Kählers identiteter

I komplex geometri är Kähler -identiteterna en samling identiteter mellan operatörer på ett Kähler-grenrör som relaterar till Dolbeault-operatörerna och deras anslutningar , kontraktions- och kiloperatörer av Kähler-formen , och Laplacians av Kähler-metriken. Kähler-identiteterna kombineras med resultat av Hodge-teorin för att producera ett antal relationer om de Rham och Dolbeaults kohomologi för kompakta Kähler-grenrör, som t.ex. Lefschetz hyperplansats , hård Lefschetz sats , Hodge-Riemanns bilinjära relationer och Hodge indexsats . De är också, återigen kombinerade med Hodge-teorin, viktiga för att bevisa grundläggande analytiska resultat på Kählers grenrör, såsom $\partial {\bar {\partial }}$ -lemma , Nakano-ojämlikheterna och Kodaira försvinnande teorem .

Historia

Kähler-identiteterna bevisades först av WVD Hodge , som förekom i hans bok om harmoniska integraler 1941. Den moderna notationen $\Lambda$ introducerades av André Weil i den första läroboken om Kählers geometri, Introduction à L'Étude des Variétés Kähleriennes.

Operatörerna

Ett Kähler-grenrör $(X,\omega ,J)$ tillåter ett stort antal operatorer på sin algebra av komplexa differentialformer

$$\Omega (X):=\bigoplus _{k\geq 0}\Omega ^{k}(X,\mathbb {C} )=\bigoplus _{p,q\geq 0}\Omega ^{p,q}(X)$$

byggd av den släta strukturen ( S ), den komplexa strukturen ( C ) och Riemann-strukturen ( R ) av $X$ . Konstruktionen av dessa operatörer är standard i litteraturen om komplex differentialgeometri. I det följande anger de fetstilta bokstäverna inom parentes vilka strukturer som behövs för att definiera operatören.

Differentiella operatörer

Följande operatorer är differentialoperatorer och uppstår ur den smidiga och komplexa strukturen av $X$ :

• $d:\Omega ^{k}(X,\mathbb {C} )\to \Omega ^{k+1}( X,\mathbb {C} )$ , den yttre derivatan . ( S )
• $\partial :\Omega ^{p,q}(X)\to \Omega ^{p+1,q}(X )$ , $(1,0)$ - Dolbeault-operatorn . ( C )
• ${\bar {\partial }}:\Omega ^{p,q}(X)\to \Omega ^{p ,q+1}(X)$ , $(0,1)$ - Dolbeault-operatorn . ( C )

Dolbeault-operatorerna är direkt relaterade till den yttre derivatan med formeln $d=\partial +{\bar {\partial }}$ . Den karakteristiska egenskapen för den yttre derivatan att $d^{2}=0$ innebär då $\partial ^{2}={\bar {\partial }}^ {2}=0$ och $\partial {\bar {\partial }}=-{\bar {\partial }}\partial$ .

Vissa källor använder sig av följande operator för att formulera Kählers identiteter.

• $d^{c}=- {\frac {i}{2}}(\partial -{\bar {\partial }}):\Omega ^{p,q}(X)\to \Omega ^{p+1,q}(X) \oplus \Omega ^{p,q+1}(X)$ . ( C )

Denna operator är användbar eftersom Kähler-identiteterna för $\partial ,{\bar {\partial }}$ kan härledas från de mer kortfattade identiteterna för $d^{c}$ av jämföra examensbevis. Det är också användbart för egenskapen att $dd^{c}=i\partial {\bar {\partial }}$ . Den kan definieras i termer av den komplexa strukturen $J$ med formeln

$$d^{c}=J^{-1}\circ d\circ J=-J\circ d\circ J.$$

Tensorialoperatörer

Följande operatorer är tensoriella till sin natur, det vill säga de är operatorer som endast beror på värdet av den komplexa differentialformen vid en punkt. I synnerhet kan de definieras som operatorer mellan vektorrum med formerna $\Lambda _{x}^{p ,q}:=\Lambda ^{p}T_{1,0}^{*}X_{x}\otimes \Lambda ^{q}T_{0,1}^{*}X_{x}$ vid varje punkt $x\in X$ individuellt.

