Periodkartläggning

Inom matematiken , inom området algebraisk geometri , relaterar periodkartläggningen familjer av Kählers grenrör till familjer av Hodge- strukturer .

Ehresmanns teorem

Huvudartikel: Ehresmanns teorem

Låt f : X → B vara en holomorf submersiv morfism. För en punkt b i B betecknar vi fibern för f över b med X _b . Fixa en punkt 0 i B . Ehresmanns teorem garanterar att det finns ett litet öppet kvarter U runt 0 där f blir ett fiberknippe . Det vill säga f ⁻¹ ( U ) är diffeomorf till ₀ X × U . I synnerhet den sammansatta kartan

$X_{b}\hookrightarrow f^{-1}(U)\cong X_{0}\times U\twoheadrightarrow X_{0}$

är en diffeomorfism. Denna diffeomorfism är inte unik eftersom den beror på valet av trivialisering. Trivialiseringen är konstruerad från jämna banor i U , och det kan visas att homotopiklassen för diffeomorfismen endast beror på valet av en homotopiklass av banor från b till 0. I synnerhet, om U är sammandragbar, finns det en brunn -definierad diffeomorfism upp till homotopi.

₀ Diffeomorfismen från Xb till X inducerar en isomorfism _av kohomologigrupper

$H^{k}(X_{b },\mathbf {Z} )\cong H^{k}(X_{b}\ gånger U,\mathbf {Z} )\cong H^{k}(X_{0}\ gånger U,\mathbf {Z } )\cong H^{k}(X_{0},\mathbf {Z} ),$

och eftersom homotopiska kartor inducerar identiska kartor på kohomologi, beror denna isomorfism endast på homotopiklassen för vägen från b till 0.

Lokala opolariserade periodkartläggningar

₀₀₀₀ Antag att f är korrekt och att X är en Kählersort. Kähler-tillståndet är öppet, så efter eventuellt krympning av U är X _b kompakt och Kähler för alla b i U . Efter att ha krympt U ytterligare kan vi anta att den är sammandragbar. Sedan finns det en väldefinierad isomorfism mellan kohomologigrupperna X och Xb _{. Dessa isomorfismer} av kohomologigrupper kommer i allmänhet inte att bevara Hodge-strukturerna för X och Xb eftersom de induceras av diffeomorfismer, inte biholomorfismer. Låt F ^p H ^k ( X _b , C ) beteckna det p :te steget av Hodge-filtreringen . Hodge-talen för X _b är desamma som för X , så talet b _{p , k} = dim F ^p H ^k ( X _b , C ) är oberoende av b . Periodkartan är kartan

${\mathcal {P}}:U\högerpil F=F_{b_{1, k},\ldots ,b_{k,k}}(H^{k}(X_{0},\mathbf {C} )),$

där F är flaggvarianten av kedjor av delrum med dimensionerna b _{p , k} för alla p , som sänder

$b\mapsto (F^{p}H^{k}(X_{b},\mathbf {C} ))_{p}.$

Eftersom X _b är ett Kähler-grenrör tillfredsställer Hodge-filtreringen Hodge-Riemanns bilinjära relationer . Dessa antyder det

$H^{k}(X_{b},\mathbf {C} )=F^{p}H^{k}(X_{b},\mathbf {C} )\oplus {\overline {F ^{k-p+1}H^{k}(X_{b},\mathbf {C} )}}.$

Inte alla flaggor för delutrymmen uppfyller detta villkor. Delmängden av flaggvarianten som uppfyller detta villkor kallas den opolariserade lokala perioddomänen och betecknas ${\mathcal {D}}$ . ${\mathcal {D}}$ är en öppen delmängd av flaggvarianten F .

Lokala polariserade periodkartläggningar

Antag nu inte bara att varje X _b är Kähler, utan att det finns en Kähler-klass som varierar holomorft i b . Med andra ord, antag att det finns en klass ω i H ² ( X , Z ) så att för varje b är begränsningen ω _b av ω till X _b en Kähler-klass. ω _b bestämmer en bilinjär form Q på H ^k ( X _b , C ) av regeln

$Q(\xi ,\eta )=\int \omega _{b}^{nk}\wedge \xi \wedge \eta .$

Denna form varierar holomorft i b , och följaktligen uppfyller bilden av periodkartläggningen ytterligare begränsningar som återigen kommer från Hodge-Riemann bilinjära relationer. Dessa är:

1. Ortogonalitet : F ^p H ^k ( X _b , C ) är ortogonal mot F ^{k − p + 1} H ^k ( X _b , C ) med avseende på Q .
2. Positiv definititet : För alla p + q = k , begränsningen av $\textstyle (-1)^{k(k-1)/2 }i^{pq}Q$ till de primitiva klasserna av typ ( p , q ) är positivt definitivt.

