Thomas–Yau gissningar

Inom matematik , och speciellt symplektisk geometri , frågar Thomas –Yau-förmodan om existensen av ett stabilitetstillstånd, liknande de som förekommer i algebraisk geometri , vilket garanterar existensen av en lösning på den speciella lagrangekvationen i en Hamiltonsk isotopiklass av lagrange . undergrenrör . I synnerhet innehåller gissningen två svårigheter: för det första frågar den vad ett lämpligt stabilitetstillstånd kan vara, och för det andra om man kan bevisa stabiliteten för en isotopiklass om och endast om den innehåller en speciell lagrangisk representant.

Thomas–Yau gissningen föreslogs av Richard Thomas och Shing-Tung Yau 2001, och motiverades av liknande satser inom algebraisk geometri som relaterar existensen av lösningar till geometriska partiella differentialekvationer och stabilitetsförhållanden, särskilt Kobayashi–Hitchin-överensstämmelsen som relaterar till en stabil lutningsvektor. buntar till Hermitian Yang–Mills-mått .

Gissningen är intimt besläktad med spegelsymmetri , en gissning inom strängteori och matematisk fysik som förutsäger att spegel till ett symplektiskt grenrör (som är ett Calabi-Yau-grenrör ) det borde finnas ett annat Calabi-Yau-grenrör för vilket den symplektiska strukturen är utbytt med den komplexa strukturen . Speciellt spegelsymmetri förutspår att speciella lagrangianer, som är typ IIA-strängteorimodellen för BPS D-braner , bör bytas ut mot samma strukturer i typ IIB-modellen, som ges antingen av stabila vektorbuntar eller vektorbuntar som tillåter Hermitian Yang –Mills eller möjligen deformerade Hermitian Yang–Mills-mått . Motiverad av detta Dominic Joyce Thomas-Yau-förmodan 2014 och förutspådde att stabilitetsvillkoret kan förstås med hjälp av teorin om Bridgelands stabilitetsförhållanden definierad på Fukaya-kategorin i Calabi-Yau-grenröret, vilket är en triangulerad kategori som förekommer i Kontsevichs bok. homologisk spegelsymmetriförmodan .

Påstående

Uttalandet av Thomas–Yau-förmodan är inte helt exakt, eftersom det särskilda stabilitetsförhållandet ännu inte är känt. I Thomas och Thomas–Yaus arbete gavs stabilitetsvillkoret i termer av det lagrangska medelkrökningsflödet inom den hamiltonska isotopiklassen av lagrangian, men Joyces omtolkning av gissningarna förutspår att detta stabilitetstillstånd kan ges en kategorisk eller algebraisk form i termer av Bridgelands stabilitetsförhållanden .

Särskilda lagrangiska undergrenrör

Betrakta ett Calabi–Yau-grenrör $(X,\omega ,\Omega )$ med komplex dimension $n$ , som i synnerhet är ett verkligt symplektiskt grenrör med dimension ${\ displaystyle 2n}$ . Då är en lagrangisk undergren ett reellt $n$ -dimensionellt undergrenrör $L\subset X$ så att den symboliska formen är identiskt noll när den är begränsad till ${\displaystyle L} ,$ det vill säga $\left.\omega \right|_{L}=0$ . Den holomorfa volymformen $\Omega \in \Omega ^{n,0}(X)$ , när den är begränsad till en lagrangisk undergren, blir en differentialform av högsta grad . Om Lagrangian är orienterad, så finns det en volymform $dV_{L}$ på $L$ och man kan jämföra denna volymform med begränsningen av den holomorfa volymformen: $\left.\Omega \right|_{L}=fdV_{L}$ för någon funktion med komplexa värden $f:L\to \mathbb {C }$ . Villkoret att $X$ är en Calabi–Yau-manifold innebär att funktionen $f$ har norm 1, så vi har $f=e^{i\Theta }$ där $\Theta :L\to [0,2\pi )$ är fasvinkeln för funktionen $f$ . I princip är denna fasfunktion endast lokalt kontinuerlig, och dess värde kan hoppa. En graderad lagrangian är en lagrangian tillsammans med en lyftande $\vartheta :L\to \mathbb {R}$ av fasvinkeln till ${\displaystyle \mathbb {R} } ,$ som uppfyller $\Theta =\vartheta \mod 2\pi$ överallt på $L$ .