• ${\bar {\cdot }}:\Omega ^{p,q}(X)\to \Omega ^{q,p }(X)$ , den komplexa konjugatoperatorn. ( C )
• $L:\Omega ^{p,q}(X)\to \Omega ^{p+1,q+1 }(X)$ , Lefschetz- operatorn definierad av $L(\alpha ):=\omega \wedge \alpha$ där $\omega$ är Kähler-formen. ( CR )
• $\star :\Omega ^{p,q}(X)\to \Omega ^{nq,np}(X )$ , Hodges stjärnoperator . ( R )

Den direkta summanedbrytningen av de komplexa differentialformerna till de av bigrade (p,q) manifesterar ett antal projektionsoperatorer.

• ${\displaystyle \Pi _{k}:\Omega (X)\to \Omega ^{k}(X,\mathbb {C} )} ,$ den projektion på delen av grad k. ( S )
• $\Pi _{p,q}:\Omega ^{k}(X,\mathbb {C} )\to \ Omega ^{p,q}(X)$ , projektionen på delen av bidegree (p,q). ( C )
• $\Pi =\summa _{k=0}^{2n}(kn)\Pi _{k }:\Omega (X)\to \Omega (X)$ , känd som räkneoperatorn . ( S )
• $J=\sum _{p,q=0}^{n}i^{pq}\Pi _{p,q}$ , den komplexa strukturoperatorn på det komplexa vektorrummet $\Omega (X)$ . ( C )

Lägg märke till att den sista operatorn är utvidgningen av den nästan komplexa strukturen $J$ av Kählers grenrör till högre grad av komplexa differentialformer, där man minns att $J(\alpha )=i \alpha$ för a $(1,0)$ -form och $J(\alpha )=-i\alpha$ för a $(0,1)$ -form, så $J$ verkar med faktorn $i^{pq}$ på a $(p ,q)$ -form.

Adjoints

Riemann-måttet på $X$ , såväl som dess naturliga orientering som härrör från den komplexa strukturen, kan användas för att definiera formella adjoints för ovanstående differential- och tensorialoperatorer. Dessa adjoints kan definieras antingen genom integrering av delar eller genom explicita formler med hjälp av Hodge-stjärnoperatorn $\star$ .

För att definiera adjointerna genom integration, notera att det Riemannska måttet på $X$ , definierar en $L^{2}$ - inre produkt på $\Omega ^ {p,q}(X)$ enligt formeln

$$\langle \langle \alpha ,\beta \rangle \rangle _{L^{2}}=\int _{X}\langle \alpha ,\beta \rangle {\frac {\omega ^{n} }{n!}}$$

där $\langle \alpha ,\beta \rangle$ är den inre produkten på de yttre produkterna av det cotangenta utrymmet av $X$ inducerad av Riemann-metriken. Med hjälp av denna $L^{2}$ -inre produkt kan formella adjoints till någon av ovanstående operatorer (betecknade med ${\displaystyle T} )$ definieras med formeln

$$\langle \langle T\alpha ,\beta \rangle \rangle _{L^{2}}=\langle \langle \alpha ,T^{*}\beta \rangle \rangle _{L^{2 }}.$$

När Kählers grenrör är icke-kompakt, är $L^{2}$ -innerprodukten formell meningsfull förutsatt att minst en av $\alpha ,\beta$ är kompakt stödda differentialformer.

I synnerhet erhåller man följande formella adjunktoperatorer för ovanstående differential- och tensorialoperatorer. Inkluderat är de explicita formlerna för dessa adjoints i termer av Hodge-stjärnoperatorn $\star$ .

