Cap produkt

I algebraisk topologi är cap-produkten en metod för att förbinda en kedja av grad p med en samkedja av grad q , så att q ≤ p , för att bilda en sammansatt kedja av grad p − q . Den introducerades av Eduard Čech 1936 och oberoende av Hassler Whitney 1938.

Definition

Låt X vara ett topologiskt rum och R en koefficientring. Cap-produkten är en bilinjär karta över singular homologi och kohomologi

$\frown \;:H_{p}(X;R)\ gånger H^{q}(X;R)\högerpil H_{pq}(X;R).$

definieras genom att dra ihop en singular kedja $\sigma :\Delta \ ^{p}\rightarrow \ X$ med en singularis cochain $\psi \ i C^{q}(X;R),$ med formeln:

$\sigma \frown \psi =\psi (\sigma |_{[v_{0},\ldots ,v_{q}]})\sigma |_{[v_{q},\ldots ,v_{ p}]}.$

Här är notationen $\sigma |_{[v_{0},\ldots ,v_{q}]}$ indikerar begränsningen av den förenklade kartan $\sigma$ till dess spännvidd av basens vektorer, se Simplex .

Tolkning

I analogi med tolkningen av koppprodukten i termer av Künneth-formeln kan vi förklara existensen av lockprodukten på följande sätt. Med CW approximation kan vi anta att $X$ är ett CW-komplex och $C_{\bullet }(X)$ (och $C^{\ bullet }(X)$ ) är komplexet av dess cellulära kedjor (eller samkedjor, respektive). Tänk sedan på sammansättningen

$${\\display bullet }(X)\otimes C^{\bullet}(X){\overset {\Delta _{*}\otimes \mathrm {Id} }{\longrightarrow }}C_{\bullet}(X)\otimes C_ {\bullet }(X)\otimes C^{\bullet }(X){\overset {\mathrm {Id} \otimes \varepsilon }{\longrightarrow }}C_{\bullet }(X)}$$

där vi tar tensorprodukter av kedjekomplex , $\Delta \colon X\to X\times X$ är den diagonala kartan som inducerar kartan

$$\Delta _{*}\colon C_{\bullet }(X)\to C_ {\bullet }(X\times X)\cong C_{\bullet }(X)\otimes C_{\bullet}(X)$$

på kedjekomplexet, och $\varepsilon \colon C_{p}(X)\otillfällen C^{q}(X)\to \mathbb { Z}$ är utvärderingskartan (alltid 0 förutom $p=q$ ).

Denna sammansättning övergår sedan till kvoten för att definiera cap-produkten $\frown \colon H_{\bullet }(X)\ gånger H^ {\bullet }(X)\to H_{\bullet }(X)$ , och tittar noga på ovanstående sammansättning visar att den verkligen har formen av kartor ${\displaystyle \frown \colon H_{p}(X)\ gånger H^{q}(X)\till H_{pq}(X)} , som alltid är noll$ för ${ \displaystyle p<q}$ .

Relation med Poincaré-dualitet

För ett slutet orienterbart n-grenrör M kan vi definiera dess grundläggande klass $[M]$ som en generator av $H_{n}(M)$ , och sedan locket produktkarta

$$H^{k}(M)\to H_{nk}(M),\alpha \to [M]\ cap \alpha$$

ger Poincaré dualitet. Detta gäller även för (ko)homologi med koefficient i någon annan ring $R$ .

Den sneda produkten

Om man i diskussionen ovan ersätter $X\times X$ med $X\times Y$ , kan konstruktionen (delvis) replikeras med utgångspunkt från mappningarna

$$C_({\bullet } X\ gånger Y)\ ibland C^{\bullet }(Y)\cong C_{\bullet }(X)\ibland C_{\bullet }(Y)\ibland C^{\bullet }(Y){\översatt {\mathrm {Id} \otimes \varepsilon }{\longrightarrow }}C_{\bullet }(X)$$

och

$$C^{\bullet } (X\ gånger Y)\ ibland C_{\bullet }(Y)\cong C^{\bullet }(X)\otillfällen C^{\bullet }(Y)\ibland C_{\bullet }(Y){\ översatt {\mathrm {Id} \otimes \varepsilon }{\longrightarrow }}C^{\bullet }(X)$$

för att få, respektive, lutande produkter $/$ :

$$H_{p}(X\ gånger Y;R)\otimes H^{q}( Y;R)\rightarrow H_{pq}(X;R)$$

och

$$H^{p}(X\x Y;R)\otimes H_{q}(Y;R)\rightarrow H^{pq}(X;R).$$

I fallet X = Y , är den första relaterad till lockprodukten genom diagonalkartan: $\Delta _{*}(a)/\phi =a\frown \phi$ .

Dessa "produkter" är på något sätt mer som division än multiplikation, vilket återspeglas i deras notation.

Ekvationer

Gränsen för en lockprodukt ges av:

$\partial (\sigma \frown \psi )=(-1)^{q}(\partial \sigma \frown \psi -\sigma \frown \delta \psi ).$

Givet en karta där de inducerade kartorna uppfyller:

$f_{*}(\sigma )\frown \psi =f_{*}(\sigma \frown f^{*}(\psi)).$

Keps- och koppprodukten är relaterade till:

$\psi (\sigma \frown \varphi )=(\varphi \smile \psi )(\sigma )$

var

$\sigma :\Delta ^{p+q}\högerpil X$ , $R$${\displaystyle \psi \in C^{q}(X$$\varphi \in C^{p}(X;R).$ och

En intressant konsekvens av den sista ekvationen är att den gör $H_{\ast }(X;R)$ till ett rätt $H^{\ ast }(X;R)-$ modul .

Se även

• Koppprodukt
• Poincaré-dualitet
• Singular homologi
• Homologiteori

•   Hatcher, A. , Algebraic Topology , Cambridge University Press (2002) ISBN 0-521-79540-0 . Detaljerad diskussion om homologiteorier för enkla komplex och mångfalder, singular homologi, etc.
• lutande produkt på n Lab