Harmonisk karta

Inom det matematiska området för differentialgeometri kallas en jämn karta mellan Riemannska grenrör harmonisk om dess koordinatrepresentanter uppfyller en viss ickelinjär partiell differentialekvation . Denna partiella differentialekvation för en kartläggning uppstår också som Euler-Lagrange-ekvationen för en funktionell som kallas Dirichlet-energin . Som sådan innehåller teorin om harmoniska kartor både teorin om enhetshastighetsgeodesik i Riemannsk geometri och teorin om harmoniska funktioner .

Informellt kan Dirichlet-energin för en mappning av $f$ från ett Riemann-grenrör $M$ till ett Riemann-grenrör $N$ betraktas som den totala mängden som $f$ sträcker ut $M$ genom att allokera vart och ett av dess element till en punkt av $N$ . Till exempel kan ett osträckt gummiband och en slät sten båda naturligt ses som Riemannska grenrör. Alla sätt att sträcka gummibandet över stenen kan ses som en kartläggning mellan dessa grenrör, och den totala spänningen representeras av Dirichlet-energin. Harmoniteten hos en sådan mappning innebär att, givet varje hypotetiskt sätt att fysiskt deformera den givna sträckan, spänningen (när den betraktas som en funktion av tiden) har förstaderivatan lika med noll när deformationen börjar.

Teorin om harmoniska kartor initierades 1964 av James Eells och Joseph Sampson , som visade att i vissa geometriska sammanhang kunde godtyckliga kartor deformeras till harmoniska kartor. Deras arbete var inspirationen till Richard Hamiltons första arbete om Ricci-flödet . Harmoniska kartor och den tillhörande harmoniska kartan värmeflöde, i och för sig, är bland de mest studerade ämnena inom området för geometrisk analys .

Upptäckten av "bubblande" av sekvenser av harmoniska kartor, på grund av Jonathan Sacks och Karen Uhlenbeck , har varit särskilt inflytelserik, eftersom deras analys har anpassats till många andra geometriska sammanhang. Noterbart är att Uhlenbecks parallella upptäckt av bubbling av Yang-Mills-fält är viktig i Simon Donaldsons arbete med fyrdimensionella grenrör, och Mikhael Gromovs senare upptäckt av bubbling av pseudoholomorfa kurvor är betydande i tillämpningar för symplektisk geometri och kvantkohomologi . De tekniker som Richard Schoen och Uhlenbeck använde för att studera regularitetsteorin för harmoniska kartor har också varit inspirationen för utvecklingen av många analytiska metoder inom geometrisk analys.

Geometri av mappningar mellan grenrör

betraktas geometrin för en jämn mappning mellan Riemannska grenrör via lokala koordinater och på motsvarande sätt via linjär algebra . En sådan mappning definierar både en första grundform och en andra grundform. Laplacian (även kallad spänningsfält ) definieras via den andra fundamentala formen, och dess försvinnande är villkoret för att kartan ska vara harmonisk . Definitionerna sträcker sig utan modifiering till inställningen av pseudo-riemannska grenrör .

Lokala koordinater

Låt $U$ vara en öppen delmängd av $ℝ m$ och låt $V$ vara en öppen delmängd av $ℝ n$ . För varje $i$ och $j$ mellan 1 och $n$ , låt $g ij$ vara en jämn realvärderad funktion på $U$ , så att för varje $p$ i $U$ har man att $m \times m$ -matrisen $[g ij (p)]$ är symmetrisk och positiv -definitivt . För varje $α$ och $β$ mellan 1 och $m$ , låt $h αβ$ vara en jämn verklig funktion på $V$ , så att för varje $q$ i $V$ har man att $n \times n$ matrisen $[h αβ (q)]$ är symmetrisk och positiv -bestämd. Beteckna de inversa matriserna med $[g ij (p)]$ och $[h αβ (q)]$ .