• $d^{*}:\Omega ^{k}(X,\mathbb {C} )\to \Omega ^{ k-1}(X,\mathbb {C} )$ uttryckligen ges av $d^{*}=-\star \circ d\circ \star$ . ( SR )
• $\partial ^{*}:\Omega ^{p,q}(X)\to \Omega ^{p-1 ,q}(X)$ uttryckligen ges av $\partial ^{*}=-\star \circ {\bar {\partial }}\circ \star$ . ( CR )
• ${\bar {\partial }}^{*}:\Omega ^{p,q}(X)\to \Omega ^{p,q-1}(X)$ uttryckligen ges av ${\bar {\partial }}^{*}=-\star \circ \partial \circ \star$ . ( CR )
• ${d^{c}}^{*}:\Omega ^{k}(X,\mathbb {C} )\to \Omega ^{k+1}(X,\mathbb {C} )$ uttryckligen ges av ${d^{c}}^{*}= -\star \circ d^{c}\circ \star$ . ( CR )
• $L^{*}=\Lambda :\Omega ^{p,q}(X)\to \ Omega ^{p-1,q-1}(X)$ uttryckligen ges av $\Lambda =\star ^{-1}\circ L\circ \star$ . ( CR )

Den sista operatorn, adjointen till Lefschetz-operatorn, är känd som kontraktionsoperatorn med Kähler-formen $\omega$ , och betecknas vanligen med $\Lambda$ .

Laplacians

Utbyggt av operatorerna och deras formella adjoints finns ett antal Laplace-operatorer som motsvarar $d,\partial$ och ${\bar {\partial }}$ :

• ${\displaystyle \Delta _{d}:=dd^{*}+d^{*}d :\Omega ^{k}(X,\mathbb {C} )\to \Omega ^{k}(X,\mathbb {C} )} , även känd som Laplace–de$ Rham- operatorn . ( SR )
• $\Delta _{\partial }:=\partial \partial ^{*}+\partial ^{*}\partial :\Omega ^{p,q}(X)\to \Omega ^{p,q}(X)$ . ( CR )
• $\Delta _{\bar {\partial }}:={\ stapel {\partial }}{\bar {\partial }}^{*}+{\bar {\partial }}^{*}{\bar {\partial }}:\Omega ^{p,q}(X )\till \Omega ^{p,q}(X)$ . ( CR )

Var och en av ovanstående Laplacianer är självanslutna operatörer .

Verkliga och komplexa operatörer

Även om den komplexa strukturen ( C ) är nödvändig för att definiera operatorerna $\alpha \in \ Omega ^{k}(X,\mathbb {R} )\subset \Omega ^{k}(X,\mathbb {C} )$ , kan de ändå tillämpas på reella differentialformer . När den resulterande formen också har verkliga koefficienter, sägs operatorn vara en verklig operator . Detta kan ytterligare karakteriseras på två sätt: Om det komplexa konjugatet av operatorn är sig själv, eller om operatorn pendlar med den nästan komplexa strukturen $J$ som verkar på komplexa differentialformer. Sammansättningen av två verkliga operatorer är verklig.

Det komplexa konjugatet av ovanstående operatorer är som följer:

• ${\bar {d}}=d$ och ${\overline {d^{*}}}=d^{*}$ .
• ${\overline {(\partial )}}={\bar {\partial }}$ och ${\overline {({\bar { \partial }})}}=\partial$ och liknande för $\partial ^{*}$ och ${\bar {\partial }}^{*}$ .
• ${\overline {d^{c}}}=d^{c}$ och ${\overline {{d^{c}} ^{*}}}={d^{c}}^{*}$ .
• ${\bar {\star }}=\star$ .
• ${\bar {J}}=-J$ .
• ${\bar {L}}=L$ och ${\bar {\Lambda }}=\Lambda$ .
• ${\bar {\Delta }}_{d}=\Delta _{d}$ .
• ${\bar {\Delta }}_{\partial }=\Delta _{\partial }$ .
• ${\bar {\Delta }}_{\bar {\partial }}=\Delta _{\bar {\partial }}$ .

Alltså ${\displaystyle d,d^{*},d^{c},{d^{c}}^ {*},\star ,L,\Lambda ,\Delta _{d},\Delta _{\partial },} och Δ ∂ ¯ {\displaystyle \Delta _{\bar {\partial$ } $alla$ verkliga operatörer. I synnerhet om någon av dessa operatorer betecknas med $T$ , sedan kommutatorn $[T,J]=0$ där $J$ är den komplexa strukturoperatorn ovan.

