Metod för kontinuitet

I matematiken för Banach-utrymmen ger kontinuitetsmetoden tillräckliga förutsättningar för att härleda invertibiliteten för en avgränsad linjär operator från den för en annan , relaterad operator.

Formulering

Låt B vara ett Banachrum , V ett normerat vektorrum och $(L_{t})_{t\in [0,1]}$ en normkontinuerlig familj av avgränsade linjära operatorer från B till V . Antag att det finns en konstant C så att för varje $t\in [0,1]$ och varje $x\in B$

||x||_{B}\leq C||L_{t}(x)||_{V}.

Då är $L_{0}$ surjektiv om och endast om $L_{1}$ också är surjektiv.

Ansökningar

Kontinuitetsmetoden används i samband med a priori uppskattningar för att bevisa förekomsten av lämpligt regelbundna lösningar på elliptiska partiella differentialekvationer .

Bevis

Vi antar att $L_{0}$ är surjektiv och visar att $L_{1}$ också är surjektiv.

Om vi delar upp intervallet [0,1] kan vi anta att $||L_{0}-L_{1}||\leq 1/(3C)$ . Dessutom antyder surjektiviteten för $L_{0}$ att V är isomorf till B och därmed ett Banach-utrymme. Hypotesen antyder att $L_{1}(B)\subseteq V$ är ett slutet delrum.

Antag att $L_{1}(B)\subseteq V$ är ett korrekt delrum. Riesz lemma visar att det finns en $y\in V$ så att $||y||_{V}\leq 1$ och $\mathrm {dist} (y,L_{ 1}(B))>2/3$ . Nu är $y=L_{0}(x)$ för några $x\in B$ och $||x||_{B}\leq C||y||_{V}$ av hypotesen. Därför