För varje $i, j, k$ mellan 1 och $n$ och varje $α, β, γ$ mellan 1 och $m$ definierar Christoffel-symbolerna $Γ(g) k ij : U \to ℝ$ och $Γ(h) γ αβ : V \to ℝ$ med

{\displayedstyle}\begin{aligned _{ij}^{k}&={\frac {1}{2}}\sum _{\ell =1}^{m}g^{k\ell }{\Big (}{\frac {\ partiell g_{j\ell }}{\partial x^{i}}}+{\frac {\partial g_{i\ell }}{\partial x^{j}}}-{\frac {\partial g_ {ij}}{\partial x^{\ell }}}{\Big )}\\\Gamma (h)_{\alpha \beta }^{\gamma }&={\frac {1}{2} }\summa _{\delta =1}^{n}h^{\gamma \delta }{\Big (}{\frac {\partial h_{\beta \delta }}{\partial y^{\alpha } }}+{\frac {\partial h_{\alpha \delta }}{\partial y^{\beta }}}-{\frac {\partial h_{\alpha \beta }}{\partial y^{\ delta }}}{\Big )}\end{aligned}}}

Givet en jämn karta $f$ från $U$ till $V$ , definierar dess andra grundform för varje $i$ och $j$ mellan 1 och $m$ och för varje $α$ mellan 1 och $n$ den verkliga funktionen $\nabla(df) α ij$ på $U$ med

\nabla (df)_{ij}^{\alpha }={\frac {\partial ^{2}f^{\alpha }}{\partial x^{i}\partial x^{j} }}-\summa _{k=1}^{m}\Gamma (g)_{ij}^{k}{\frac {\partial f^{\alpha }}{\partial x^{k}} }+\summa _{\beta =1}^{n}\summa _{\gamma =1}^{n}{\frac {\partial f^{\beta }}{\partial x^{i}} }{\frac {\partial f^{\gamma }}{\partial x^{j}}}\Gamma (h)_{\beta \gamma }^{\alpha }\circ f.

Dess laplacian definierar för varje $α$ mellan 1 och $n$ den verkliga funktionen $(∆ f) α$ på $U$ med

(\Delta f)^{\alpha }=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{m}g^{ij}\nabla (df)_{ ij}^{\alpha }.

Buntformalism

Låt $(M, g)$ och $(N, h)$ vara Riemannska grenrör . Givet en jämn karta $f$ från $M$ till $N$ $, kan man T * M\otimesf * TN$ betrakta dess differential $df$ som en sektion av vektorbunten över $M$ ; det vill säga att för varje $p$ i $M$ har man en linjär avbildning $df p$ mellan tangentrymden $T p M \to T f(p) N$ . Vektorknippet $T * M \otimes f * TN$ har en anslutning inducerad från Levi-Civita-anslutningarna på $M$ och $N$ . Så man kan ta den kovarianta derivatan $\nabla(df)$ , som är en sektion av vektorbunten $T * M \otimes T * M \otimes f * TN$ över $M$ ; det vill säga att för varje $p$ i $M$ har man en bilinjär karta $(\nabla(df)) p$ av tangentrymden $T p M \times T p M \to T f(p) N$ . Detta avsnitt är känt som hessian av $f$ .

Med hjälp av $g$ kan man spåra hessian för $f$ för att komma fram till laplacian för $f$ , som är en sektion av bunten $f * TN$ över $M$ ; detta säger att laplacianen av $f$ tilldelar varje $p$ i $M$ ett element av tangentrymden $T f (p) N$ . Enligt definitionen av spåroperatorn kan laplacian skrivas som

(\Delta f)_{p}=\summa _{i=1}^{m }{\big (}\nabla (df){\big )}_{p}(e_{i},e_{i})

där $som e1, ..., em$ är vilken $gp -$ ortonormal bas $helst för TpM .$

Dirichlet energi och dess variationsformler

Ur perspektivet av lokala koordinater, som anges ovan, är energitätheten för en avbildning $f$ den verkliga funktionen på $U$ som ges av

{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{m}\summa _{j=1}^{m}\summa _{\alpha =1}^{n} \sum _{\beta =1}^{n}g^{ij}{\frac {\partial f^{\alpha }}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial f^{ \beta }}{\partial x^{j}}}(h_{\alpha \beta }\circ f).

