Yamabe-flöde
I differentialgeometri är Yamabe - flödet ett inneboende geometriskt flöde - en process som deformerar metriken i ett Riemann-grenrör . Yamabe-flödet , som först introducerades av Richard S. Hamilton , är för icke-kompakta grenrör, och är det negativa L 2 - gradientflödet av den (normaliserade) totala skalära krökningen , begränsad till en given konform klass : det kan tolkas som att deformera en Riemannisk metrisk till ett konformt mått med konstant skalär krökning, när detta flöde konvergerar.
Yamabe-flödet introducerades som svar på Richard S. Hamiltons eget arbete om Ricci-flödet och Rick Schoens lösning av Yamabe-problemet på mångfald av positiva konforma Yamabe-invarianter .
Huvudresultat
De fasta punkterna för Yamabe-flödet är mått på konstant skalär krökning i den givna konforma klassen. Flödet studerades först på 1980-talet i opublicerade anteckningar av Richard Hamilton. Hamilton antog att flödet för varje initialt mått konvergerar till ett konformt mått med konstant skalär krökning. Detta verifierades av Rugang Ye i det lokalt konformt platta fallet. Senare Simon Brendle konvergens av flödet för alla konforma klasser och godtyckliga initiala mått. Den begränsande konstant-skalär-kurvaturmetiken är vanligtvis inte längre en Yamabe-minimering i detta sammanhang. Medan det kompakta fallet är avgjort, är flödet på kompletta, icke-kompakta grenrör inte helt förstått, och förblir ett ämne för aktuell forskning.