Minimax eversion

Inom geometri är minimax-eversioner en klass av sfär-eversioner , konstruerade genom att använda halvvägsmodeller .

Det är en variationsmetod och består av speciella homotopier (de är kortaste vägarna med avseende på Willmore-energi) ; kontrast till Thurstons korrugeringar, som är generiska.

Den ursprungliga metoden för halvvägsmodeller var inte optimal: de vanliga homotopierna passerade genom halvvägsmodellerna, men vägen från den runda sfären till halvvägsmodellen konstruerades för hand och var inte gradientuppstigning/nedstigning.

Eversioner via halvvägsmodeller kallas tobakspåse-eversioner av Francis och Morin.

Halvvägsmodeller

En halvvägsmodell är en nedsänkning av sfären $S^{2}$ i $\mathbb {R} ^{3}$ , som är så kallad eftersom det är halv- vägpunkten för en sfärs eversion . Denna klass av eversioner har tidssymmetri: den första halvan av den vanliga homotopin går från den vanliga runda sfären till halvvägsmodellen, och den andra halvan (som går från halvvägsmodellen till insidan och ut-sfären) är samma process omvänt.

Förklaring

Minimax sfäreversion; se videons Wikimedia Commons-sida för en beskrivning av videons innehåll

Rob Kusner föreslog optimala eversioner med hjälp av Willmore-energin på utrymmet för alla nedsänkningar av sfären $S^{2}$ i $\mathbf {R} ^{3}$ . Den runda sfären och den runda sfären inifrån och ut är de unika globala minima för Willmore-energi, och en minimax-eversion är en väg som förbinder dessa genom att passera över en sadelpunkt ( som att resa mellan två dalar via ett bergspass).

Kusners halvvägsmodeller är sadelpunkter för Willmore-energi, som uppstår (enligt Bryants teorem) från vissa kompletta minimala ytor i 3-rum; minimax-eversionerna består av gradientuppstigning från den runda sfären till halvvägsmodellen, sedan gradientnedstigning nedåt (gradientnedstigning för Willmore-energi kallas Willmore flow ). Mer symmetriskt, börja med halvvägsmodellen; tryck i en riktning och följ Willmore-flödet ner till en rund sfär; tryck i motsatt riktning och följ Willmore-flödet ner till den runda sfären inifrån och ut.

Det finns två familjer med halvvägsmodeller (denna observation beror på Francis och Morin):

• udda ordning: generaliserande Pojkes yta : 3-faldig, 5-faldig, etc., symmetri; halvvägsmodellen är ett dubbeltäckt projektivt plan (generellt 2-1 nedsänkt sfär).
• jämn ordning: generaliserande Morin-yta : 2-faldig, 4-faldig, etc., symmetri; halvvägsmodellen är en generiskt 1-1 nedsänkt sfär, och en vridning av en halv symmetri växlar ark av sfären

Historia

Den första explicita sfäreversionen var av Shapiro och Phillips i början av 1960-talet, med Boys yta som en halvvägsmodell. Senare upptäckte Morin Morins yta och använde den för att konstruera andra sfäriska eversioner. Kusner tänkte på minimax-eversionerna i början av 1980-talet: historiska detaljer .

• Bending Energy and the Minimax Eversions (i John M. Sullivans " The Optiverse" and Other Sphere Eversions )