Alternativt, i buntformalismen, inducerar Riemann-måtten på $M$ och $N en$ buntmetrik på $T * M \otimes f * TN$ , och så kan man definiera energitätheten som den jämna funktionen $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px} 1 / 2 | df | 2$ på $M$ . Det är också möjligt att betrakta energitätheten som given av (hälften av) $g$ -spåret av den första grundformen. Oavsett vilket perspektiv som tas är energitätheten $e (f)$ en funktion på $M$ som är jämn och icke-negativ. Om $M$ är orienterad och $M$ är kompakt, definieras Dirichlet-energin för $f som$

E(f)=\int _{M}e(f)\,d\mu _{g}

där $dμ g$ är volymformen på $M$ inducerad av $g$ . Eftersom alla icke-negativa mätbara funktioner har en väldefinierad Lebesgue-integral , är det inte nödvändigt att placera begränsningen att $M$ är kompakt; men då kan Dirichlet-energin vara oändlig.

Variationsformlerna för $E Dirichlet f)$ -energin beräknar derivatorna av Dirichlet-energin ( när avbildningen $f$ deformeras. För detta ändamål, betrakta en enparametersfamilj av kartor $f s : M \to N$ med $0 f = f$ för vilka det finns en prekompakt öppen mängd $K$ av $M$ så att $f s | M - K = f | M - K$ för alla $s$ ; man antar att den parametriserade familjen är jämn i den meningen att den associerade kartan $(-ε, ε) \times M \to N$ given av $(s, p) \mapsto f s (p)$ är jämn.

Den första variantformeln säger att

{\displaystyle \int _{M}{\frac {\partial }{\partial s}}{\Big |}_{s=0}e(f_{s})\,d\mu _{g}=-\int _{M}h\left({\frac {\partial }{ \partial s}}{\Big |}_{s=0}f_{s},\Delta f\right)\,d\mu _{g}} Det finns också en version för grenrör med gräns

.

Det finns också en andra variantformel.

På grund av den första variationsformeln kan laplacianen för $f$ ses som gradienten för Dirichlet-energin; på motsvarande sätt är en harmonisk karta en kritisk punkt för Dirichlet-energin. Detta kan göras formellt på språket för global analys och Banach-manifolds .

Exempel på harmoniska kartor

Låt $(M, g)$ och $(N, h)$ vara jämna Riemannska grenrör. Notationen $g stan$ används för att referera till den riemannska standardmetriken på det euklidiska rummet.

Varje helt geodetisk karta ( M , g ) → ( N , h ) är harmonisk; detta följer direkt av ovanstående definitioner. Som specialfall:
- För varje $q$ i $N är$ konstantavbildningen $(M, g) \to (N, h)$ värderad till $q$ harmonisk.
- Identitetskartan $(M, g) \to (M, g)$ är harmonisk.
Om f : M → N är en nedsänkning , då är f : ( M , f ^* h ) → ( N , h ) harmonisk om och endast om f är minimal i förhållande till h . Som ett specialfall:
- Om $f : ℝ \to (N, h)$ är en nedsänkning med konstant hastighet, så är $f : (ℝ, g stan) \to (N, h)$ harmonisk om och endast om $f$ löser den geodetiska differentialekvationen.

Kom ihåg att om

M

är endimensionell, så är minimaliteten för

f

ekvivalent med att

f

är geodetisk, även om detta inte innebär att det är en konstanthastighetsparametrisering och därmed inte att

f

löser den geodetiska differentialekvationen.

En jämn avbildning $f : (M, g) \to (ℝ n, g stan)$ är harmonisk om och endast om var och en av dess $n$ komponentfunktioner är harmoniska som avbildningar $(M, g) \to (ℝ, g stan)$ . Detta sammanfaller med begreppet harmoni som tillhandahålls av Laplace-Beltrami-operatören .
Varje holomorf karta mellan Kählers grenrör är harmonisk.
Varje harmonisk morfism mellan Riemannska grenrör är harmonisk.