Identiteterna

Kähler-identiteterna är en lista över kommutatorrelationer mellan ovanstående operatörer. Explicit betecknar vi med $[T,S]=T\circ SS\circ T$ operatorn i ${ \displaystyle \Omega (X)=\Omega ^{\bullet }(X,\mathbb {C} )}$ erhålls genom sammansättning av ovanstående operatörer i olika grader.

Kähler-identiteterna är i huvudsak lokala identiteter på Kähler-grenröret och gäller även i det icke-kompakta fallet. De kan faktiskt bevisas i modellfallet för en Kähler-metrik på $\mathbb {C} ^{n}$ och överföras till alla Kähler-grenrör med nyckelegenskapen att Kähler-villkoret $d \omega =0$ antyder att Kähler-metriken tar standardformen upp till andra ordningen. Eftersom Kähler-identiteterna är första ordningens identiteter i Kähler-metriken, kommer motsvarande kommutatorrelationer på $\mathbb {C} ^{n}$ antyder Kähler-identiteterna lokalt på alla Kählers grenrör.

När Kählers grenrör är kompakt kan identiteterna kombineras med Hodge-teorin för att dra slutsatser om många resultat om grenrörets kohomologi.

Kähler-identiteter — Låt $(X,\omega ,J)$ vara en Kähler-manifold. Då gäller följande identiteter:

• $[{\bar {\partial }},L]=0$ .
• $[\partial ,L]=0$ .
• $[{\bar {\partial }}^{*},\Lambda ]=0$ .
• $[\partial ^{*},\Lambda ]=0$ .
• $[{\bar {\partial }}^{*},L]=i\partial$ .
• $[\partial ^{*},L]=-i{\bar {\partial }}$ .
• $[\Lambda ,{\bar {\partial }}]=-i\partial ^{*}$ .
• $[\Lambda ,\partial ]=i{\bar {\partial }}^{*}$ .
• $\Delta _{d}=2\Delta _{\partial }=2\Delta _{\bar {\partial }}$ .
• $\Delta =\Delta _{d}$ pendlar med alla $\star ,\partial ,{\bar { \partial }},\partial ^{*},{\bar {\partial }}^{*},L,$ och $\Lambda$ . Den pendlar också med $\Pi ^{p,q}$ och därmed $\Delta _{d}$ bevarar bigrade (p,q).

Dessutom uppfyller operatorerna $d$ och $d^{c}$ identiteterna:

• $[\Lambda ,d]=-2{d^{c}}^{*}$ .
• $[L,d]=0$ .
• $[\Lambda ,d^{c}]=0$ .
• $[L,d^{*}]=2d^{c}$ .

Kähler-identiteterna ovan kan uppgraderas i de fall där differentialoperatorerna $d,\partial ,{\bar {\partial }}$ är parade med en Chern-anslutning på ett holomorft vektorpaket $E\to X$ . Om $h$ är ett hermitiskt mått på $E$ och ${\bar {\partial }}_{E}$ är en Dolbeault-operator som definierar den holomorfa strukturen för $E$ , sedan den unika kompatibla Chern-anslutningen $D_{E}$ och dess $(1,0)$ -del $\partial _{E}$ uppfyller $D_{E}=\partial _{E}+{\bar {\partial }}_{E}$ . Beteckna krökningsformen av Chern-anslutningen med $F$ . De formella adjointerna kan definieras på samma sätt som ovan med en $L^{2}$ -inre produkt där den hermitiska metriken kombineras med den inre produkten på formulär. I det här fallet gäller alla Kähler-identiteter, ibland kallade Nakano-identiteter , utan förändring, förutom följande:

• $[L,\Delta _{{\bar {\partial }}_{E}}]=-iF\wedge -$ .
• $[L,\Delta _{\partial _{E}}]=iF\wedge -$ .
• $\Delta _{{\bar {\partial }}_{E}}+\Delta _{\partial _{E}}=\Delta _{D_ {E}}$ .
• $\Delta _{{\bar {\partial }}_{E}}-\Delta _{\partial _{E}}= [iF\wedge -,\Lambda ]$ , känd som Bochner-Kodaira-Nakano-identiteten .

