Hopp yta

I komplex geometri är en Hopf-yta en $\mathbb {C} ^{2}\setminus \{0\}$ komplex yta som erhålls som en kvot av det komplexa vektorrummet (med noll raderad) genom en fri handling av en diskret grupp. Om denna grupp är heltal kallas Hopf-ytan primär , annars kallas den sekundär . (Vissa författare använder termen "Hopf-yta" för att betyda "primär Hopf-yta".) Det första exemplet hittades av Heinz Hopf ( 1948 ), med den diskreta gruppen isomorf till heltalen, med en generator som verkar på $\mathbb {C} ^{2}$ genom multiplikation med 2; detta var det första exemplet på en kompakt komplex yta utan Kähler-metrik .

Högdimensionella analoger av Hopf-ytor kallas Hopf-grenrör .

Invarianter

Hopf-ytor är ytor av klass VII och i synnerhet har alla Kodaira-dimension $-\infty$ , och alla deras plurigenera försvinner. Det geometriska släktet är 0. Grundgruppen har en normal central oändlig cyklisk undergrupp av finita index. Hodge -diamanten är det

0		0		0
		1
	0		1
	1		0
		1

I synnerhet är det första Betti-talet 1 och det andra Betti-talet är 0. Omvänt visade Kunihiko Kodaira ( 1968 ) att en kompakt komplex yta med försvinnande det andra Betti-talet och vars fundamentala grupp innehåller en oändlig cyklisk undergrupp av finita index är en Hopf-yta .

Primära Hopf-ytor

Under klassificeringen av kompakta komplexa ytor klassificerade Kodaira de primära Hopf-ytorna.

En primär Hopf-yta erhålls som

$H={\Big (}\mathbb {C} ^{2}\setminus \{0\}{\Big )}/\Gamma ,$

där $\Gamma$ är en grupp genererad av en polynomkontraktion $\gamma$ . Kodaira har hittat en normal form för $\gamma$ . I lämpliga koordinater $\gamma$ skrivas som

$(x,y)\mapsto (\alpha x+\lambda y^{n},\beta y)$

där $\alpha ,\beta \in \mathbb {C}$ är komplexa tal som uppfyller $0<|\alpha |\leq |\beta |<1$ , och antingen $\lambda =0$ eller $\alpha =\beta ^{n}$ .

Dessa ytor innehåller en elliptisk kurva (bilden av x -axeln) och om ${\displaystyle \lambda =0} är$ bilden av y -axeln en andra elliptisk kurva. När $\lambda =0$ är Hopf-ytan ett elliptiskt fiberutrymme över den projektiva linjen om $\alpha ^{m}=\beta ^{n}$ för något positivt heltal m och n , med kartan till den projektiva linjen ges av ${\displaystyle (x,y)\mapsto x^{m}y^{-n}} ,$ och annars de enda kurvorna är de två bilderna av axlarna.

Picard -gruppen för en primär Hopf-yta är isomorf till de komplexa talen som inte är noll $\mathbb {C} ^{*}$ .

Kodaira (1966b) har bevisat att en komplex yta är diffeomorf till $S^{3}\times S^{1}$ om och endast om det är en primär Hopf-yta.

Sekundära Hopf-ytor

Varje sekundär Hopf-yta har ett ändligt oförgrenat hölje som är en primär Hopf-yta. På motsvarande sätt har dess fundamentala grupp en undergrupp av ändligt index i sitt centrum som är isomorft mot heltalen. Masahido Kato ( 1975 ) klassificerade dem genom att hitta de ändliga grupperna som verkar utan fixpunkter på primära Hopf-ytor.

Många exempel på sekundära Hopf-ytor kan konstrueras med underliggande utrymme en produkt av ett sfäriskt utrymme och en cirkel.

•    Barth, Wolf P.; Hulek, Klaus; Peters, Chris AM; Van de Ven, Antonius (2004), Compact Complex Surfaces , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge., vol. 4, Springer-Verlag, Berlin, doi : 10.1007/978-3-642-57739-0 , ISBN 978-3-540-00832-3 , MR 2030225
•   Hopf, Heinz (1948), "Zur Topologie der komplexen Mannigfaltigkeiten", Studies and Essays Presented to R. Courant on his 60th Birthday, 8 januari 1948, Interscience Publishers, Inc., New York, s. 167–185, MR 0023054
•   Kato, Masahide (1975), "Topology of Hopf surfaces", Journal of the Mathematical Society of Japan , 27 (2): 222–238, doi : 10.2969/jmsj/02720222 , ISSN 0025-5645 , 0402 , MR 8 Kato211   Masahide    1989), "Erratum to: "Topology of Hopf surfaces" ", Journal of the Mathematical Society of Japan , 41 (1): 173–174, doi : 10.2969/jmsj/04110173 , ISSN 0025-5645 , MR 0974
•     Kodaira, Kunihiko (1966), "Om strukturen av kompakta komplexa analytiska ytor. II", American Journal of Mathematics , The Johns Hopkins University Press, 88 (3): 682–721, doi : 10.2307/2373150 , ISSN 0002-9327 , JSTOR 2373150 , MR 0205280
•     Kodaira, Kunihiko (1968), "Om strukturen av kompakta komplexa analytiska ytor. III", American Journal of Mathematics , The Johns Hopkins University Press, 90 (1): 55–83, doi : 10.2307/2373426 , ISSN 0002-9327 , JSTOR 2373426 , MR 0228019
•      Kodaira, Kunihiko (1966b), "Complex structures on S ¹ ×S ³ " , Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America , 55 ( 2): 240–243, doi : 10.1073/pnas.55.2.240 , ISSN 0027-8424 , MR 0196769 , PMC 224129 , PMID 16591329
•    Matumoto, Takao; Nakagawa, Noriaki (2000), "Explicit description of Hopf-ytor och deras automorfismgrupper", Osaka Journal of Mathematics , 37 (2): 417–424, ISSN 0030-6126 , MR 1772841
• Ornea, Liviu (2001) [1994], "Hopf manifold" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press