Harmonisk karta värmeflöde

Välställning

Låt $(M, g)$ och $(N, h)$ vara jämna Riemannska grenrör. En harmonisk karta värmeflöde på ett intervall $(a, b)$ tilldelar varje $t$ i $(a, b)$ en två gånger differentierbar karta $f t : M \to N$ på ett sådant sätt att för varje $p$ i $M$ , kartan $(a, b) \to N$ givet av $t \mapsto f t (p)$ är differentierbar, och dess derivata vid ett givet värde på $t$ är, som en vektor i $T f t (p) N$ , lika med $(∆ f t) p$ . Detta förkortas vanligtvis som:

{\frac {\partial f}{\partial t}}=\Delta f.

Eells och Sampson introducerade det harmoniska kartvärmeflödet och bevisade följande grundläggande egenskaper:

Regelbundenhet. Varje harmonisk kartvärmeflöde är jämnt som en karta $(a, b) \times M \to N$ givet av $(t, p) \mapsto f t (p)$ .

Antag nu att $M$ är ett slutet grenrör och $(N, h)$ är geodesiskt komplett.

Existens. Givet en kontinuerligt differentierbar karta $f$ från $M$ till $N$ finns det ett positivt tal $T$ och ett harmoniskt karta värmeflöde $f t$ på intervallet $(0, T)$ så att $f t$ konvergerar till $f$ i $C 1$ topologin när $t$ minskar till 0 .
Unikhet. Om ${f t : 0 < t < T}$ och ${f t : 0 < t < T}$ är två harmoniska kartvärmeflöden som i existenssatsen, då $f t = f t$ närhelst $0 < t < min(T, T)$ .

Som en konsekvens av unikhetssatsen finns det ett maximalt harmoniskt kartvärmeflöde med initialdata $f$ , vilket betyder att man har ett harmoniskt kartvärmeflöde ${f t : 0 < t < T}$ som i uttalandet av existenssatsen, och det är unikt definierat under det extra kriteriet att $T$ får sitt maximalt möjliga värde, vilket kan vara oändligt.

Eells och Sampsons sats

Det primära resultatet av Eells och Sampsons uppsats från 1964 är följande:

Låt $(M, g)$ och $(N, h)$ vara jämna och slutna Riemannska grenrör och anta att tvärsnittskrökningen för ( $N, h) är$ icke-positiv. Sedan för varje kontinuerligt differentierbar karta $f$ från $M$ till $N ,$ har det maximala harmoniska kartvärmeflödet ${f t : 0 < t < T}$ med initiala data $f$ $T = \infty$ , och när $t$ ökar till $\infty$ konvergerar kartorna $f t därefter$ i $C \infty$ topologin till en övertonskarta.

Speciellt visar detta att, under antagandena om $(M, g)$ och $(N, h)$ , varje kontinuerlig karta är homotop till en harmonisk karta. Själva existensen av en harmonisk karta i varje homotopiklass, vilket implicit hävdas, är en del av resultatet. Strax efter Eells och Sampsons arbete Philip Hartman sina metoder för att studera unika harmoniska kartor inom homotopiklasser, vilket dessutom visade att konvergensen i Eells−Sampsons sats är stark, utan att behöva välja en undersekvens. Eells och Sampsons resultat anpassades av Richard Hamilton till inställningen av Dirichlets gränsvärdesproblem , när $M$ istället är kompakt med icke-tom gräns.

Singulariteter och svaga lösningar

$N, h år efter Eells och$ Sampsons arbete var det oklart i vilken utsträckning antagandet om sektionskrökning på ( ) var nödvändigt. Efter Kung-Ching Changs, Wei-Yue Dings och Rugang Yes arbete 1992, är det allmänt accepterat att den maximala tiden för existensen av ett harmoniskt kartvärmeflöde inte "vanligtvis" kan förväntas vara oändlig. Deras resultat tyder starkt på att det finns harmoniska kartvärmeflöden med "finite-time blowup" även när både ( $M, g) och$ ( $N, h) anses$ vara den tvådimensionella sfären med dess standardmått. Eftersom elliptiska och paraboliska partiella differentialekvationer är särskilt jämna när domänen är tvådimensionell, anses Chang−Ding−Ye-resultatet vara indikativt för flödets allmänna karaktär.

