Quillen metrisk

I matematik , och speciellt differentialgeometri , är Quillen -metriken ett mått på determinantlinjebunten för en familj av operatörer. Det introducerades av Daniel Quillen för vissa elliptiska operatörer över en Riemann-yta och generaliserades till högre dimensionella grenrör av Jean-Michel Bismut och Dan Freed .

Quillen-metriken användes av Quillen för att ge en differential-geometrisk tolkning av den rikliga linjebunten över modulutrymmet av vektorbuntar på en kompakt Riemann-yta , känd som Quillen-determinantlinjebunten . Det kan ses som en definition av Chern-Weil-representanten för den första Chern-klassen i denna omfattande linjebunt. Quillen-metriska konstruktionen och dess generaliseringar användes av Bismut och Freed för att beräkna holonomi för vissa determinantlinjebuntar av Dirac-operatorer , och denna holonomi är associerad med vissa anomaliupphävningar i Chern-Simons teori som förutspåtts av Edward Witten .

Quillen-måttet användes också av Simon Donaldson 1987 i ett nytt induktivt bevis på Hitchin-Kobayashi-korrespondensen för projektiva algebraiska grenrör, publicerad ett år efter upplösningen av korrespondensen av Shing-Tung Yau och Karen Uhlenbeck för godtyckliga kompakta Kähler-grenrör .

Determinant linjebunt av en familj av operatörer

Antag att $D_{t}$ är en familj av Fredholm-operatorer $D_{t}:V\to W$ mellan Hilbert-mellanrum , som varierar kontinuerligt med avseende på ${\ displaystyle t\in X}$ för något topologiskt utrymme $X$ . Eftersom var och en av dessa operatorer är Fredholm är kärnan och kokkärnan finita dimensionella. Det finns alltså uppdrag

$t\mapsto \ker D_{t},\quad t\mapsto {\text{coker}}D_{t}$

som definierar familjer av vektorrum över $X$ . Trots antagandet att operatorerna $D_{t}$ varierar kontinuerligt i $t$ , bildar dessa tilldelningar av vektorrum inte vektorbuntar över det topologiska rummet $X$ , eftersom dimensionen av kärnan och cokernel kan hoppa diskontinuerligt för en familj av differentialoperatorer. Emellertid är indexet för en differentialoperator, kärnans dimension subtraherad med dimensionen av kokkärnan, en invariant upp till kontinuerliga deformationer. Det vill säga uppdraget

$t\mapsto {\text{ind}}(D_{t}):=\dim \ker D_{t} -\dim {\text{coker}}D_{t}$

är en konstant funktion på $X$ . Eftersom det inte är möjligt att ta en skillnad på vektorbuntar, är det inte möjligt att kombinera familjerna av kärnor och cokernels av $D_{t}$ till en vektorbunt. I K-teorin för $X$ kan emellertid formella skillnader mellan vektorbuntar tas och associeras med familjen $D_{t}$ är ett element

${\text{ind}}(D_{t})=[t\mapsto \ker D_{t}-{\text{coker}}D_{t}]\in K(X).$

Detta virtuella indexpaket innehåller information om de analytiska egenskaperna hos familjen $D_{t}$ , och dess virtuella rang, skillnaden mellan dimensioner, kan beräknas med Atiyah–Singer-indexsatsen , förutsatt att operatorerna $D_{t}$ är elliptiska differentialoperatorer .

Även om det virtuella indexpaketet inte är ett äkta vektorpaket över parameterutrymmet ${\displaystyle X} ,$ är det möjligt att övergå till en äkta linjebunt konstruerad av ${\text{ind}} (D_{t})$ . För varje ${\displaystyle t} definieras$ determinantlinjen för $D_{t}:V\to W$ som det endimensionella vektorutrymmet

$\det D_{t}:=\left(\Lambda ^{\dim {\text{coker}}D_{t}}{\text{coker}}D_{t}\right)^{*} \otimes \Lambda ^{\dim \ker D_{t}}\ker D_{t}.$

Man definierar determinantlinjebunten för familjen $D_{t}$ som den fibervisa determinanten för det virtuella indexpaketet,

${\mathcal {L}}=\det {\text{ind}}(D_{t})$

som över varje $t\in X$ har fiber som ges av determinantlinjen $\det D_{t}$ . Denna äkta linjebunt över det topologiska rymden $X$ har samma första Chern-klass som den virtuella indexbunten, och detta kan beräknas från indexsatsen.

Quillen metrisk

Quillen-metriken introducerades av Quillen och är en hermitisk metrik på determinantlinjebunten för en viss familj av differentialoperatorer parametriserad av utrymmet av enhetliga anslutningar på en komplex vektorbunt över en kompakt Riemann-yta . I detta avsnitt skissas konstruktionen.

Givet en Fredholm-operator $D:V\to W$ mellan komplexa Hilbert-rum, erhåller man naturligt hermitiska inre produkter på de finita dimensionella vektorrymden $\ker D$ och ${\text{coker}}D$ av begränsning. Dessa kombineras för att ge en hermitisk inre produkt, $h$ , på determinantlinjen $\det D$ , ett endimensionellt komplext vektorrum. Men när man har en familj $D_{t}$ av sådana operatorer parametriserade av ett jämnt grenrör $X$ , tilldelningen $t\mapsto h_{t}$ av Hermitiska inre produkter på varje fiber i determinantlinjebunten ${\mathcal {L}}$ definierar inte en jämn hermitisk metrik. I den här inställningen måste man se till att linjebunten ${\mathcal {L}}$ faktiskt är en jämn linjebunt , och Quillen visade att man kan konstruera en smidig trivialisering av ${ \mathcal {L}}$ .