Observera särskilt att när Chern-kopplingen som är kopplad till $(h,{\bar {\partial }}_{E})$ är en platt anslutning , så att krökningen ${\ displaystyle F=0}$ , får man fortfarande förhållandet att $\Delta _{D_{E}}=2\Delta _{\partial _{E} }=2\Delta _{{\bar {\partial}}_{E}}$ .

Primitiv kohomologi och representation av sl(2,C)

Förutom de kommuteringsrelationer som finns i Kähler-identiteterna, uppfyller några av ovanstående operatorer andra intressanta kommuteringsrelationer. Kom särskilt ihåg Lefschetz-operatorn $L$ , kontraktionsoperatorn $\Lambda$ och räkneoperatorn $\Pi$ ovan. Då kan man visa följande kommuteringsrelationer:

• $[\Pi,L]=2L$ .
• $[\Pi ,\Lambda ]=-2\Lambda$ .
• $[L,\Lambda]=\Pi$ .

Om man jämför med Lie-algebra ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )} ,$ ser man att $\{\Pi ,L,\Lambda \}$ bildar en sl2-trippel , och därför blir algebran $\Omega (X)$ för komplexa differentialformer på ett Kähler-grenrör en representation av ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ . Kähler-identiteterna innebär att operatorerna $\Pi ,L,\Lambda$ alla pendlar med $\Delta _{d}$ och bevarar därför de harmoniska formerna inuti ${\ displaystil \Omega (X)}$ . I synnerhet när Kähler-grenröret är kompakt, genom att tillämpa Hodge-sönderdelningen tredubbla operatörerna $\{\Pi ,L,\Lambda \}$ sjunker för att ge en sl2-trippel på de Rham-kohomologin av X.

I språket för representationsteorin för ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )} , är$ operatorn $L$ den höjande operatorn och ${ \displaystyle \Lambda }$ är sänkningsoperatorn . När ${\displaystyle X} är$ är det en konsekvens av Hodge-teorin att kohomologigrupperna $H^{i}(X,\mathbb {C} )$ är ändliga dimensionella. Därför kohomologin

$$H(X)=\bigoplus _{k=0}^{2n} H^{i}(X,\mathbb {C} )=\bigoplus _{p,q\geq 0}H^{p,q}(X)$$

medger en direkt summanedbrytning till irreducerbara finitdimensionella representationer av ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ . Varje sådan irreducerbar representation kommer med ett primitivt element , som är ett element $\alpha$ så att $\Lambda \alpha =0$ . Den primitiva kohomologin för $X$ ges av

$$P^{k}(X,\mathbb {C} )=\{\alpha \in H^{k}(X,\mathbb {C} )\mid \Lambda \alpha =0\},\ quad P^{p,q}(X)=P^{k}(X,\mathbb {C} )\cap H^{p,q}(X).$$

Den primitiva kohomologin medger också en direkt summauppdelning

$$P^{k}(X,\mathbb {C} )=\bigoplus _{p+q=k}P^{p,q}(X).$$

Hård Lefschetz-nedbrytning

Representationsteorin för ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ beskriver fullständigt en irreducerbar representation i termer av dess primitiva element. Om $\alpha \in P^{k}(X,\mathbb {C} )$ är ett primitivt element som inte är noll, då försvinner differentialformer över dimension ${ \displaystyle 2n}$ , kedjan $\alpha ,L(\alpha ),L^{2}(\alpha ),\dots$ slutar så småningom efter ändligt många potenser av $L$ . Detta definierar ett ändligt dimensionellt vektorrum

$$V(\alpha )=\operatörsnamn {span} \langle \alpha ,L(\alpha ),L^ {2}(\alpha ),\dots \rangle$$

som har en ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ -åtgärd inducerad från trippeln $\{\Pi ,L,\Lambda \}$ . Detta är den irreducerbara representationen som motsvarar $\alpha$ . Genom att tillämpa detta samtidigt på varje primitiv kohomologigrupp, uppdelningen av kohomologi $H(X)$ i dess irreducibla representationer blir känd som den hårda Lefschetz-nedbrytningen av det kompakta Kähler-grenröret.