Den polariserade lokala perioddomänen är delmängden av den opolariserade lokala perioddomänen vars flaggor uppfyller dessa ytterligare villkor. Det första tillståndet är ett slutet tillstånd och det andra är ett öppet tillstånd, och följaktligen är den polariserade lokala perioddomänen en lokalt sluten delmängd av den opolariserade lokala perioddomänen och av flaggvarianten F. Periodkartläggningen definieras på samma sätt som tidigare.

Den polariserade lokala perioddomänen och den polariserade periodmappningen betecknas fortfarande ${\mathcal {D}}$ respektive ${\mathcal {P}}$ .

Globala periodkartläggningar

finns i topologin för basutrymmet B. De globala periodmappningarna är konstruerade så att denna information fortfarande är tillgänglig. Svårigheten med att konstruera globala periodavbildningar kommer från Xb _monodromin av B : Det finns inte längre en unik homotopiklass av diffeomorfismer som relaterar till fibrerna och X. ₀ Istället inducerar distinkta homotopiklasser av banor i B möjligen distinkta homotopiklasser av diffeomorfismer och därför möjligen distinkta isomorfismer av kohomologigrupper. Följaktligen finns det inte längre en väldefinierad flagga för varje fiber. Istället definieras flaggan endast upp till den grundläggande gruppens verkan.

₀ I det opolariserade fallet, definiera monodromigruppen Γ som undergruppen av GL( H ^k ( X , Z )) som består av alla automorfismer inducerade av en homotopiklass av kurvor i B enligt ovan. Flaggvarianten är en kvot av en Lie-grupp med en parabolisk undergrupp, och monodromigruppen är en aritmetisk undergrupp av Lie-gruppen. Den globala opolariserade perioddomänen är kvoten av den lokala opolariserade perioddomänen genom verkan av Γ (det är alltså en samling av dubbla cosets ). I det polariserade fallet krävs att elementen i monodromigruppen också bevarar den bilinjära formen Q , och den globala polariserade perioddomänen konstrueras som en kvot av Γ på samma sätt. I båda fallen tar periodmappningen en punkt av B till klassen för Hodge-filtreringen _på Xb .

Egenskaper

Griffiths bevisade att periodkartan är holomorf. Hans transversalitetssats begränsar periodkartans räckvidd.

Periodmatriser

₀ Hodge-filtreringen kan uttryckas i koordinater med hjälp av periodmatriser. Välj en bas δ ₁ , ..., δ _r för den vridningsfria delen av den k : te integralhomologigruppen H _k ( X , Z ) . Fixera p och q med p + q = k och välj en bas ω ₁ , ..., ω _s för de harmoniska formerna av typen ( p , q ) . Periodmatrisen för X med avseende på dessa baser är matrisen

$\Omega ={\Big (}\int _{\delta _{i}}\omega _{j}{\Big )}_{1\leq i\leq r,1\leq j\leq s }.$

Inmatningarna av periodmatrisen beror på valet av underlag och på den komplexa strukturen. δs kan varieras genom ett val av en matris Λ i SL( r , Z ) och ωs kan varieras genom ett val av en matris A i GL( s , C ) . En periodmatris är ekvivalent med Ω om den kan skrivas som A ΩΛ för något val av A och Λ.

Fallet med elliptiska kurvor

Tänk på familjen av elliptiska kurvor

$y^{2}=x(x-1)(x-\lambda )$

⁰⁰ där λ är ett komplext tal som inte är lika med noll eller ett. Hodge-filtreringen på den första kohomologigruppen i en kurva har två steg, F och F ¹ . F är dock hela kohomologigruppen, så den enda intressanta termen för filtreringen är F ¹ , som är H ^1,0 , utrymmet för holomorfa harmoniska 1-former.

