Definiera en anslutning $D$ på $E$ med $D=\nabla _{A}+\Phi +\Phi ^{*}$ . Denna anslutning sägs vara en Hermitian Yang–Mills-anslutning (och måtten en Hermitian Yang–Mills-metrik ) om

$$\Lambda _{\omega }F_{D}=\lambda \operatörsnamn {Id} _{E}.$$

Detta reducerar till Hitchins ekvationer för en kompakt Riemann-yta. Observera att anslutningen $D$ inte är en Hermitian Yang-Mills-förbindelse i vanlig mening, eftersom den inte är enhetlig, och ovanstående tillstånd är en icke-enhetlig analog till det normala HYM-tillståndet.

Representationer av grundgruppen och harmoniska mått

En representation av grundgruppen $\rho \colon \pi _{1}(X)\till \operatörsnamn {GL} (r,\mathbb { C} )$ ger upphov till en vektorbunt med platt anslutning enligt följande. Det universella omslaget ${\hat {X}}$ av $X$ är ett huvudpaket över $X$ med strukturgruppen $\pi _{1 }(X)$ . Det finns alltså en associerad bunt till ${\hat {X}}$ som ges av

$$E={\hat {X}}\times _{\rho }\mathbb {C} ^{r}.$$

Detta vektorpaket är naturligt försett med en platt anslutning $D$ . Om $h$ är ett hermitiskt mått på $E$ , definiera en operator $D_{h}''$ enligt följande. Dekomponera $D=\partial +{\bar {\partial }}$ till operatorer av typen $(1,0)$ och $( 0,1)$ respektive. Låt $A'$ vara den unika operatorn av typ $(1,0)$ så att $(1,0)$ -anslutningen $A'+{\bar {\partial }}$ bevarar måtten $h$ . Definiera $\Phi =(\partial -A')/2$ och ställ in $D_{h}''={\ bar {\partial }}+\Phi$ . Definiera pseudokrökningen för $h$ till $G_{h}=(D_{h}'')^{2}$ .

Metriska $h$ sägs vara harmonisk if

$$\Lambda _{\omega }G_{h}=0.$$

Lägg märke till att villkoret $G_{h}=0$ är ekvivalent med de tre villkoren ${\displaystyle {\bar {\partial }}^{ 2}=0,{\bar {\partial }}\Phi =0,\Phi \wedge \Phi =0} , så om G$ h $displaystyle G_{h}=0}$ så är paret $(E,\Phi )$ definierar en Higgs-bunt med holomorf struktur på $E$ som ges av Dolbeault-operatorn ${\bar {\partial }}$ .

Det är ett resultat av Corlette att om $h$ är harmonisk, så uppfyller den automatiskt $G_{h}=0$ och ger så upphov till en Higgs-bunt.

Modulutrymmen

Huvudartikel: Moduli space

Till vart och ett av de tre begreppen: Higgs-buntar, platta anslutningar och representationer av grundgruppen, kan man definiera ett modulrum . Detta kräver en föreställning om isomorfism mellan dessa objekt. I det följande fixar du en jämn komplex vektorbunt $E$ . Varje Higgs-bunt kommer att anses ha den underliggande jämna vektorbunten $E$ .