En orienterad, graderad lagrangisk $L$ sägs vara en speciell lagrangisk delgren om fasvinkelfunktionen $\vartheta$ är konstant på $L$ . Medelvärdet för denna funktion, betecknat $\theta$ , kan beräknas med hjälp av volymformen som

$\theta =\arg \int _{L}\Omega ,$

och beror endast på Hamiltons isotopiklass $L$ . Med detta medelvärde kan villkoret att $\Theta$ är konstant skrivas i följande form, vilket vanligtvis förekommer i litteraturen. Detta är definitionen av en speciell lagrangisk undergren:

$\mathrm {Im} (e^{-i\theta }\left.\Omega \right|_{L})=0.$

Hamiltonsk isotopiklasser

Villkoret att vara en speciell Lagrangian är inte uppfyllt för alla Lagrangianer, men de geometriska och speciellt fysikaliska egenskaperna hos Lagrangian submanifolds i strängteorin förutsägs endast bero på Hamiltonian isotopiklassen av Lagrangian submanifold. En isotopi är en transformation av ett undergrenrör inuti ett omgivande grenrör som är en homotopi genom inbäddningar. På en symplectic manifold kräver en symplectic isotopy att dessa inbäddningar är av symplectomorphisms , och en Hamiltonian isotopy är en symplectic isotopy för vilken symplectomorphismsna genereras av Hamiltonian funktioner . Med tanke på en lagrangisk undergren $L$ bevaras tillståndet att vara en lagrangisk under Hamiltonska (i själva verket symplektiska) isotoper, och samlingen av alla lagrangiska undergrenrör som är Hamiltons isotopiska till $L$ betecknas $[L]$ , kallad Hamiltons isotopklass $L$ .

Lagrangian medelkurvaturflöde och stabilitetstillstånd

Givet ett Riemann-grenrör $M$ och ett undergrenrör $\iota :N\hookrightarrow M$ , är medelkurvaturflödet en differentialekvation som är uppfylld för en enparameterfamilj $\iota _{t}$ av inbäddningar definierade för i $t$ något intervall $[0,T)$ med bilder betecknade $N^{t}$ , där $N^{0}=N$ . Familjen tillfredsställer nämligen medelkurvaturflöde om

${\frac {d\iota _{t}}{dt}}=H_{\iota _{t}}$

där $H_{\iota _{t}}$ är medelkrökningen av undergrenröret $N^{t}\subset M$ . Detta flöde är gradientflödet för volymen som är funktionellt på undergrenrören i det Riemannska grenröret ${\displaystyle M} ,$ och det finns alltid korttidsexistens av lösningar som börjar från ett givet undergrenrör $N$ .

På en Calabi–Yau-grenrör, om $L$ är en Lagrangian, bevaras villkoret att vara en Lagrangian när man studerar medelkurvaturflödet för $L$ med avseende på Calabi-Yau-metriken. Detta kallas därför det lagrangiska medelkurvaturflödet ( Lmcf ). Dessutom, för en graderad Lagrangian $(L,\vartheta )$ , bevarar Lmcf Hamiltonsk isotopiklass, så $L^{t}\in [L]$ för alla $t\in [0,T)$ där Lmcf är definierad.