Utifrån de grundläggande verken av Sacks och Uhlenbeck, $(N, h övervägde$ Michael Struwe fallet där inget geometriskt antagande om ) görs. I fallet att $M$ är tvådimensionell, etablerade han den ovillkorliga existensen och unikheten för svaga lösningar av det harmoniska kartvärmeflödet. Dessutom fann han att hans svaga lösningar är jämna bort från ändligt många rumtidspunkter där energitätheten koncentreras. På mikroskopiska nivåer modelleras flödet nära dessa punkter av en bubbla , dvs en jämn övertonskarta från den runda 2-sfären in i målet. Weiyue Ding och Gang Tian kunde bevisa energikvantiseringen vid singulära tidpunkter, vilket innebär att Dirichlet-energin i Struwes svaga lösning, vid en singulär tidpunkt, sjunker med exakt summan av de totala Dirichlet-energierna för bubblorna motsvarande singulariteter vid den tiden .

Struwe kunde senare anpassa sina metoder till högre dimensioner, i det fall att domängrenröret är det euklidiska rummet ; han och Yun Mei Chen övervägde också högre dimensionella slutna grenrör . Deras resultat uppnådde mindre än i låga dimensioner, eftersom de bara kunde bevisa förekomsten av svaga lösningar som är smidiga på öppna täta delmängder.

Bochners formel och styvhet

Den huvudsakliga beräkningspunkten i beviset för Eells och Sampsons teorem är en anpassning av Bochners formel till inställningen av ett harmoniskt karta värmeflöde { $f t : 0 < t < T}$ . Denna formel säger

{\Big (}{\frac {\partial}{\partial t}}-\Delta ^{g}{\Big )}e(f)=-{\big |}\nabla (df){ \big |}^{2}-{\big \langle }\operatörsnamn {Ric} ^{g},f^{\ast}h{\big \rangle }_{g}+\operatörsnamn {scal} ^{ g}{\big (}f^{\ast}\operatörsnamn {Rm} ^{h}{\big )}.

Detta är också av intresse för att analysera harmoniska kartor. Antag $att f : M \to N$ är harmonisk; vilken övertonskarta som helst kan ses som en konstant int- $lösning$ av det övertonskartas värmeflöde, och så får man från formeln ovan att

\Delta ^{g}e(f)={\big |}\nabla (df){\big |}^{2}+{\big \langle }\operatörsnamn {Ric} ^{g}, f^{\ast }h{\big \rangle }_{g}-\operatörsnamn {scal} ^{g}{\big (}f^{\ast }\operatörsnamn {Rm} ^{h}{\big )}.

Om Ricci-kurvaturen för $g$ är positiv och tvärsnittskrökningen för $h$ är icke-positiv, så innebär detta att $∆ e (f)$ är icke-negativ. Om $M$ är stängd visar multiplikation med $e (f)$ och en enkel integration med delar att $e (f)$ måste vara konstant, och därmed noll; därför måste $f själv vara konstant.$ Richard Schoen och Shing-Tung Yau noterade att detta resonemang kan utvidgas till icke-kompakt $M$ genom att använda Yaus teorem som hävdar att icke-negativa subharmoniska funktioner som är $L 2$ -gränsade måste vara konstanta. Sammanfattningsvis, enligt dessa resultat har man:

Låt $(M, g)$ och $(N, h)$ vara jämna och kompletta Riemannska grenrör, och låt f $vara$ en övertonskarta från $M$ till $N.$ Antag att Ricci-krökningen för $g$ är positiv och tvärsnittskrökningen av $h$ är icke-positiv.

Om $M$ och $N$ båda är stängda måste $f$ vara konstant.

Om $N$ är stängd och $f$ har ändlig Dirichlet-energi, måste den vara konstant.

I kombination med Eells−Sampsons sats visar detta (till exempel) att om $(M, g)$ är ett slutet Riemann-grenrör med positiv Ricci-krökning och ( $N, h) är$ ett slutet Riemann-grenrör med icke-positiv sektionskrökning, då är varje kontinuerlig kartan från $M$ till $N$ är homotopisk till en konstant.