• (Higgs-buntar) Gruppen av komplexa gauge-transformationer ${\mathcal {G}}^{\mathbb {C} }$ verkar på uppsättningen ${\mathcal {H}}$ av Higgs-buntar med formeln $g\cdot (E,\Phi )=(g\cdot E,g\Phi g^{-1} )$ . Om ${\mathcal {H}}^{ss}$ och ${\mathcal {H}}^{s}$ anger delmängderna av halvstabila respektive stabila Higgs-buntar, då man får modulrum
  $$M_{Dol}^{ss}:={\mathcal {H}}^{ ss}//{\mathcal {G}}^{\mathcal {C}},\qquad M_{Dol}^{s}:={\mathcal {H}}^{s}/{\mathcal {G} }^{\mathcal {C}}$$
  där dessa kvoter tas i betydelsen av geometrisk invariant teori , så banor vars förslutningar skär sig identifieras i modulutrymmet. Dessa modulutrymmen kallas Dolbeault modulutrymmen . Lägg märke till att genom att sätta $\Phi =0$ , erhåller man som delmängder modulutrymmena för semi-stabila och stabila holomorfa vektorbuntar $N_{Dol }^{ss}\subset M_{Dol}^{ss}$ och $N_{Dol}^{s}\subset M_{Dol}^{s}$ . Det är också sant att om man definierar modulutrymmet $M_{Dol}^{ps}$ för polystabila Higgs-buntar så är detta utrymme isomorft med utrymmet för semi-stabila Higgs-buntar, eftersom varje gauge omloppsbana av halvstabila Higgs-buntar innehåller i sin förslutning en unik omloppsbana av polystabila Higgs-buntar.
• (Platta anslutningar) Gruppkomplexa gauge-transformationerna verkar också på uppsättningen ${\mathcal {A}}$ av platta anslutningar $\nabla$ på den jämna vektorbunten $E$ . Definiera modulutrymmena
  $$M_{dR}:={\mathcal {A}}//{\mathcal {G}}^{ \mathcal {C}},\qquad M_{dR}^{*}:={\mathcal {A}}^{*}/{\mathcal {G}}^{\mathcal {C}},$$
  där ${\mathcal {A}}^{*}$ betecknar delmängden bestående av irreducerbara platta anslutningar $\nabla$ som inte delas upp som en direkt summa ${\ displaystyle \nabla =\nabla _{1}\oplus \nabla _{2}}$ på någon uppdelning av $E=E_{1}\oplus E_{2}$ av den jämna vektorbunten $E$ . Dessa modulutrymmen kallas de Rham modulutrymmen .
• (Representationer) Uppsättningen representationer $\operatörsnamn {Hom} (\pi _{1}(X),\operatörsnamn {GL} (r ,\mathbb {C} ))$ i grundgruppen av $X$ påverkas av den allmänna linjära gruppen genom konjugering av representationer. Beteckna med upphöjda texter $+$ och $*$ delmängderna som består av halvenkla representationer respektive irreducerbara representationer . Definiera sedan modulrum
  $$M_{B}^{+}=\operatörsnamn {Hom} ^{+}(\pi _{1}(X),\operatörsnamn {GL} (r,\mathbb {C} ))//G ,\qquad M_{B}^{*}=\operatörsnamn {Hom} ^{*}(\pi _{1}(X),\operatörsnamn {GL} (r,\mathbb {C} ))/G$$
  av halvenkla respektive irreducerbara representationer. Dessa kvoter tas i betydelsen geometrisk invariant teori , där två banor identifieras om deras förslutningar skär varandra. Dessa modulutrymmen kallas Betti modulutrymmen .

Påstående

Den nonabelska Hodge-satsen kan delas upp i två delar. Den första delen bevisades av Donaldson i fallet med ranka två Higgs-buntar över en kompakt Riemann-yta, och i allmänhet av Corlette. I allmänhet gäller den nonabelska Hodge-satsen för en jämn komplex projektiv variant ${\displaystyle X} ,$ men vissa delar av överensstämmelsen gäller mer generellt för kompakta Kähler-grenrör.

Nonabelian Hodge-sats (del 1) — En representation $\rho :\pi _{1}(X)\till \operatörsnamn {GL} (r, \mathbb {C} )$ i grundgruppen är halvenkel om och endast om den platta vektorbunten $E={\hat {X}}\times _{\rho }\mathbb {C} ^{r}$ medger ett harmoniskt mått. Vidare är representationen irreducerbar om och endast om den platta vektorbunten är irreducerbar.

Den andra delen av satsen bevisades av Hitchin när det gäller rangordna två Higgs-buntar på en kompakt Riemann-yta, och i allmänhet av Simpson.

Nonabelian Hodge-sats (del 2) — En Higgs-bunt $(E,\Phi )$ har en Hermitian Yang–Mills-metrik om och bara om den är polystabil. Detta mått är ett harmoniskt mått och härrör därför från en halvenkel representation av den fundamentala gruppen, om och endast om Chern- klasserna $c_{1}(E)$ och ${\ displaystyle c_{2}(E)}$ försvinner. Dessutom är en Higgs-bunt stabil om och bara om den medger en irreducerbar Hermitian Yang-Mills-koppling, och därför kommer från en irreducerbar representation av den fundamentala gruppen.

