Calabi flöde

Inom de matematiska områdena differentialgeometri och geometrisk analys är Calabi- flödet ett geometriskt flöde som deformerar en Kähler-metrik på ett komplext grenrör . Exakt, givet en Kähler-grenrör M , ges Calabi-flödet av:

$\displaystyle {\frac {\partial g_{\alpha {\overline {\beta }}}}{\partial t}}={ \frac {\partial ^{2}R^{g}}{\partial z^{\alpha }\partial {\overline {z}}^{\beta }}}}$ ,

där g är en avbildning från ett öppet intervall in i samlingen av alla Kähler-mått på M , Rg ^koordinater är skalärkrökningen för de individuella Kähler-måtten, och indexen α, β motsvarar godtyckliga holomorfa z ^α . Detta är ett fjärde ordningens geometriskt flöde, eftersom den högra sidan av ekvationen involverar fjärde derivator av g .

Calabi-flödet introducerades av Eugenio Calabi 1982 som ett förslag för konstruktion av extrema Kähler-mått, som också introducerades i samma tidning. Det är gradientflödet av Calabi funktionella ; extrema Kähler-mått är de kritiska punkterna för Calabi-funktionen.

En konvergenssats för Calabi-flödet hittades av Piotr Chruściel i fallet att M har en komplex dimension lika med ett. Xiuxiong Chen och andra har gjort ett antal ytterligare studier av flödet, även om flödet 2020 fortfarande inte är väl förstått.

• Eugenio Calabi. Extrema Kähler-mått. Ann. av matte. Hingst. 102 (1982), sid. 259-290. Seminarium om differentialgeometri. Princeton University Press (PUP), Princeton, NJ
• E. Calabi och XX Chen. Kählers utrymme. II. J. Differential Geom. 61 (2002), nr. 2, 173-193.
• XX Chen och WY He. På Calabi-flödet. Amer. J. Math. 130 (2008), nr. 2, 539-570.
• Piotr T. Chruściel. Semi-global existens och konvergens av lösningar av Robinson-Trautman (2-dimensionell Calabi) ekvation. Comm. Matematik. Phys. 137 (1991), nr. 2, 289-313.