Den allmänna idén att deformera en allmän karta till en övertonskarta, och sedan visa att varje sådan övertonskarta automatiskt måste vara av en mycket begränsad klass, har funnit många tillämpningar. Till exempel Yum-Tong Siu en viktig komplex-analytisk version av Bochner-formeln, och hävdade att en harmonisk karta mellan Kählers grenrör måste vara holomorf, förutsatt att målgrenröret har en lämplig negativ krökning. Som en tillämpning, genom att använda Eells−Sampsons existenssats för harmoniska kartor, kunde han visa att om $(M, g)$ och $(N, h)$ är släta och slutna Kähler-grenrör, och om krökningen av $(N ), h)$ är lämpligt negativ, då måste $M$ och $N$ vara biholomorfa eller anti-biholomorfa om de är homotopa med varandra; biholomorfismen (eller anti-biholomorfismen) är just den harmoniska kartan som produceras som gränsen för det harmoniska kartvärmeflödet med initiala data som ges av homotopin. Genom en alternativ formulering av samma tillvägagångssätt kunde Siu bevisa en variant av den fortfarande olösta Hodge-förmodan , om än i det begränsade sammanhanget med negativ krökning.

Kevin Corlette fann en betydande förlängning av Sius Bochner-formel och använde den för att bevisa nya stelheter för styvhet för gitter i vissa Lie-grupper . Efter detta $utvidgade (N , h)$ Mikhael Gromov och Richard Schoen mycket av teorin om harmoniska kartor för att tillåta att ersättas av ett metriskt utrymme . Genom en förlängning av Eells−Sampsons sats tillsammans med en förlängning av Siu–Corlette Bochners formel, kunde de bevisa nya styvhetssatser för gitter.

Problem och applikationer

Existensresultat på harmoniska kartor mellan grenrör har konsekvenser för deras krökning .
När väl existensen är känd, hur kan en harmonisk karta konstrueras explicit? (En fruktbar metod använder twistor-teori .)
Inom teoretisk fysik är en kvantfältteori vars verkan ges av Dirichlet-energin känd som en sigmamodell . I en sådan teori motsvarar harmoniska kartor instantons .
En av de ursprungliga idéerna i rutnätsgenereringsmetoder för beräkningsvätskedynamik och beräkningsfysik var att använda antingen konform eller harmonisk mappning för att generera vanliga rutnät.

Harmoniska kartor mellan metriska utrymmen

Energiintegralen kan formuleras i en svagare inställning för funktionerna u : M → N mellan två metriska utrymmen . Energiintegranden är istället en funktion av formen

e_{\epsilon }(u)(x)={\frac {\int _{M}d^{2}(u(x),u(y))\,d\mu _{x}^{\ epsilon }(y)}{\int _{M}d^{2}(x,y)\,d\mu _{x}^{\epsilon }(y)}}

där μ
^ε_x är en familj av mått kopplade till varje punkt i M .