Tillsammans kan korrespondensen formuleras på följande sätt:

Nonabelsk Hodge-sats – En Higgs-bunt (som är topologiskt trivial) uppstår från en halvenkel representation av den fundamentala gruppen om och bara om den är polystabil. Dessutom uppstår den från en irreducerbar representation om och endast om den är stabil.

När det gäller modulutrymmen

Den icke-abelska Hodge-korrespondensen ger inte bara en bijektion av mängder, utan homeomorfismer av modulrum. Faktum är att om två Higgs-buntar är isomorfa, i den meningen att de kan relateras genom en gauge-transformation och därför motsvarar samma punkt i Dolbeaults moduliutrymme, så kommer de associerade representationerna också att vara isomorfa och ge samma punkt i Betti moduli utrymme. När det gäller modulutrymmena kan den nonabelska Hodge-satsen formuleras enligt följande.

Nonabelian Hodge-sats (moduli rymdversion) — Det finns homeomorfismer $M_{Dol}^{ss}\cong M_{dR}\cong M_{B}^ {+}$ av modulutrymmen som begränsar till homeomorfismer $M_{Dol}^{s}\cong M_{dR}^{*}\cong M_{ B}^{*}$ .

I allmänhet kommer dessa modulutrymmen inte bara att vara topologiska utrymmen , utan ha en viss ytterligare struktur. Till exempel är Dolbeault moduli space och Betti moduli space $M_{Dol}^{ss},M_{B}^{+}$ naturligt komplexa algebraiska varianter , och där det är slätt, de Rham moduli utrymmet $M_{dR}$ är ett Riemannskt grenrör. På det gemensamma stället där dessa modulrum är jämna, är kartan $M_{dR}\to M_{B}^{+}$ en diffeomorfism, och eftersom $M_{B}^{+}$ är ett komplext grenrör på det släta stället, $M_{dR}$ erhåller en kompatibel riemannsk och komplex struktur, och är därför ett Kähler-grenrör.

På samma sätt, på det släta stället, är kartan $M_{B}^{+}\to M_{Dol}^{ss}$ en diffeomorfism. Men även om Dolbeault- och Betti-modulutrymmena båda har naturliga komplexa strukturer, är dessa inte isomorfa. Faktum är att om de betecknas $I,J$ (för de associerade integrerbara nästan komplexa strukturerna ) så $IJ=-JI$ . I synnerhet om man definierar en tredje nästan komplex struktur med $K=IJ$ då $I^{2}=J^{ 2}=K^{2}=IJK=-\operatörsnamn {Id}$ . Om man kombinerar dessa tre komplexa strukturer med den riemannska metriken som kommer från ${\displaystyle M_{dR}},$ så blir modulutrymmena ett Hyperkähler-manifold på det släta stället .

Relation till Hitchin-Kobayashi korrespondens och enhetliga representationer

Se även: Korrespondens mellan Kobayashi och Hitchin

Om man ställer in Higgs-fältet $\Phi$ till noll, så är en Higgs-bunt helt enkelt en holomorf vektorbunt. Detta ger en inkludering $N_{Dol}^{ss}\subset M_{Dol}^{ss}$ av modulutrymmet för semi-stabila holomorfa vektorbuntar in i modulutrymmet för Higgs-buntar. Hitchin-Kobayashi-korrespondensen ger en överensstämmelse mellan holomorfa vektorbuntar och Hermitian Yang-Mills-förbindelser över kompakta Kähler-grenrör, och kan därför ses som ett specialfall av den icke-abelska Hodge-korrespondensen.

När den underliggande vektorbunten är topologiskt trivial, kommer holonomi för en Hermitian Yang-Mills-förbindelse att ge upphov till en enhetlig representation av den fundamentala gruppen, ρ : $displaystyle \rho :\ pi _{1}(X)\till \operatörsnamn {U} (r)}$ . Delmängden av Betti-modulrymden som motsvarar enhetsrepresentationerna, betecknade $N_{B}^{+}$ , kommer att mappas isomorft på modulutrymmet för semistabila vektorbuntar $N_{Dol}^{ss}$ .