H ^1,0 är endimensionell eftersom kurvan är elliptisk, och för alla λ spänns den av differentialformen ω = dx / y . För att hitta explicita representanter för kurvans homologigrupp, observera att kurvan kan representeras som grafen för den flervärdiga funktionen

$y={\sqrt {x(x-1)(x-\lambda )}}$

på Riemanns sfär . Grenpunkterna för denna funktion är noll, ett, λ och oändlighet. Gör två grensnitt, en går från noll till en och den andra går från λ till oändlighet. Dessa tar ut grenpunkterna för funktionen, så de skär den flervärdiga funktionen i två ark med enstaka värden. Fixa ett litet ε > 0 . På ett av dessa ark, spåra kurvan γ( t ) = 1/2 + (1/2 + ε)exp(2π it ) . För ε tillräckligt liten omger denna kurva grensnittet [0, 1] och möter inte grensnittet [λ, ∞] . Spåra nu en annan kurva δ( t ) som börjar i ett ark som δ( t ) = 1 + 2(λ − 1)t för 0 ≤ t ≤ 1/2 och fortsätter i det andra arket som δ( t ) = λ + 2(1 − λ)(t − 1/2) för 1/2 ≤ t ≤ 1 . Varje halva av denna kurva förbinder punkterna 1 och λ på de två arken på Riemannytan. Från Seifert–van Kampens sats är kurvans homologigrupp fri från rang två. Eftersom kurvorna möts i en enda punkt, 1 + ε , är ingen av deras homologiklasser en riktig multipel av någon annan homologiklass, och de utgör därför en bas för H ₁ . Periodmatrisen för denna familj är därför

${\begin{pmatrix}\int _{\gamma }\omega \\\int _{\delta}\omega \end{pmatrix}}.$

Den första posten i denna matris kommer vi att förkorta som A , och den andra som B .

Den bilinjära formen √ −1 Q är positiv definitiv eftersom vi lokalt alltid kan skriva ω som f dz , därför

${\sqrt {-1}}\int _{X_{0}}\omega \wedge {\bar {\omega }}={\sqrt {-1} }\int _{X_{0}}|f|^{2}\,dz\wedge d{\bar {z}}>0.$

₀ Med H ¹ ( X , Z ) Poincaré-dualitet motsvarar γ och δ kohomologiklasserna γ ^* och δ ^* som tillsammans är en grund för . Det följer att ω kan skrivas som en linjär kombination av γ ^* och δ ^* . Koefficienterna ges genom att utvärdera ω med avseende på de dubbla baselementen γ och δ:

$\omega =A\gamma ^{*}+B\delta ^{*}.$

När vi skriver om den positiva definititeten av Q i dessa termer har vi det

$-\rdisplay {-\r }\int _{X_{0}}A{\bar {B}}\gamma ^{*}\wedge {\bar {\delta }}^{*}+{\bar {A}}B{\bar {\gamma }}^{*}\wedge \delta ^{*}=\int _{X_{0}}\operatörsnamn {Im} \,(2{\bar {A}}B{\bar {\gamma }}^{*}\wedge \delta ^{*})>0}$

₀₀ Eftersom γ ^* och δ ^* är integral, ändras de inte under konjugering. Dessutom, eftersom γ och δ skär varandra i en enda punkt och en enda punkt är en generator av H , är koppprodukten av γ ^* och δ ^* den grundläggande klassen av X . Följaktligen är denna integral lika med $\operatorname {Im} \,2{\bar {A}}B$ . Integralen är strikt positiv, så varken A eller B kan vara noll.

Efter omskalning av ω kan vi anta att periodmatrisen är lika med (1 τ) för något komplext tal τ med en strikt positiv imaginär del. Detta tar bort tvetydigheten som kommer från GL(1, C ) -åtgärden. Verkan av SL(2, Z ) är då den vanliga verkan av modulgruppen på det övre halvplanet. Följaktligen är perioddomänen Riemann-sfären . Detta är den vanliga parametriseringen av en elliptisk kurva som ett gitter.

Se även

• Hodge teori
• Jacobian sort
• Modulär grupp

Beräkningar

• Explicit beräkning av periodmatriser för kurvor av formen $x^{m}+y^{n}=1$ - inkluderar exempel
• Explicit beräkning av periodmatriser för hyperelliptiska kurvor - inkluderar exempel
• Algoritm för att beräkna perioder av hyperytor

Allmän

• Voisin, Hodge Theory and Complex Algebraic Geometry I, II

Ansökningar

• Shimura kurvor inom platsen för hyperelliptiska Jacobians i släkte tre

externa länkar

• Periodkartläggning i Encyclopedia of Mathematics