Lefschetz sats om (1,1)-klasser

Inom algebraisk geometri , en gren av matematiken , är Lefschetz-satsen om (1,1)-klasser , uppkallad efter Solomon Lefschetz , ett klassiskt uttalande som relaterar holomorfa linjebuntar på ett kompakt Kähler-grenrör till klasser i dess integrerade kohomologi . Det är det enda fallet av Hodge-förmodan som har bevisats för alla Kählers grenrör.

Uttalande av satsen

Låt X vara ett kompakt Kähler-grenrör. Den första Chern-klassen c _{1 ger en karta från} H ² ( X , Z ) holomorfa linjebuntar till . Enligt Hodge-teori bryts de Rham- kohomologigruppen H ² ( X , C ) ned som en direkt summa H ^0,2 ( X ) ⊕ H ^1,1 ( X ) ⊕ H ^2,0 ( X ) , och det kan bevisas att bilden av c ₁ ligger i H ^1,1 ( X ). Satsen säger att kartan till H ² ( X , Z ) ∩ H ^1,1 ( X ) är surjektiv.

I det speciella fallet där X är en projektiv varietet är holomorfa linjebuntar i bijektion med linjär ekvivalensklass av divisorer , och givet en divisor D på X med tillhörande linjebunt O(D) , klassen c ₁ ( O(D) ) är Poincaré dubbel till homologiklassen som ges av D . Detta etablerar alltså den vanliga formuleringen av Hodge-förmodan för divisorer i projektiva varianter.

Bevis med normala funktioner

Lefschetz originalbevis arbetade på projektiva ytor och använde normala funktioner, som introducerades av Poincaré. Antag att C _t är en penna med kurvor på X . Var och en av dessa kurvor har en jakobiansk variant JC _t (om en kurva är singular finns det en lämplig generaliserad jakobiansk variant). Dessa kan sättas ihop till en familj ${\displaystyle {\mathcal {J}}} ,$ blyertspennans Jacobian, som kommer med en projektionskarta π till pennans bas T. En normal funktion är ett (holomorft) avsnitt av π.

₀ Fixa en inbäddning av X i P ^N och välj en penna med kurvorna C _t på X . För en fast kurva Γ på X är skärningspunkten mellan Γ och C _t en divisor p ₁ ( t ) + ... + p _d ( t ) på C _t , där d är graden av X . Fixa en baspunkt p på pennan. Sedan delaren sid ₁ ( t ) + ... + p _d ( t ) − dp ₀ är en divisor av grad noll, och följaktligen bestämmer den en klass ν _Γ ( t ) i Jacobian JC _t för alla t . Kartan från t till ν _Γ ( t ) är en normal funktion.

Henri Poincaré bevisade att för en allmän penna av kurvor uppstod alla normala funktioner som ν _Γ ( t ) för något val av Γ. Lefschetz bevisade att vilken normal funktion som helst bestämde en klass i H ² ( X , Z ) och att klassen av ν _Γ är den fundamentala klassen av Γ. Dessutom bevisade han att en klass i H ² ( X , Z ) är klassen för en normal funktion om och endast om den ligger i H ^1,1 . Tillsammans med Poincarés existenssats bevisar detta satsen om (1,1)-klasser.

Bevis med kärvekohomologi

Eftersom X är ett komplext mångfald, medger det en exponentiell buntsekvens

$0\to {\underline {\mathbf {Z} }}{\stackrel {2\pi i}{\longrightarrow }}{\ mathcal {O}}_{X}{\stackrel {\operatörsnamn {exp} }{\longrightarrow }}{\mathcal {O}}_{X}^{\times }\to 0.$

Att ta kärvekohomologi av denna exakta sekvens ger kartor

$H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{\times }){\stackrel {c_{1}}{\to }}H^{2}(X, \mathbf {Z} ){\stackrel {i_{*}}{\to }}H^{2}(X,{\mathcal {O}}_{X}).$

Gruppen Pic X för linjebuntar på X är isomorf till $H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{\times })$ . Den första Chern-klasskartan är per definition c _{1 , så det räcker för att visa att} i _* är noll.

Eftersom X är Kähler, innebär Hodge-teorin att $H^{2}(X,{\mathcal {O}}_{X})\cong H ^{0,2}(X)$ . Men i _* faktorer genom kartan från H ² ( X , Z ) till H ² ( X , C ) och på H ² ( X , C ), i _* är begränsningen av projektionen på H ^0,2 ( X ). Det följer att den är noll på H ² ( X , Z ) ∩ H ^1,1 ( X ) , och följaktligen att cykelklasskartan är surjektiv.

Bibliografi

•    Griffiths, Phillip ; Harris, Joseph (1994), Principles of algebraic geometry , Wiley Classics Library, New York: John Wiley & Sons , doi : 10.1002/9781118032527 , ISBN 978-0-471-05059-9 , MR 3288522
• Lefschetz, Solomon (1924), L'Analysis situs et la géométrie algébrique , Collection de Monographies publiée sous la Direction de M. Émile Borel (på franska), Paris: Gauthier-Villars Reprinted in    Lefschetz, Solomon (1971), Selected papers , New York: Chelsea Publishing Co., ISBN 978-0-8284-0234-7 , MR 0299447