Exempel

Rank ett Higgs-buntar på kompakta Riemann-ytor

Det speciella fallet där det underliggande vektorknippets rangordning är ett ger upphov till en enklare överensstämmelse. För det första är varje linjebunt stabil, eftersom det inte finns några korrekta subskivor som inte är noll. I det här fallet består en Higgs-bunt av ett par $(L,\Phi )$ av en holomorf linjebunt och en holomorf $(1,0)$ -form, eftersom endomorfismen hos en linjebunt är triviala. I synnerhet är Higgs-fältet frånkopplat från den holomorfa linjebunten, så modulutrymmet $M_{Dol}$ kommer att delas upp som en produkt, och enformen uppfyller automatiskt villkoret ${ \displaystyle \Phi \wedge \Phi =0}$ . Mätgruppen för en linjebunt är kommutativ och verkar därför trivialt på Higgs-fältet $\Phi$ genom konjugering. Således kan modulutrymmet identifieras som en produkt

$$M_{Dol}=\operatörsnamn {Jac} (X)\ gånger H^{0}(X,{\boldsymbol {\Omega }}^{1})$$

av den jakobianska varianten av $X$ , som klassificerar alla holomorfa linjebuntar upp till isomorfism, och vektorrummet $H^{0}(X,{\boldsymbol {\Omega } }^{1})$ av holomorfa $(1,0)$ -former.

Vid rank ett Higgs-buntar på kompakta Riemann-ytor får man en ytterligare beskrivning av modulutrymmet. Grundgruppen för en kompakt Riemann-yta, en ytgrupp , ges av

$$\pi _{1} (X)=\langle a_{1},\dots ,a_{g},b_{1},\dots ,b_{g}\mid [a_{1},b_{1}]\cdots [a_{g },b_{g}]=e\rangle$$

där $g$ är släktet för Riemannytan. Representationerna av $\pi _{1}(X)$ i den allmänna linjära gruppen $\operatorname {GL} (1,\mathbb { C} )=\mathbb {C} ^{*}$ ges därför av $2g$ -tupler av komplexa tal som inte är noll:

$$\operatorname {Hom} (\pi _{1}(X),\mathbb {C} ^{*})=(\mathbb {C} ^{*})^{2g}.$$

Eftersom $\mathbb {C} ^{*}$ är abelsk, är konjugationen på detta utrymme trivial, och Betti moduli-utrymmet är $M_{B}= (\mathbb {C} ^{*})^{2g}$ . Å andra sidan, genom Serre-dualitet , är utrymmet för holomorfa $(1,0)$ -former dubbelt till kärvkohomologin $H^{1} (X,{\mathcal {O}}_{X})$ . Den jakobianska sorten är en abelisk sort som ges av kvoten

$$\operatorname {Jac} (X)={\frac {H^{1}(X,{\mathcal { O}}_{X})}{H^{1}(X,\mathbb {Z} )}},$$

så har tangentrymden givet av vektorrymden $H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ och cotangensbunt

$$T^{*}\operatörsnamn {Jac} (X)=\operatörsnamn {Jac} (X)\ gånger H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})^{* }=\operatörsnamn {Jac} (X)\ gånger H^{0}(X,{\boldsymbol {\Omega }}^{1})=M_{Dol}.$$

Det vill säga Dolbeault moduli-utrymmet, modulutrymmet för holomorfa Higgs-linjeknippen, är helt enkelt det kotangensknippe till Jacobian, modulutrymmet för holomorfa linjebuntar. Den icke-abelska Hodge-korrespondensen ger därför en diffeomorfism

$$T^{*}\operatörsnamn {Jac} (X)\cong (\mathbb {C} ^{*})^{2g}$$

vilket inte är en biholomorfism. Man kan kontrollera att de naturliga komplexa strukturerna på dessa två utrymmen är olika och uppfyller förhållandet $IJ=-JI$ , vilket ger en hyperkähler-struktur på cotangensknippet till jakobian.

Generaliseringar

Det är möjligt att definiera begreppet en principiell $G$ -Higgs-bunt för en komplex reduktiv algebraisk grupp $G$ , en version av Higgs-buntar i kategorin huvudbuntar . Det finns en uppfattning om ett stabilt huvudpaket , och man kan definiera ett stabilt huvudpaket $G$ -Higgs. En version av den nonabelska Hodge-satsen gäller för dessa objekt, som relaterar principal $G$ -Higgs-buntar till representationer av den fundamentala gruppen till $G$ .