Se även

Geometriskt flöde

Fotnoter

Artiklar

Chang, Kung-Ching; Ding, Wei Yue; Ja, Rugang (1992). "Endlig tidsprängning av värmeflödet av harmoniska kartor från ytor" . Journal of Differential Geometry . 36 (2): 507–515. doi : 10.4310/jdg/1214448751 . MR 1180392 . Zbl 0765.53026 .
Chen, Yun Mei; Struwe, Michael (1989). "Existens och partiell regelbundenhet resultat för värmeflödet för harmoniska kartor". Mathematische Zeitschrift . 201 (1): 83–103. doi : 10.1007/BF01161997 . MR 0990191 . S2CID 11210055 . Zbl 0652.58024 .
Corlette, Kevin (1992). "Arkimedisk superrigiditet och hyperbolisk geometri". Annals of Mathematics . Andra serien. 135 (1): 165–182. doi : 10.2307/2946567 . JSTOR 2946567 . MR 1147961 . Zbl 0768.53025 .
Ding, Weiyue; Tian, Gang (1995). "Energiidentitet för en klass av ungefärliga harmoniska kartor från ytor" . Kommunikationer i analys och geometri . 3 (3–4): 543–554. doi : 10.4310/CAG.1995.v3.n4.a1 . MR 1371209 . Zbl 0855.58016 .
Eells, James Jr .; Sampson, JH (1964). "Harmoniska kartläggningar av Riemannska grenrör". American Journal of Mathematics . 86 (1): 109–160. doi : 10.2307/2373037 . JSTOR 2373037 . MR 0164306 . Zbl 0122.40102 .
Gromov, Mikhail ; Schoen, Richard (1992). "Harmoniska mappar till singulära utrymmen och p-adisk superrigiditet för gitter i grupper av rang ett" . Publikationer Mathématiques de l'Institut des Hautes Études Scientifiques . 76 : 165–246. doi : 10.1007/bf02699433 . MR 1215595 . S2CID 118023776 . Zbl 0896.58024 .
Hartman, Philip (1967). "På homotopiska harmoniska kartor". Canadian Journal of Mathematics . 19 : 673-687. doi : 10.4153/cjm-1967-062-6 . MR 0214004 . S2CID 13381249 . Zbl 0148.42404 .
Jost, Jürgen (1994). "Jämviktskartor mellan metriska utrymmen". Variationskalkyl och partiella differentialekvationer . 2 (2): 173–204. doi : 10.1007/BF01191341 . MR 1385525 . S2CID 122184265 . Zbl 0798.58021 .
Sacks, J.; Uhlenbeck, K. (1981). "Förekomsten av minimala nedsänkningar av 2-sfärer". Annals of Mathematics . Andra serien. 113 (1): 1–24. doi : 10.2307/1971131 . JSTOR 1971131 . MR 0604040 . Zbl 0462.58014 .
Schoen, Richard ; Uhlenbeck, Karen (1982). "En regularitetsteori för harmoniska kartor" . Journal of Differential Geometry . 17 (2): 307–335. doi : 10.4310/jdg/1214436923 . MR 0664498 . Zbl 0521.58021 . (Erratum: doi : 10.4310/jdg/1214437667 )
Schoen, Richard ; Uhlenbeck, Karen (1983). "Boundary regularity and the Dirichlet problem for harmonic maps" . Journal of Differential Geometry . 18 (2): 253–268. doi : 10.4310/jdg/1214437663 . MR 0710054 . Zbl 0547.58020 .
Schoen, Richard ; Yau, Shing Tung (1976). "Harmoniska kartor och topologin hos stabila hyperytor och grenrör med icke-negativ Ricci-krökning". Commentarii Mathematici Helvetici . 51 (3): 333–341. doi : 10.1007/BF02568161 . MR 0438388 . S2CID 120845708 . Zbl 0361.53040 .
Siu, Yum Tong (1980). "Den komplexa analysen av harmoniska kartor och den starka styvheten hos kompakta Kähler-grenrör". Annals of Mathematics . Andra serien. 112 (1): 73–111. doi : 10.2307/1971321 . JSTOR 1971321 . MR 0584075 . Zbl 0517.53058 .
Struwe, Michael (1985). "Om utvecklingen av harmoniska kartläggningar av Riemannska ytor". Commentarii Mathematici Helvetici . 60 (4): 558–581. doi : 10.1007/BF02567432 . MR 0826871 . S2CID 122295509 . Zbl 0595.58013 .
Struwe, Michael (1988). "Om utvecklingen av harmoniska kartor i högre dimensioner" . Journal of Differential Geometry . 28 (3): 485–502. doi : 10.4310/jdg/1214442475 . MR 0965226 . Zbl 0631.58004 .