Hård Lefschetz-nedbrytning — Låt $(X,\omega ,J)$ vara ett kompakt Kähler-grenrör. Sedan medger de Rham-kohomologin för $X$ en ortogonal direkt summanedbrytning

$$H^{k}(X,\mathbb {C} )=\bigoplus _{i\geq 0}L^{i}(P^{k-2i}(X,\mathbb {C})) .$$

Denna nedbrytning är kompatibel med Hodge-nedbrytningen i Dolbeault-kohomologigrupper:

$$H^{p,q}(X)=\bigoplus _{i\geq 0}L^{i}(P^{pi,qi}(X)).$$

Dessutom

• Om $k>n$ så är $P^{k}(X,\mathbb {C} )=0$ .
• Kartan ${\displaystyle L^{nk}:P^{k}(X,\mathbb {C} )\to H^{2n-k}(X,\mathbb {C} )} är$ för $k\leq n$ , och begränsar till att ge en injektion $L^{nk}:P^{p,q}(X)\till H^{p+nk,q+nk }(X,\mathbb {C} )$ för varje (p,q) så att $p+q=k$ .
• Kartan $L^{nk}:H^{k}(X,\mathbb {C} )\to H^{2n-k}(X,\mathbb {C} )$ är bijektiv för $k\leq n$ , och begränsar till att ge en bijektion $L^{nk}:H^{p,q}(X,\mathbb {C})\till H^ {p+nk,q+nk}(X,\mathbb {C} )$ för varje (p,q) så att $p+q=k$ .
• Om $k\leq n$ , då ${\displaystyle P^{k} (X,\mathbb {C} )=\{\alpha \in H^{k}(X,\mathbb {C} )\mid L^{n-k+1}\alpha =0\}} ,$ och dessutom $P^{p,q}(X)=\{\alpha \in H^{p,q }(X)\mid L^{np-q+1}\alpha =0\}$ .

Genom Kähler-identiteter parade med ett holomorft vektorknippe, i fallet där det holomorfa buntet är platt, sträcker sig Hodge-nedbrytningen till de vridna de Rham-kohomologigrupperna $H_{dR}^{k }(X,E)$ och Dolbeault-kohomologigrupperna H $\displaystyle H^{p,q}(X,E)}$ . Trippeln $\{\Pi ,L,\Lambda \}$ fungerar fortfarande som en sl2-trippel på den buntvärdade kohomologin, och versionen av Hard Lefschetz-nedbrytningen gäller i detta fall.

Nakano ojämlikheter

Nakano-ojämlikheterna är ett par ojämlikheter associerade med inre produkter av harmoniska differentialformer med krökningen av en Chern-koppling på ett holomorft vektorknippe över ett kompakt Kähler-grenrör. Låt särskilt $(E,h)$ vara en hermitisk holomorfisk vektorbunt över ett kompakt Kähler-grenrör $(X,\omega )$ och låt $F(h)$ anger krökningen för den associerade Chern-anslutningen. Nakano-olikheterna säger att om $\alpha \in \Omega ^{p,q}(X)$ är harmonisk, det vill säga $\Delta _{\bar {\partial }}\alpha =0$ , sedan

• $i\langle \langle F(h)\wedge \Lambda (\alpha ),\alpha \rangle \rangle _{L^ {2}}\leq 0$ och
• $i\langle \langle \Lambda (F(h)\wedge \alpha ),\alpha \rangle \rangle _{L^ {2}}\geq 0$ .

Dessa ojämlikheter kan bevisas genom att tillämpa Kähler-identiteter kopplade till ett holomorft vektorknippe som beskrivits ovan. I fallet där $E=L$ är en riklig linjebunt , är Chern-kurvaturen $iF(h)$ i sig ett Kähler-mått på $X$ . Att tillämpa Nakano-ojämlikheterna i det här fallet bevisar Kodaira-Nakanos försvinnande sats för kompakta Kähler-grenrör.