Nonabelsk Hodge-teori

Överensstämmelsen mellan Higgs-buntar och representationer av den fundamentala gruppen kan formuleras som ett slags nonabelsk Hodge-sats , det vill säga en analogi av Hodge-nedbrytningen av en Kähler-manifold , men med koefficienter i den nonabelska gruppen $\operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )$ istället för den abelska gruppen $\mathbb {C}$ . Utläggningen här följer diskussionen av Oscar Garcia-Prada i bilagan till Wells' Differential Analysis on Complex Manifolds .

Hodge nedbrytning

Hodge-nedbrytningen av ett kompakt Kähler-grenrör bryter ner den komplexa de Rham-kohomologin till den finare Dolbeault-kohomologin :

$$H_{dR}^{k}(X,\mathbb {C} )=\bigoplus _{p+q=k}H_{Dol}^{p,q}(X).$$

Vid grad ett ger detta en direkt summa

$$H^{1}(X,\ mathbb {C} )=H^{0,1}(X)\oplus H^{1,0}(X)\cong H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}) \oplus H^{0}(X,{\boldsymbol {\Omega }}^{1})$$

där vi har tillämpat Dolbeault-satsen för att formulera Dolbeault-kohomologin i termer av kärvkohomologi för kärven av holomorfa $(1,0)$ -former ${\boldsymbol {\Omega } }^{1},$ och strukturblocket ${\mathcal {O}}_{X}$ av holomorfa funktioner på $X$ .

Nonabelsk kohomologi

När man konstruerar kärvkohomologi är koefficientkärven ${\mathcal {F}}$ alltid en kärve av abelska grupper. Detta beror på att för en abelisk grupp är varje undergrupp normal , så kvotgruppen

$${\check {H}}^{k}(X,{\mathcal {F}})= Z^{k}(X,{\mathcal {F}})/B^{k}(X,{\mathcal {F}})$$

av kärvens cocycles av kärvens samgränser är alltid väldefinierad. När kärven ${\mathcal {F}}$ inte är abelsk, är dessa kvoter inte nödvändigtvis väldefinierade, och därför existerar inte kärvekohomologiteorier, förutom i följande specialfall:

• $k=0$ : Den 0:e kärvens kohomologigrupp är alltid utrymmet för globala sektioner av kärven ${\displaystyle {\mathcal {F}}} ,$ så är alltid väldefinierad även om ${\mathcal {F}}$ är icke-abelsk.
• $k=1$ : Den första kärvens kohomologiuppsättning är väldefinierad för en icke-abelsk kärve ${\displaystyle {\mathcal {F}}} ,$ men den är i sig inte en kvotgrupp .
• $k=2$ : I vissa speciella fall kan en analog av andra gradens kärvekohomologi definieras för icke-abelska kärvar med hjälp av teorin om gerbes .

Ett nyckelexempel på icke-abelsk kohomologi uppstår när koefficientkärven är ${\displaystyle {\mathcal {GL}}(r,\mathbb {C} )} ,$ bunten av holomorfa funktioner till den komplexa linjära grupp . I det här fallet är det ett välkänt faktum från Čech kohomologi som kohomologin satte

$${\check {H}}^{1}(X,{\mathcal {GL}}(r,\mathbb {C} ))$$

är i en-till-en-överensstämmelse med uppsättningen holomorfa vektorbuntar av rang $r$ på $X$ , upp till isomorfism. Lägg märke till att det finns en framstående holomorf vektorbunt av rang $r$ , den triviala vektorbunten, så detta är faktiskt en kohomologi spetsad uppsättning . I specialfallet $r=1$ är den allmänna linjära gruppen den abelska gruppen $\mathbb {C} ^{*}$ av komplexa tal som inte är noll med avseende på multiplikation. I det här fallet får man gruppen holomorfa linjebuntar upp till isomorfism, annars känd som Picardgruppen .