Thomas introducerade ett konjekturiskt stabilitetsvillkor definierat i termer av graderingar när han delade upp i lagrangiska sammankopplade summor. En graderad Lagrangian $(L,\vartheta )$ kallas nämligen stabil om närhelst den kan skrivas som en graderad Lagrangiankopplad summa

$(L,\vartheta )=(L_{1},\vartheta _{1})\#(L_{2 },\vartheta _{2})$

medelfaserna tillfredsställer ojämlikheten

$\theta _{1}<\theta _{2}.$

På det senare språket av Joyce som använder begreppet Bridgeland stabilitetstillstånd, förklarades detta ytterligare enligt följande. En nästan kalibrerad lagrangian (vilket betyder att den lyftta fasen antas ligga i intervallet $(-\pi /2,\pi /2)$ eller någon heltalsförskjutning av detta intervall) som delas som en graderad sammanhängande summa av nästan kalibrerade lagrangier motsvarar en distingerad triangel

$L_{1}\to L_{1}\#L_{2}\to L_{2}\to L_{1}[1 ]$

i kategorin Fukaya. Lagrangian $(L,\vartheta )$ är stabil om ovanstående vinkelolikhet gäller för någon sådan distingerad triangel.

Uttalande av gissningen

Gissningen som ursprungligen föreslogs av Thomas är följande:

Gissning: En orienterad, graderad, nästan kalibrerad Lagrangian $L$ tillåter en speciell Lagrangian-representant i sin Hamiltonska isotopiklass $[L]$ om och endast om den är stabil i ovanstående mening.

Efter detta, i Thomas–Yaus arbete, förutspåddes också beteendet hos det lagrangska medelkurvaturflödet.

Gissning (Thomas–Yau): Om en orienterad, graderad, nästan kalibrerad lagrangisk $L$ är stabil, existerar det lagrangska medelkurvaturflödet för all framtid och konvergerar till en speciell lagrangisk representant i Hamiltons isotopiklass $[L]$ .

Denna gissning förstärktes av Joyce, som gav en mer subtil analys av vilket beteende som förväntas av det lagrangska medelkurvaturflödet. Joyce beskrev särskilt typerna av singularitetsbildning i ändlig tid som förväntas inträffa i det lagrangska medelkurvaturflödet och föreslog att utöka klassen av lagrangianer som studerades till att inkludera singulära eller nedsänkta lagrangiska undergrenar, som borde förekomma i den fullständiga Fukaya-kategorin av Calabi–Yau.

Gissning (Thomas–Yau–Joyce): En orienterad, graderad, nästan kalibrerad Lagrangian $L$ delar sig som en graderad lagrangiankopplad summa $L=L_{1}\ #\cdots \#L_{k}$ av speciella lagrangiska undergrenrör $L_{i}$ med fasvinklar $\theta _{1}>\cdots >\theta _ {k}$ ges av konvergensen av det lagrangska medelkurvaturflödet med operationer för att ta bort singulariteter vid en sekvens av ändliga tider $0<T_{1}<\cdots <T_{k}$ . Vid dessa operationspunkter kan Lagrangian ändra sin Hamilton-isotopiklass men behåller sin klass i Fukaya-kategorin.

På språket för Joyces formulering av gissningen är nedbrytningen $L=L_{1}\#\cdots \#L_{k}$ en symplektisk analog till Harder-Narasimhan filtrering av ett vektorknippe, och med hjälp av Joyces tolkning av gissningen i kategorin Fukaya med avseende på ett Bridgeland stabilitetstillstånd, ges den centrala laddningen av

$Z(L)=\int _{L}\Omega$ ,

hjärtat ${\mathcal {A}}$ i t-strukturen som definierar stabilitetsvillkoret förmodas ges av de lagrangianer i kategorin Fukaya med fas ${ \displaystyle \theta \in (-\pi /2,\pi /2)} ,$ och Thomas–Yau–Joyce-förmodan förutsäger att det lagrangska medelkurvaturflödet producerar Harder–Narasimhan-filtreringsvillkoret som krävs för att bevisa att data $(Z,{\mathcal {A}})$ definierar ett äkta Bridgeland-stabilitetsvillkor för Fukaya-kategorin.