Böcker och undersökningar

Aubin, Thierry (1998). Några olinjära problem i Riemannsk geometri . Springer Monographs in Mathematics. Berlin: Springer-Verlag . doi : 10.1007/978-3-662-13006-3 . ISBN 3-540-60752-8 . MR 1636569 . Zbl 0896.53003 .
Eells, James ; Lemaire, Luc (1983). Utvalda ämnen i harmoniska kartor . CBMS Regional Conference Series in Mathematics. Vol. 50. Providence, RI: American Mathematical Society . doi : 10.1090/cbms/050 . ISBN 0-8218-0700-5 . MR 0703510 . Zbl 0515.58011 .
Eells, James ; Lemaire, Luc (1995). Två rapporter om harmoniska kartor . River Edge, NJ: World Scientific . doi : 10.1142/9789812832030 . ISBN 981-02-1466-9 . MR 1363513 . Zbl 0836.58012 . Består av nytryck av:
- Eells, J .; Lemaire, L. (1978). "En rapport om harmoniska kartor". Bulletin från London Mathematical Society . 10 (1): 1–68. doi : 10.1112/blms/10.1.1 . MR 0495450 . Zbl 0401.58003 .
- Eells, J .; Lemaire, L. (1988). "Ännu en rapport om harmoniska kartor". Bulletin från London Mathematical Society . 20 (5): 385–524. doi : 10.1112/blms/20.5.385 . MR 0956352 . Zbl 0669.58009 .
Giaquinta, Mariano ; Martinazzi, Luca (2012). En introduktion till regularitetsteorin för elliptiska system, harmoniska kartor och minimalgrafer . Apppunti. Scuola Normale Superiore di Pisa (Nuova Serie). Vol. 11 (andra upplagan av 2005 års originalupplaga). Pisa: Edizioni della Normale. doi : 10.1007/978-88-7642-443-4 . ISBN 978-88-7642-442-7 . MR 3099262 . Zbl 1262.35001 .
Hamilton, Richard S. (1975). Harmoniska kartor över grenrör med gräns . Föreläsningsanteckningar i matematik . Vol. 471. Berlin–New York: Springer-Verlag . doi : 10.1007/BFb0087227 . ISBN 978-3-540-07185-3 . MR 0482822 . Zbl 0308.35003 .
Hélein, Frédéric (2002). Harmoniska kartor, bevarandelagar och rörliga ramar . Cambridge Tracts in Mathematics. Vol. 150. Med ett förord av James Eells (andra upplagan av 1997 års originalupplaga). Cambridge: Cambridge University Press . doi : 10.1017/CBO9780511543036 . ISBN 0-521-81160-0 . Zbl 1010.58010 .
Jost, Jürgen (1997). Icke-positiv krökning: geometriska och analytiska aspekter . Föreläsningar i matematik ETH Zürich. Basel: Birkhäuser Verlag . doi : 10.1007/978-3-0348-8918-6 . ISBN 3-7643-5736-3 . MR 1451625 . Zbl 0896.53002 .
Jost, Jürgen (2017). Riemannsk geometri och geometrisk analys . Universitext (sjunde upplagan av 1995 års originalupplaga). Springer, Cham . doi : 10.1007/978-3-319-61860-9 . ISBN 978-3-319-61859-3 . MR 3726907 . Zbl 1380.53001 .
Lin, Fanghua ; Wang, Changyou (2008). Analysen av harmoniska kartor och deras värmeflöden . Hackensack, NJ: World Scientific . doi : 10.1142/9789812779533 . ISBN 978-981-277-952-6 . MR 2431658 . Zbl 1203.58004 .
Schoen, R .; Yau, ST (1997). Föreläsningar om harmoniska kartor . Konferenshandlingar och föreläsningsanteckningar i geometri och topologi. Vol. 2. Cambridge, MA: International Press. ISBN 1-57146-002-0 . MR 1474501 . Zbl 0886.53004 .
Simon, Leon (1996). Satser om regelbundenhet och singularitet av energiminimerande kartor . Föreläsningar i matematik ETH Zürich. Baserad på föreläsningsanteckningar av Norbert Hungerbühler. Basel: Birkhäuser Verlag . doi : 10.1007/978-3-0348-9193-6 . ISBN 3-7643-5397-X . MR 1399562 . Zbl 0864.58015 .
Yau, Shing Tung (1982). "Enkät om partiella differentialekvationer i differentialgeometri". I Yau, Shing-Tung (red.). Seminarium om differentialgeometri . Annals of Mathematics Studies. Vol. 102. Princeton, NJ: Princeton University Press . s. 3–71. doi : 10.1515/9781400881918-002 . ISBN 9781400881918 . MR 0645729 . Zbl 0478.53001 .

externa länkar