Nonabels Hodge-sats

Den första kohomologigruppen $H^{1}(X,\mathbb {C} )$ är isomorf till gruppen homomorfismer från grundgruppen $\pi _{1}(X)$ till $\mathbb {C}$ . Detta kan till exempel förstås genom att tillämpa Hurewicz-satsen . Således kan den regelbundna Hodge-nedbrytningen som nämns ovan formuleras som

$$\operatorname {Hom} (\pi _{1}(X),\mathbb {C} )\cong H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})\oplus H ^{0}(X,{\boldsymbol {\Omega }}^{1}).$$

Den icke-abelska Hodge-korrespondensen ger en analogi av detta uttalande av Hodge-satsen för icke-abelsk kohomologi, enligt följande. En Higgs-bunt består av ett par $(E,\Phi )$ där $E$ är en holomorf vektorbunt, och ${\displaystyle \Phi \in H^{0}(X,\operatörsnamn {End} (E)\otimes {\boldsymbol {\Omega }}^{1})} är en holomorf$ , endomorfismvärderad $(1,0)$ -form . Den holomorfa vektorbunten $E$ kan identifieras med ett element av ${\check {H}}^{1}(X,{\ mathcal {GL}}(r,\mathbb {C} ))$ som nämnts ovan. Således kan ett Higgs-paket ses som en del av den direkta produkten

$$(E,\Phi )\in {\check {H}}^{1}(X,{\mathcal {GL}}(r,\mathbb {C} ))\oplus H^{0}( X,\operatörsnamn {End} (E)\otimes {\boldsymbol {\Omega }}^{1}).$$

Den icke-abelska Hodge-överensstämmelsen ger en isomorfism från modulutrymmet för $\operatorname {GL} (r,\mathbb {C} )$ -representationer av grundgruppen ${\ displaystyle \pi _{1}(X)}$ till modulutrymmet för Higgs-buntar, som därför skulle kunna skrivas som en isomorfism

$$\operatörsnamn {Rep} (\pi _{1}(X),\operatörsnamn {GL} (r,\mathbb {C} ))\cong {\check {H}}^{1}(X, {\mathcal {GL}}(r,\mathbb {C} ))\oplus H^{0}(X,\operatörsnamn {End} (E)\ ibland {\boldsymbol {\Omega }}^{1}) .$$

Detta kan ses som en analogi av den vanliga Hodge-nedbrytningen ovan. Modulutrymmet för representationer $\operatörsnamn {Rep} (\pi _{1}(X),\operatörsnamn {GL} (r,\ mathbb {C} ))$ spelar rollen som den första kohomologin av $X$ med icke-abelska koefficienter, kohomologimängden ${\displaystyle {\check {H }}^{1}(X,{\mathcal {GL}}(r,\mathbb {C} ))} spelar$ rollen som mellanslag $H^{1}( X,{\mathcal {O}}_{X})$ och gruppen $H^{0}(X,\operatörsnamn {End} (E )\otimes {\boldsymbol {\Omega }}^{1})$ spelar rollen som de holomorfa (1,0)-formerna $H^{0}(X,{\ fetstil {\Omega }}^{1})$ .

Isomorfismen här skrivs $\cong$ , men detta är inte en faktisk isomorfism av mängder, eftersom modulutrymmet för Higgs-buntar inte bokstavligen ges av den direkta summan ovan, eftersom detta bara är en analogi.

Hodge struktur

Se även: Hodge-struktur

Modulutrymmet $M_{Dol}^{ss}$ för halvstabila Higgs-buntar har en naturlig verkan av den multiplikativa gruppen $\mathbb {C} ^{*}$ , ges genom att skala Higgs-fältet: $\lambda \cdot (E,\Phi )=(E,\lambda \Phi )$ för $\lambda \in \mathbb {C} ^{*}$ . För abelsk kohomologi ger en sådan ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}-$ åtgärd upphov till en Hodge-struktur , som är en generalisering av Hodge-nedbrytningen av kohomologin för en kompakt Kähler-manifold. Ett sätt att förstå den nonabelska Hodge-satsen är att använda ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}-$ åtgärden på modulutrymmet $M_{B}^{+}$ för att få en Hodge-filtrering. Detta kan leda till nya topologiska invarianter för det underliggande grenröret $X$ . Till exempel får man på detta sätt begränsningar för vilka grupper som kan framstå som de grundläggande grupperna av kompakta Kähler-grenrör.