Den naturliga hermitiska metriken $h_{t}$ kan utveckla singulära beteenden närhelst egenvärdena $\lambda$ för de laplaciska operatorerna $D_{t}^{*}D_{ t}$ korsar eller blir lika, kombinerar mindre egenrum till större egenrum. För att ta bort detta singulära beteende måste man regularisera den hermitiska metriken $h$ genom att multiplicera med en oändlig determinant

$\Pi \lambda =\exp(-\zeta '(0))$

där $\zeta (s)$ är zetafunktionsoperatorn för den laplaciska ${\displaystyle D_{t}^{*}D_{t}} ,$ definierad av som den meromorfa fortsättningen till $s=0$ av

$\zeta (s)=\summa _{\lambda }\lambda ^{-s}$

som definieras för ${\text{Re}}(s)>1$ . Denna zeta-funktion och oändliga determinant är intimt relaterad till den analytiska vridningen av Laplacian $D_{t}^{*}D_{t}$ . I den allmänna miljön som studerats av Bismut och Freed, måste viss försiktighet tas i definitionen av denna oändliga determinant, som definieras i termer av ett superspår .

Quillen betraktade det affina utrymmet ${\mathcal {A}}$ av enhetliga anslutningar på en jämn komplex vektorbunt $E\to \Sigma$ över en kompakt Riemann-yta, och familjen av differentialoperatorer ${\bar {\partial }}_{A}:L_{1}^{2}(E)\to L^{2}(\Omega ^{0,1}(E))$ , Dolbeault-operatorerna för Chern-anslutningarna $A\in {\mathcal {A}}$ , som verkar mellan Sobolev-mellanrum på sektioner av $E$ , som är Hilbert-mellanslag. Varje operator ${\bar {\partial }}_{A}$ är elliptisk, och därför består kärnan av eliptisk regelbundenhet av jämna sektioner av $E$ . Verkligen $\ker {\bar {\partial }}_{A}$ består av de holomorfa sektionerna av $E$ med avseende på den holomorfa strukturen inducerad av Dolbeault-operatorn ${\bar {\partial}}_{A}$ . Quillens konstruktion producerar ett mått på determinantlinjebunten för denna familj, ${\displaystyle {\mathcal {L}}\to {\mathcal {A}}} ,$ och Quillen visade att krökningsformen för Chern-förbindelsen associerad till Quillen-metriken ges av Atiyah–Botts symplektiska form om utrymmet för enhetliga anslutningar, som tidigare upptäckts av Michael Atiyah och Raoul Bott i deras studie av Yang–Mills ekvationer över Riemanns ytor.

Krökning

Förknippad med Quillen-metriken och dess generaliserade konstruktion av Bismut och Freed är en enhetlig anslutning , och till denna enhetliga anslutning är associerad dess krökningsform . Den associerade kohomologiklassen för denna krökningsform förutsägs av familjens version av Atiyah-Singer indexsatsen , och överensstämmelsen mellan denna förutsägelse och krökningsformen bevisades av Bismut och Freed. I inställningen av Riemann-ytor som studerats av Quillen, visas denna krökning ges av

$\Omega _{A}(a,b)=\int _{\Sigma }{\text{trace}}(a\wedge b )$

där $A\in {\mathcal {A}}$ är en enhetlig anslutning och $a,b\in \Omega ^{1}( {\text{End}}(E))$ är tangentvektorer till ${\mathcal {A}}$ vid $A$ . Denna symboliska form är den Atiyah–Bott symplektiska formen som först upptäcktes av Atiyah och Bott. Med hjälp av denna symplektiska form visade Atiyah och Bott att Narasimhan-Seshadri-satsen kunde tolkas som en oändligt dimensionell version av Kempf-Ness-satsen från geometrisk invariantteori, och i denna miljö spelar Quillen-metriken rollen som Kähler-metriken som gör det möjligt att ta den symboliska reduktionen av ${\displaystyle {\mathcal {A}}} .$

I Donaldsons nya bevis på Hitchin-Kobayashi-korrespondensen för projektiva algebraiska grenrör, förklarade han hur man konstruerar en determinantlinjebunt över utrymmet av enhetliga anslutningar på ett vektorknippe över ett godtyckligt algebraiskt grenrör som har den högre dimensionella Atiyah-Bott sympletiska formen som dess krökning:

$\Omega _{A}(a,b)=\int _{M}{\text{spår}}( a\wedge b)\wedge \omega ^{n-1}$

där $(M,\omega )$ är ett projektivt algebraiskt grenrör. Denna konstruktion användes av Donaldson i ett induktivt bevis på korrespondensen.

Generaliseringar och alternativa föreställningar

Quillen-metriken beaktas främst i studiet av holomorfa vektorbuntar över Riemann-ytor eller högre dimensionella komplexa grenrör , och i Bismut och Freeds generalisering till studiet av familjer av elliptiska operatorer. I studiet av modulrum av algebraiska varianter och komplexa grenrör är det möjligt att konstruera determinantlinjebuntar på utrymmet av nästan komplexa strukturer på ett fast jämnt grenrör $(M,\omega )$ som inducera en Kähler-struktur med formen $\omega$ . Precis som Quillen-måttet för vektorbuntar var relaterat till stabiliteten hos vektorbuntar i arbetet av Atiyah och Bott och Donaldson, kan man relatera Quillen-metriken för determinantbunten för grenrör till stabilitetsteorin för grenrör. Faktum är att den K-energifunktion som definieras av Toshiki Mabuchi , som har kritiska punkter givna av Kähler-mått med konstant skalär krökning, kan tolkas som log-normen för en Quillen-metrik på utrymmet för Kähler-mått.